XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Площадь этого треугольника Е = Вг/(2ъ 3), где В .— радиус окружности, вписанной в шестиугольник. Для 471 Функционала (20.4) в качестве допустимого распределения тем- пературы сначала возьмем следующее: Т1(М) = С1( — хз), М(х, 9) Е Р. (20.19) в:с7у 3 уу.')= ~~чт) — у т)~Р=2Ас, / и / шу— ,) ~2 Р о о в х7~3 В4 1 — 9кС1 — + / х дх / ау= С1В4 2л/3 4л/3 о о Отсюда следует, что — (4ЛС вЂ” Е) =О, дс~ 4л/3 Иув')у или С~ = Е,./(4Л) что соответствует значению,1~ =— 32ъ'3 Л функционала (20.4) и, согласно (20.10), нижней оценке средней температуры 2 2 — 71 ЕВ 1 ЕВ' Т = — 2 = =О, ЕГ 8Л Л (20.20) Несложно проверить, что распределение д(М) = — ~7(х2+ у ), М(х, 9) Е М, вектора плотности теплового потока с проекциями д = ~7кх/2 и о = у~у/2 на оси координат Ох и Оу соответственно удоу — Ъ', влетворяет первому из условий (20.6) и поэтому может быть Постоянную С~ определим из необходимого условия минимума функционала (20.4) после подстановки в него (20.19): 472 20.
ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ использовано в качестве допустимого для функционала вида (20.5): Т 92 1 Т (д В2)2 1~9] = — — сВ" = — — (д~+д~)йтйу = — 5 = Хо / 2Л 2Л/ * " 144у'ЗЛ Этому значению, согласно (20.10), отвечает верхняя оценка средней температуры В2,В2 Т = — 2 = 0,138888 < 0,139 . (20.21) 9УГ 36Л ' Л ' Л Таким образом, учитывая (20.20) и (20.21), получаем двустороннюю оценку для средней температуры поперечного сечения шестигранного тепловыделяющего элемента в виде 0,125 < Т < 0,139 90 В' 9г В2 Л (20.22) Отметим, что замена шестигранного стержня круглым с равновеликой площадью поперечного сечения радиуса ге = = ~„IГ2Х'~т = ВЛ/2ъ~З/т приводит к значению средней темпе- ратуры — еиг0 ~/3 91, В Я'В ТО = 8Л 4я Л ' Л лежащему в найденных пределах (20.22) довольно близко к верхней границе.
Распределение температуры (20.19) является достаточно грубым. Следует ожидать, что его уточнение уменьшит „вилку", определяемую двусторонними оценками средней температуры Х. Для уточнения допустимого распределения температуры в поперечном сечении шестигранного стержня построим уравнение 4 (ж, 9) = 0 контура этого сечения в виде произведе- ния уравнений сторон шестиугольника (см. рис. 20.6): так что в итоге получим ~(х, у) =(ВЯ вЂ” х )((2В+х) — Зр~)((2 — х) — Зуэ) =О. (20.23) Уравнения сторон записаны таким образом, что при смещении точки внутрь шестиугольника левая часть уравнений становится положительной.
Поэтому для любой внутренней точки шестиугольника ф(х, и) ) О. Примем допустимое распределение температуры в виде Тя(М) = Сзф(х, р), М(х, у) Е Р, и после его подстановки с учетом (20.23) в функционал (20.4) вычислим З~т~ = З~т~ = ~(-~Чт ~' — дгт) Ю= = '~/~('я*'"') (~"(' "~) 1и,и.„- л — ®, Сз ф(х., р)йх(Ь~ = 42,72С~~ЛВ' — 1,809Сз~ф. В =.7я. Из условия ОХ~Т~)(ВСя = 0 найдем Сэ — 0,0212дк,1(ЛВ'~) и затем 1г = — 0,0192(д~ В~)з/Л.
Тогда, согласно (20.10), получим уточненную нижнюю границу Т = 0,133д~ В /Л для средней температуры Т. Таким образом,, вилка", определяемая двусторонними оценками, стала более узкой. А~Аз АзАз АзА~ А~Аз АаАя АяА~ 2 — х — ъУЗу = 0; 2В+х — уЗу = О, 2В+х =О, 2В+х+ Яу = О., 2 — х+уЗу=О, 2 — т, =О, 474 20. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Дальнейшее уточнение нижней границы для средней температуры можно получить, если представить распределение температуры в виде ряда Т(М) =ф(х, у)(ав+б~х+с1у+аыху+Ь~хв+сяу~+...). (20.24) Степени х и у и их произведения образуют в данном случае полную систему функций, а наличие сомножителя ф(х, у) обеспечивает равенство нулю температуры по контуру поперечного сечения, т.е.
