XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Вариационная задача поиска максимума функционала 1* [й) по всем тензорным полям о, подчиняющимся условиям [18.6), представляет собой математическую формулировку принципа стационарности дополнительной работы, или вариационного принципа Кастильяно: дополнительная работа |*[й) достигает максимума, если тензор напряжений о с компонентами о,. удовлетворяет уравнениям [18.6).
Пример 18.3. Получим уравнения Эйлера функционала, соответствующего вариационному принципу Кастильяно, записав их через компоненты тензора деформаций. 451 При выводе требуемых уравнений будем полагать, что поверхность о' совпадает с поверхностью Я, ограничивающей рассматриваемое тело объемом Г.
В атом случае 1*~о) = — и*(о,;~) дЕ Также полагаем, что объемные 6, и поверхностные р, силы являются заданными функциями координат. Тогда из уравнений (18.6) получаем дбо.д = О в ~' и бо,.м = О на Я. (18.12) ди~ Вместо шести компонентов тензора малых деформаций введем в рассмотрение шесть новых функций ~, = Д(тытя,аз) и Р„= Р; = Г, (х, „из, из), приняв Р; = О при г = 1', определяемых из условий: (18.13) Далее, используя соотношение е; = да*/до,, полученное ранее, запишем условие стационарности функционала 1*(о) в вариационном принципе Кастильяно в виде бХ*[о.] = — ейбо;~Л' = О, Ъ которое после подстановки в него соотношений (18.13) примет вид 1 1гдЛ д~,~ — — / ~ — '+ — ')бо, Л'+ Р, бо,.
Л" = Г дЛ = — / — 'бой Л'+ Рббой Л' = О. (18.14) ,/ дх 452 18. ПРИНЦИПЫ ЛАГРАНЖА, РЕЙССНЕРА, НАСТИЛЬЯНО П еобразуя отдельно — 'Ат; Л', получим, используя ра- Р / дх венства (18.12) и теорему Остроградского — Гаусса, — доИг1Р = I — (|,5сгИ) сй' — ~ |,, з гП' г Т дато |,дпИп Йд — / Д сй' = О.
ди, н В силу этого равенства соотношение (18.14) эквивалентно следующему: (18.15) Введем в рассмотрение три произвольные функции координат (х~ — о~ (и1 хз~хэ). множим вторую группу уравнений иэ (18.12) на ен и проинтегрируем полученный результат по поверхности: а,бп, н до=О. Применяя к последнему соотношению теорему Остроградского — — Гаусса, получаем ~о, йтО) сй' = О д дл~ и после дифференцирования (с учетом симметрии тензора на- пряжений о.) имеем (18.16) Так как функции сн могут быть произвольными, потребуем, чтобы да1(дх = О при г = 25 Тогда последнее равенство имеет смысл только при 1 ф у'. Сравнивая соотношения (18.15) и (18.16), можно записать следующие равенства: где В ф О некоторая постоянная. Из этих что равенств следует, д2Гзз , дзог дзоз дхгдхз дхздхз дхгдхз~ =в( ., + О, д2Г1з ( дзо1 д11оз + дх1 дхз (дхздхз дх1дхз~ l (18.17) д2Г12 ( дзо1 дзо2 дх1дх2 ' дхздх2 дх1дх~~~ а также дГ23 дГ13 дГ12 '1 д о1 — +, '+, ~)=2В...
=О, дх1 ( дх1 дх2 дхз I дх1дх2дхз д (дГ23 дГьз дГ,21 — 2В д оз (18 18) +, )=2В = О., дх2 дх1 дх2 дхз дх1дхздхз д (дГгз дГ1з дГ12') д оз дхз дх1 дх2 дхз дхгдхгдхз С учетом первой группы равенств из (18.12) последнее соотношение можно переписать в виде 454 18. ПРИНЦИПЫ ЛАГРАНЖА, РЕЙССНЕРЛ, КЛСТИЛЬЯНО Определяя Р', из (18.13)., учитывая равенства дЛ д~, — '+ — ' = 2е1 дх дх1 при 1 = 1' и подстаазяя их в (18.18), получаем де121 дгеп дхз / дхгдхз де12) д егг д (дегз дезз дх1 дх1 дх2 д дегз де13 (18.19) (- +, дхг 1 дх1 дхг д дегз де13 дз д1дз + — — 9 дхз,1 дх1дхг дхз ( дх1 дхг д ггз д багз 1 д (дзг дзз ') + ( + дхгдхз дх2дтз 2 дтгдтз ' дтз дт2 / дг2, 1дг дУ, 1дг дУ дтгдхз 2 д'тз дх2 2 дхг дхз д егз 1 д Ягг 1 д ЕЗЗ 2 дхгдхз 2 дхз г2 дхгг и так далее.
