XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(9,13) о Отсюда заключаем, что (Аи, о) ф (и, Ао) для некоторых функций и и о из Со[О, Ц. При с > 0 рассматриваемый линейный оператор (с областью определения Со[0,1)) является и положительным, так как для пРоизвольной фУнкции и(х) Е Сов[0, 1] с Учетом кРаевых Условий и(0) = и(1) = 0 интегрированием по частям получаем =) (,'( (('~ 4..($ (('„,>О. (9.1о о В случае с > 0 равенство (Ао... и) = 0 возможно лишь при ((и((~, = 3 = О., откуда следует., что и(х) есть нулевой элемент гильбертова пространства Го[0, Ц. Если с = О, то из равенства (Аи, и) = 0 следует, что и'(х) = 0 в интервале (О, 1).
Значит, в этом ин- тервале и(х) = С = сопв1, а в силу однородных краевых условий С=Они(х) =О. При с > 0 оператор А является и положительно определен- ным, так как, согласно (9.14), (Аи, и) > с((и))~~, Пример 9.11. Рассмотрим линейный оператор А = — Ь из примера 9.8. Используя вторую формулу Грини 325 9. П Операторное уравнение верную для любых дважды непрерывно дифференцируемых функций и(х), и(х) Е С~(Р ), получаем (л,, )-(, ~.|=|ьл.—.ь,)а = (и 57и — о 57и) п аэ, (9.15) л где 57 оператор Гамильтона; п единичный вектор внешней нормали к кусочно гладкой поверхности К ограничивающей пространственную область 1с. Отметим, что ~7и равно градиенту действительной функции и, а (~7и) п = ди(дп производной этой функции по направлению п внешней нормали к Ь.
Из (9.15) следует, что равенство (Аи, о) = (и., Аи) не выполняется для проиэвольных функций и, и о, т.е. оператор А = — Ь с областью определения Сг(17) П С(Г) не является симметрическим. Но если ограничить действие оператора только на функции, удовлетворяющие однородным краевым условиям, положив в (9.8) д(х) = 0 на Я, то интеграл в правой части (9.15) обратится в нуль, а оператор А станет симметрическим. Согласно первой формуле Грина и1Чи)пЙЯ= (иЬи+57и'7и)Л", л и находим (Аи,и) = — и7лиЙЪ'= — иЯи)паЯ+ (7и) Л'. (9.16) Видим, что при однородных краевых условиях (т.е.
при д(х) = : — О) оператор А будет положительным, если его действие ограничить на функции и Е С~(и ) О С(17), удовлетворяющие этим краевым условиям. Действительно, в этом случае, соглас- но (9.16), (Аи, и) = ( ч'и)а Л' > О. к 326 Из равенства (Аи,и) = О следует равенство 'уи = О. Но тогда и = сопв1, а с учетом однородных краевых условий и = О. Можно показать, что при однородных краевых условиях оператор А будет и положительно определенным [ХПЦ. Однако оператор А не является положительным, а значит, и положительно определенным, если в качестве его области определения рассматривать все линейное многообразие С (Ъ ) П С(Г).
Оказывается, что в этом случае существуют такие функции и, для которых поверхностный интеграл в правой части (с1А6) больше тройного интеграла. ф Рассмотрим операторное уравнение Аи = у, для которого оператор А является линейным. Теорема 9.1. Если оператор А, действующий в гильбертовом пространстве 'Н, является положительным, а уравнение Аи = у имеет решение, то это решение единственное.
м Пусть одновременно Аис = у и Аиз = у. Тогда., обозначив и = ис — из, получим Аи = А(ис — из) = Аис — Аиэ = у" — у" = О. Следовательно, (Аи, и) = (О, и) = О. В силу положительности оператора А заключаем, что и = О и и1 = ия. Таким образом, любые два решения уравнения Аи = у совпадают. ~ Теорема 9.2 стпеорелта о квадратпичнолт функционале). Если А — . симметрический положительный оператор с областью определения Р(А), а ие Е Р(А) решение уравнения Аи = у, то это решение доставляет наименьшее значение квадратпичному функционалу ,с[и) = (Аи, и) — 2(и, у).
Наоборот, если элемент ие Е Р(А) доставляет наименьшее значение функционалу с[и), то этот элемент является решением уравнения Аи = т". 327 9.1. Опорагорноо уравнение < Пусть Аио = у. Тогда для любого элемента и Е Р(А) 3[и] = (Аи, и) — 2(у, и) = (Аи, и) — 2(Аио, и) + + (Аио., ио) — (Аио, ио) = (А(и — ио), и — ио)— — (Аио: ио) = (Ай, й) — (Аио, ио), (9А7) где й = и — ио. Видно, что функционал достигает своего наименьшего значения,У[ио] = — (Аио, ио) при (Ай, й) = О, т.е. при и =ио Е Р(А). Пусть теперь элемент ио Е Р[А) доставляет наименьшее значение функционалу,7[и]. Выберем произвольный элемент Ьи Е Р(А) так, чтобы и = ио + Ьи Е Р(А).
