XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Скалярное произведение в А2 (й) определяется 9,1. Операторное уравнение форм1 лей ®д) = ®х),д[х)) дх. 4~ Если бесконечномерное нормированное пространство ь не является полным, то его можно пополнить, т.е. построить такое полное нормированное пространство 1., которое включает в себя нормированное пространство й, причем с". является множестпвом, есн~ду плотпным в Г. Расширение нормированного 1евклидова) пространства с, до полного й. называют пополнением нормированноео [евклидова) простпранстпва с",.
Пример 9.4. Рассмотрим линейное пространство С[оеб] функций, непрерывных на отрезке [а, 6]. Введем в этом пространстве скалярное произведение согласно формуле 11, д) = 11х)д1х) дх. о 19.5) Получим евклидово пространство [1Ч]. Однако это простран- ство не является полным, и потому оно не гильбертово. Дей- ствительно, рассмотрим последовательность функций — 1(х( — —; 1 п' 1 1 — -<а<-; и п 1 — < х < 1.
и ~р„[х) = пх, Зта функциональная поеледоеатпельностпь сходитпея. на отрезке [ — 1, 1] потпочечно к функции — 1, — 1<х<0; О, х=0.; 1, 0<х<1 И )= 1т.е. ~р„[х) — ~ ~р[х) при п — т оо для любого х Е [ — 1, 1]) . 318 9. ФОРМУЛИРОВКА ВКРИАЦИОННЫХ ЗАДА'1 Непосредственным вычислением убеждаемся, что при п, — ~ оо. Значит, ~р„— + ~р по норме, порожденной введенным скалярным произведением. Нетрудно, однако, заметить, что функция ~р(ж) не является непрерывной на [ — 1, Ц и не станет непрерывной, даже если ее изменить на множестве меры нуль,. так как она имеет точку разрыва первого рода. Линейное пространство С[ — 1, Ц с заданным на нем скалярным произведением представляет собой линейное мноеообразие в гильбертовом пространстве Аз[ — 1, Ц, т.е.
множество., замкнутое относительно линейных операций, но не замкнутое в топо- логическом смысле, так как содержит не все свои предельные точки (например, описанную функцию у(т) ) . Можно показать, что для произвольного отрезка [а., в] множество С[а,б] всюду плотно в Та[а,б], т.е. любая функция из Аз[а,б] является пределом сходящейся в среднем квадратичном последовательности непрерывных функций. Таким образом., при рассматриваемом скалярном произведении пополнением С[а, 5] является Ая [а, 6]. Пример 9.5. Множество С~(й) функций, тп раз непрерывно дифференцирусмых на замкнутом ограниченном множестве П с и", относительно скалярного произведения (9.5) также является нормированным, но не полным, пространством.
Попоянением этого пространства является Ьз(П). Говорят, что оператпор А дейстпвуетп в линейном пространстпве Е, если и область определения 0(А), и область значений Л(А) этого оператора являются подмножествами в Е. Пусть В(А) линейное многообразие в Е. Оператор А называют линейным оператпором, если А(аи + ~3о) = оА(и) + ~3А(о) 9А. Операторное урпппепие для любых элементов и, и Е Р(А) и любых чисел о, (д. В частном случае, когда линейное пространство С конечномерное, а Р(А) = ь", приведенное определение равносильно определению линейного оператора в конечномерном пространстве (1У]. В конечномерном линейном пространстве х. любой линейный оператор А с областью определения Р(А) можно продолжить на все линейное пространство Е, т.е.
построить такой оператор А с областью определения Р(А) = ь", который на Р(А) совпадает с А. В бесконечномерном случае это уже неверно. Пусть А — оператор, действующий в нормированном пространстве ь". Уравнение А(и) = у, где у Е Е -- заданный элемент нормированного пространства ь', называют оиератпорным уравнением.
Пример 9.6. Если б конечномерное линейное пространство, а А линейный оператор с областью определения Р(А) = ь, то операторное уравнение Аи = у в координатной записи в некотором базисе линейного пространства представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Если нелинейный оператор А действует в конечномсрном линейном пространстве ь, то в координатной записи получаем систему нелинейных функциональных уравнений. Пример 9.7. Рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) д2и(т) — +си(и) =1, те(0,1), сЕК, с краевыми условиями и(0) = и(1) = О. Дифференциальное уравнение этой задачи можно интерпретировать как операторное уравнение, определяемое линейным оператором Аи = — ил+ си.
(9.6) 820 9. ФОР:я'УЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В качестве области определения этого оператора можно выбрать множество С~[0, Ц дважды непрерывно дифференцируемых функций, являющееся линейным многообразием в нормированном пространстве С[О,Ц с нормой ~~ ~~ ., причем всюду плотным в С[О,Ц. Но тогда найденные решения операторного уравнения придется проверять на соответствие краевым условиям. Поэтому в данном случае в качестве области определения оператора удобнее выбрать множество С~~~[0, Ц функций., дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, Ц и удовлетворяющих краевым условиям. Так как заданные краевые условия однородны, указанное множество является линейным многообразием в С[0, Ц.