распределение (20.24) является допустимым для функционала (20.4) при любых значениях коэффициентов ае, бы с1 и т.д. Вместо степенного ряда в (20.24) можно использовать тригонометрический ряд. список Рекомкндм:мой литерлтм ы Учебники и учебные пособил Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Мл Наука, 1979. 429 с. Ахиезер Н.Н. Лекции по вариационному исчислению. Мл Гостехтеоретиздат, 1955. 248 с.
Березин НС., хКидкоь НП. Методы вычис ьний. Т. 2. Мл Фнльштгиз, 1962. 639 с. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. Мл Изд-во иностр. лиг., 1950. 347 с. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Лл Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 288 с. Бухгольи Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. Мл Наука, 1965. 467 с; Ч. 2. Мл Наука, 1966. 332 с. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. Мл Физматгиз, 1961. 228 с. Гюнтер Н.М.
Курс вариационного исчисления. Мл Гостехтеоретиздат, 1941. 308 с. Зарубин В.С., Селиванов С.С. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. Мл Изд-во МГТУ, 1993. 358 с. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Мл Наука, 1989. 623 с. Кота А. Вариационное исчисление; Нер. с венгер. Мл Высш, шк., 1983. 280 с. Кротов В.Ф, Лагота Б.А., Лобанов С.М., Данилина Н.И., Сергеев С.И. Основы теории оптимального управления. М.. Высш, шк., 1990.
429 с. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. Мб Лл Гостехтеоретиздат, 1950. 296 с. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Мл ГТТИ, 1957. 476 с. Понтрягин ХС., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Миихенко Е.Ф. Математическая тоория оптимальных процессов. Мл Наука, 1983. 392 с. Робтенберг Я.Н. Автоматическое управление.
Мл Наука, 1978. 551 с. 476 СПИСОК РЕКОЛХЕНДУЕЪ|ОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 1. Мл Наука, 1974. 336 с. Смирнов В.Н., Крылов В.И., Канторович Л.В. Вариационное исчисление. Лл КУБУЧ, 1933. 204 с. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1966. 724 с. Треногин В.А. Функциональный анализ. Мл Наука. 1980. 496 с. Эльсгольи Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационнос исчисление. Мл Наука, 1969.
424 с. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению: Пер, с англ. Мл Мир, 1974. 488 с. Дополнительная литература Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. Мл Магистр, 1998. 658 с. Брайсвн А., Хв ХО-Ши. Прикладная теория оптимального управления: Пер. с англ. Мл Мир, 1972. 644 с.
Вариационные принципы механики: Сб. / Под рсд. Л.С. Полока. Мз Физматгиз, 1969. 932 с. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. Мл Физматгиз, 1963. 879 с. Галеев Э.ЛХ., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Мл Изд-во МГУ, 1985. 201 с. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. Мх Энергоатомиздат, 1983. 328 с. Зарубин В.С.
Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. Мл Машиностроение, 1985. 296 с. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. Ы.. Наука, 1973. 668 с. Крылов А.Н. Собрание трудов. Т. 7. Мл Лл Изд-во ЛН СССР, 1936. 696 с. Лойилнский Л.Г. Механика.кндкости и газа. Мл Наука, 1970. 903 с. ЛХихлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.
Мл Наука, 1966. 432 с. Проблемы Гильберта: Сб. / Под ред. П.С. Александрова. Мл Наука, 1969. 239 с. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. Мл Мир, 1973. 468 с. Фврмальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. Мл Наука, 1973. 477 Недоев Н.П. Тооретичоская мохлннка. Мл Наука, 1987. 367 с. Эклаид Н., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы: Пер. с англ. Мл Мир, 1979. 400 с.
Эльсгольи Л.Э. Вариационное исчисление. Мл Гостехтеоретнздат,. 1958. 164 с. Справочные издания и монографии Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дерузв, А.П. Варнационные принципы теории упругости и теории оболочек. Мл Наука, 1978. 287 с. Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. Мл Высш. шк., 1978. 190 с. Атаке М., Фалб П.
Оптимальное управление. Мл Машиностроение, 1968. 764 с. Беллмен Р. Динамическое программирование. Мл Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с. Бвллмаи Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования; Пер, с англ. Мл Наука, 1965. 458 с. Бердичевский В.Л. Вариационные прннпипы механики сплошной среды. Мл Наука, 1983. 448 с.
Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена: Пер, с англ. Мл Энергия, 1975. 208 с. Броюатейи Н.Н., Семендлев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. Мл Наука, 1986. 544 с. Габасов Р., Кириллова М.Ф. Особые оптимальные управления. Мл Наука, 1973. 256 с. Грибанов В.Ф., Паничкии Н.Г.
Связанные и динаъвическне задачи термоупругости. Мл Машиностроение, 1984. 184 с. Каллаши Л. Задачи на собственные значения: Пер. с нем. Мл Наука, 1968. 503 с. Кори Г., Кори Т. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров: Пер, с англ. Мл Наука, 1973. 832 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