Тогда ,У[и] †.7[ио] = био+ Ьи] — 3 [ио] = = (А(ио+ Ьи), ио+ Ьи) — 2(У, ио + Ьи) — (Аио, ио) + + 2 (У, ио) = (АЬ и Ь и) + 2 [Аио — У Ьи) > О. Записанное неравенство верно для любого элемента Ьи. Выбрав Ьи = 1п, где элемент и Е Р(А) фиксирован, а 1 Е К принимает произвольные значения, получим 1' (Ап, и) + 21(Аио — у, и) > О, 1 6 2. Но это неравенство верно для любого 1 Е К только в том случае, когда (Аио — у, и) = О. Так как элемент и Е Р(А) произволен, то заключаем., что Аио — у = О, или Аио = у. ~ Теорема о квадратичном функционале устанавливает связь между операторным уравнением и некоторой вариационной задачей. Вместо того чтобы решать операторное уравнение, можно искать наименьшее значение соответствующего функционала. Однако недостаток указанной теоремы состоит в том, что далеко не всегда удается поставить математическую зада~у так, чтобы это было операторное уравнение с симметрическим положительным оператором.
Круг таких задач 328 9. ФОРЪГУ~?ИРОВКА БАРИАЦИОНИЫХ ЗАДА и весьма ограничен. Поэтому важно установить и другие условия, при которых возможен переход от операторного уравнения к поиску наименьшего значения соответствующего функционала и которые не содержат требования симметричности или положительности оператора. Если прикладная задача., сводящаяся к решению операторного уравнения, допускает указанный переход к некоторой вариационной задаче, то последнюю мы будем называть вариационной формулировкой исходной прикладной задачи. 9.2. Вариационное уравнение Вернемся к операторному уравнению Аи = у" с оператором А, действующим в гильбертовом пространстве 'Н. Допустим, что область определения Р(А) этого оператора есть всюду плотное мнолсестео в 'Н.
Рассмотрим уравнение вида (ОА8) Г(и.,би) = О, определяемое некоторым функционалом Г[и.,би] с областью опредсления Р(Г) = Р хР;„, где Р(А) С Р,„С'Н, Рьз, С'Н. Если это уравнение эквивалентно операторному уравнению Аи = = у, то его называют вариационным уравнением, соответствующим этому операторному уравнению. Условие равносильности уравнений Аи = у и Г(и,би) = О означает, что любое решение операторного уравнения удовлетворяет вариационному уравнению при любой вариации йи Е Ря,„, а любой элемент и Е Р(А), превращающий вариационное уравнение в тождество, есть решение операторного уравнения. Вариационное уравнение называют золономным, если его левая часть является первой вариацией Ад[и, би] некоторого функционала з [и] с областью определения Р(з) = .Р .
Если такой функционал,7[и] удается найти, то операторное уравнение Аи = у будет равносильно уравнению б1[и,би] = О, т.е. решение операторного уравнения равносильно поиску стационарных 9.2. Вариационное уравнение точек функционала,У(и]. Таким образом, переход к вариационной формулировке прикладной задачи может быть реализован построением голономного вариационного уравнения. В некоторых ситуациях голономное вариационное уравнение, эквивалентное операторному, построить не удается, но можно построить такое вариационное уравнение, которое среди своих решений содержит все решения операторного уравнения. Тогда, решив такое вариационное уравнение, нужно выделить среди найденных решений те,которые имеют отношение к операторному уравнению.
В качестве вариационного уравнения, .соответствующего операторному уравнению Аи — у", можно взять следующее: (Аи — У, 5и) = О, ои Е Ое„с 'Н, (9.19) у (у'„,«,-Ь) г„с=а. ь=-1 (9.20) где Пв всюду плотно в гильбертовом пространстве Я. Нетрудно убедиться, что все решения операторного уравнения удовлетворяют уравнению (9.19). Верно и обратное. Если для заданного элемента и Е П(А) равенство (9.19) выполняется для всех элементов би из всюду плотного в 'Н множества, то Аи — у = О (1Х1, т.е.
в этом случае и является решением операторного уравнения Аи = у. Вьисним, при каких условиях вариационное уравнение (9.19), соответствующее линейному оператору А, является голономным, т.е. его левая часть представляет собой первую вариацию некоторого функционала о[и). Сначала разберемся,как ответ на этот вопрос выглядит в конечномерном случае. Пусть А линейный оператор в Х-мерном евклидовом пространстве Е. В некотором ортонормированном базисе действие этого оператоРа своДитсЯ к Умножению столбЦа кооРДинат им и2, ..., ик вектора и на некоторую квадратную матрицу А = (а; ), а уравнение (9.19) можно записать следующим образом: 330 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