Линейный оператор А представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора, поскольку в него входит операция дифференцирования. Обозначив через Мс линейный оператор умножения на число с (т.е. Маи = си), мы можем записать линейный оператор А в виде ~2 А = — +М„ дт2 Ф где —, - — общепринятое обозначение оператора двойного дифйя' ференцирования. Пример 9.8.
Рассмотрим краевую задачу для ураененая Пуассона — Ьи(х) = ~(х), х Е Г, (9Л) с краевым условием (9.8) и(х) = д(х), х Е Я, где Ь вЂ” оператор Лапласа; Ъ' С ясз — заданная область; ~(х) заданная функция, непрерывная в области Г; д(х) заданная функция, определенная на поверхности Я., ограничивающей Г.
321 док Операторное уравнение, Как и в предыдущем примере, мы имеем дело с линейным дифференциальным оператором А = — Ь. В качестве области определения оператора А можно взять множество Св(1г) Г1 С()г) функций, непрерывно диффсренцируемых в области г' и непрерывных на ее замыкании Г = 1т 0 Я. Рассматриваемое множество является линейным многообразием в нормированном пространстве С(Г).
Однако если в качестве области определения оператора А взять множество функций из С (1') Г1 С()г), удовлетворяющих заданным краевым условиям, то оператор теряет свойство линейности, так как при неоднородных краевых условиях указанное множество не будет линейным многообразием. В самом деле, пусть функции и, и Е С~(1т) О С(Г) удовлетворяют условию (9.8), т.с. и(х) = и(х) = д(х), х Е о, но их линейная комбинация и! = ои+ Ди при произвольных значениях о, Д Е Ж уже нс удовлетворяет этому условию, поскольку ш(х) = (о+ Д)д(х), х Е о'. Отмеченное обстоятельство объясняет, почему, решая подобные краевые задачи, обычно стремятся преобразовать их так, чтобы получить однородные краевые условия. Пример 9.9. Рассмотрим нелинейную краевую задачу с операторным уравнением й и(х) — + д(и) = 1'(х), х Е (а, б), (9.9) и краевыми условиями и(а) =- а, и'(б) + е(и(б)) =- ~3, ск, )3 Е вс, (9.10) в классе дважды непрерывно дифференцируемых на [а, б) функций.
Предположим, что функция Дх) в правой части уравнения (9.9) и функция д(и) в его левой части являются непрерывными в своей области определения. В качестве области определения 322 р. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАНИОННЫХ ЗАЛА Н оператора возьмем множество С~з 1 ) ~а, Ь] С Се~а, Ь] таких функций и(я), для которых выполняются краевые условия (9.10), причем функция я(и(я)) во втором краевом условии непрерывна. ур Пусть линейный оператор А действует в гильбертовом пространстве Я и его область определения Р(А) является множеством, всюду плотным в 'Н. Если для произвольных элементов и, о Е Р(А) выполнено равенство (Аи, п) = (и, Аи), (9.11) то оператор А называют симметпричеспим оператпором.
Напомним, что в случае конечномерного евклидова пространства оператор., удовлетворяющий соотношению (9.11), называют самосопрялсенным. Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является симметрической. Поэтому понятие симметрического оператора можно трактовать как обобщение понятия самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве.
Отметим, что условие симметричности оператора в гильбертовом пространстве зависит не только от вида этого оператора (т.е. от формулы,. которой он описан),но и от его области определения. Расширение области определения может привести к потере условия симметричности. Линейный оператор А называют положитпельным оператпором*, если (Аи, и) ) О, и Е Р(А), !)и(! у'= О. Для положительного оператора А из равенства (Аи, и) = О следует равенство !)и!) = О,или и = О.
Обычно термин „пояожитечьный' распространяют только на симметрические операторы, но дяя дальнейшего изложения удобно рассматривать зти дна пОнятия нЕзависимО. 323 9. Ь Операторное уравнение Симметрический оператор А называ1от положительно определенным оператором, если для некоторого числа 7 > 0 верно неравенство (Аи, и) > уз ((и))2, и Е Р(А). (9.12) Положительно определенный оператор явняется положительным, но обратное утверждение, вообще говоря, неверно даже в случае, когда положительный оператор одновременно является и симметрическим.
Пример 9.10. Убедимся, что линейный дифференциальный оператор А, рассмотренный в примере 9.7 и определенный на линейном многообразии Р(А) = Созе,Ц, является симметрическим. Действительно, для произвольных функций и(х), с(х) Е Се~~О, Ц последовательным интегрированием по частям с учетом краевых условий и(0) = и(1) = ю(0) = е(1) = 0 получаем и":")=)(-аЧ ).~ э))е')ь= о = — и'(х)ю(х) + ~ и'(х)ю'(х) Йх+ с и(х)ю(х) дх = о 1 = и(х)о'(х) — / и(х)ю' (х) Мх+ с и(х)ю(х) Йх = о о о 1 ()(-оГ()+»())Ь=(«А ) а Если считать, что областьк> определения рассматриваемого оператора А является линейное многообразие Сз~О, Ц, то этот оператор уже не будет симметрическим, так как, повторяя те 324 9. ФОРМУЛНРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ же выкладки, получим 1 (Аи, о) = (и(х) о'(х) — И (х) о(х)) + (и, Ао) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