Окончательно зти условия примут вид д егг д езз д егз 2 ' 2 дхг дхг дхгдхз' дгезз дгеп дге1з (18.20) +, — 2, дхг1 дхзг дх1дхз' дгсп дгегг дге г 2 + ' 2 д,г д,г д,,дх, Система уравнений 118.19) содержит три из шести условий совместности деформаций 1условий Сен-Венана). Другие три условия совместности деформаций получим, подставив Р12 из (18.13) в (18.17): 455 Таким образом, мы установили, что условие стационарности функционала дополнительной работы эквивалентно условиям совместности деформаций (18.19) и (18.20). При этом необходимыми условиями существования стационарной точки функционала 1*~а; ) являются уравнения (18.6).
Если на части Я„граничной поверхности Я заданы компоненты вектора перемещения (ц; = й; на Я ), го, представив Л в виде сУммы ~,(хмхэ.,хз) = 9Дх~,хэ.,хз) + Цх~.,хэ.,хз)., где функции д~ известны, причем д; = цг на Яд, Л = О на Я~., и проделав аналогичные преобразования, также получим условия совместности деформаций, следующие из условия стационарности функционала 19. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕРМОУ'ПРУ'ГОСТИ т1= Сйыеи — А1д, (19.1) где С;,~ы = Свнз — — С~ты компоненты тензора коэффициентов упругости материала тела; 43 —— С;, ыо„: оы - компоненты (т) (т) тензора температурных коэффициентов линейного расширения; О = Т вЂ” Те, Те = сопя$ ) Π—.
температура естественного состояния тела, т.с. та температура, при которой тело может находиться сколь угодно долго без взаимодействия с окружающей средой и для которой ~д~/Те << 1. Как и в 18, используем неявное суммирование по повторяющимся индексам. Вектор плотности и теплового потока с компонентами 9, связан с градиентом температуры законом Фурье [ХП) 9, = — Л,'," (19.2) дтз д) (т) где Л~ = Л~, компоненты тензора теплопроводности.
Закон сохранения энергии имест вид д9 юг РТе —, = —, +Чю> д1 ди, (19.3) Термоупругостью называют раздел механики деформируемого твердого тела, в котором изучаются процессы упругого деформирования и распространения теплоты с учетом взаимодействия этих процессов. В дальнейшем будем полагать., что компоненты е, (1, 1 = = 1, 2, 3) тепзора деформаций с связаны с компонентами и, вектора перемещений и соотношениями Коши (18.2)., компоненты и, симметрического тензора напряжений д связаны с ей и абсолютной температурой Т соотношениями Дюамеля— Неймана 457 где р плотность материала тела; 1 время; и;, г = 1, 2, 3, декартовы прямоугольные координаты; и — массовая плотность энтропии; д, — плотность мощности источников энерговыделения. При этом (19.4) РЧОт): Реард + Тедуеу ~ дп,, д сн '2 + бг = Р ди ' дР' (19.5) где 6, — — компоненты вектора плотности объемных сил.
В постановку задачи термоупругости вводят краевые условия: начальное условие при 1 = О о 1)" о п,~ =и. ы = О., п=о дг с=о Ф! д =де в1; с=о граничные условия (сг; и )~я =ро д~ =д, пп;~, =д, в,;~ =оп где Я 0 Я = Я граничная поверхность рассматриваемого тела обьемом ~', причем Я Л Я„= О: о координаты единичного вектора нормали к поверхности Я, Ят 0 Яд — — Я, Ят Г~ Яд — — О; ие, ее, де, йо Ро д, 9 -- заДанные фУнкции. Полагаем, что все введенные функции и участки поверхности Я обладают необходимой гладкостью (т.е. имеют необходимое количество непрерывных частных производных).
При формулировании вариационных принципов термоупругости будем использовать свертку двух функций по времени, которую определяют следующим образом [Х1]: $ 11 ад)11) = 11т)у(1 — т)йт. о где с, удельная массовая теплоемкость материала тела при постоянных деформациях. Запишем уравнения движения среды 458 19. ВАРНАЦиОнные пРинЦипы теРмОУНРУГОсти Для включения начальных условий в вариационную формулировку соответствующей краевой задачи используем преобразование Лапласа ~Х1] Г~р) =ц~(1)Кр) = ~яе о'Ж, о где ~Я вЂ” функция-оригинал; ~*(р) = Т [~(1)] 1р) — изображение по Лапласу функции 11г).
Перейдем к изображениям в уравнениях движения 119.5): дн,*.. 7 + 5Я р)роиО рио иО) 0 *1 119.6) и в уравнении 119.3): рторц' — рТон1О) = — ~' + 9,*,. жг 119.7) Так как д о дио —, ')=0, дя, РТо010) = Рс до+ ТоК е 10) = Рс.до+ ~1 дио ди9 1 дио дио дио +ТЮДИ ~2 (д + д ) + ( ) = рсеио+ Тобам д Поэтому закон сохранения энергии 119.3) в изображениях мож- но записать в виде д,,*. д,'. ' — рс:до — ТоЯ, ' + ррТо'П* = 9.'.
дх; дх, 119.8) то, согласно 119.4), учитывая дество (ди; получим симметрию Щ и очевидное тож- 459 Решаем уравнения (19.6) и (19.8) относительно и,* и г1'. дгг 1 1 о 1 о 1 1дд.' 1 1 ди' РТог1* = — д,* — — ' + — Рсг до+ — ТоГ1гз, р рдт, р ' р дт ' Так как 2 р' ' р то, применяя теорему о свертке [Х1], находим дг '~,, ддг ри, =дя 'г + Го рТог1 =ю — д*, дт~ тг где д(1) = 1; д(1) = 1; дио Д1 =д*б;+рфо; +и,); и) =дяд„+рсгдо+ оЯ~, дт, Чтобы получить обобщение вариационного принципа Лагранжаг введем понятие кинематически и термически допустимого состояния, т.е. такого состояния, которое удовлетворяет соотношениям Коши (18.2), закону Фурье (19.2), уравнениям (19.1), (19.3), (19.4), а также граничным условиям на участках Я и Ят поверхности Я.
Тогда обобщение принципа Лагранжа можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим функционал 1 Г ,1[и,д) = — ~ ~У*Сгдыам*егу — 2д*Я~д~сг„+Риг*иг — 2|г*и;) гйг— 2./ 1 г с, 1 дд дд 1 — — [ рд* — дяд — — дядя Л;,, я, + — д гюг:д)гЛ"— 2 То То н дж дгсг То 1 à — (д * р, * и,) ЙЯ вЂ” — / (д * д * г1 * д) сгЯ, То .1 460 19. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕРгЪ|ОУПРУГОСТИ который для любого ~ > О определен на множестве кинематически и термически допустимых состояний. Вычислим первую вариацию функционала д'(игд) и прирав- няем ее нулю дгдгд и" дд~ =1 д'(гСтм — г д)'дда — д» „.гд)дг'— — (д а — 'д а дд) г1 + — ~ р(кчг к дцг) гг1'+ Ъ вЂ” (д*д'г„'б.
1дд — ((у,*бд)дд— Ъ Ъ т 1 — — (д*югдд) гй' — / (дэрг к5иг) гБ+ — / (д*д*д*дд) ггЯ = о я я д (д* (Сгсысц, Д~д) +,~~ рггг) ~ гггг;гггд— дт~ — — / р( д к с,д+ — д а р', егг1— -д*д* ~Лгс )+д*щ *дд (1'+ д ° дд г дхг иди,) г) (д.[с,,„.г.-ддд~ г-д д) г;дд;- н + — *д* г Лг, пг д) Я ддг1Я = О (19 9) яд Из уравнения (19.9) в силу произвольности ди; и дд на участках Я, Яд поверхности Я и внутри объема 1д, а также равенства нуля> вариаций дцг на Я„и дд на Ят следуют уравнения движения и теплопроводности с соответствующими граничными условиями.
ВаРиаЦионный пРинЦип Дла компонентов гхго тснзоРа напРЯ- жений гх и координат д, вектора д плотности теплового потоКа, аНаЛОГИЧНЫй ВаРИаЦИОННОМУ ПРИНЦИПУ КаСтИЛЬЯНог МОЖНО сформулировать следующим образом. Пусть тензор о и вектордо р у б азуют динамически и энергетически допустимое поле напряжений и теплового потока, т.е. поле, которое удовлетворяет граничным условиям на Я и Яю На таком поле определим функционал 1[дг,д~ = — / ($; ыо; я ггы) гЛГ+ + — / О' ~Ог, * [ Ш вЂ” д* — ) ~ гЛà — — / Ц (д*дг* де) ЛГ+ То,гг о ~ и джей г~ 2То/ Ъ Г 1 дгхц ~ 1 !' дгхг~' дгггт +/ — [Ггя «)гЛ'+ — / рдя, *, гЛГ— / р ' дао 2,/ дх дяя и 1 1 /' 1,, дд, ддь 1 /' 1 [, ддя) — д л д я, л, гЛГ+ — [ д г: нг ~, гЛГ— 1 — й я о са ггпу — — / д * д * дг и; ггпу, гг' о Т / о Я„ ят где а~, =Тоо; /(рс~); с =с,+ТХЯ а," Гр --- удельная массо- ВЯЛ ХЕПЛОЕМКОСХЬ ПРИ ПОСТОЯННЫХ НаПРЯЖЕНИЯХг ~ Ы вЂ” багги — ХггО Омг:, ОЫ = ЫО = — ~ ~ог„; 5'; = ЯЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
