XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При этом при столкновении не наблюдается неупругих эффектов. Быстрый солитон как бы проходит сквозь медленный без нарушения их формы. После столкновения возникают точно такие же по форме солитоны, что и до столкновения. Это свойство солитонов сохранять свою форму при взаимодействиях позволяет назвать солитон "частицеподобным" решением уравнения КдФ. 320 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Удивительно, но процесс взаимодействия солитонов удается описать точным аналитическим решением уравнения КдФ ди ди ДЗи — + и — + /3 — = О. д8 Дх дхЗ Сделаем подстановку д и = 12Д вЂ” (1пг), Дхз (9.52) Особенность уравнения (9.53) состоит в том, что оно имеет характерную форму, содержащую оператор Д ДЗ вЂ” +Д вЂ”- Д1 Дх Позтому можно заметить, что простая функция с зкспонентой Р'(х, 1) = 1 + ~ = 1 + ехр( — 0), (9.54) удовлетворяет уравнениям ДЗР') Дг ДЗР ДхЗ,1 Дх Дхз ДГ ДЗг' ДС Дхз где д = а (х — л) — оЗ,3й; о, я = соней.
Позтому функция (9.54) является также решением уравнения (9.53). Если теперь в соответствии с формулой преобразования (9,52) найти решение являющуюся определенным обобщением подстановки (9,32) Коула — Хопфа. Тогда после преобразований получим для функции Г(х, З) сложное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка РА. Многоеоантонные решения уравнения Кортевега — ле Фриза 321 уравнения КдФ, порожденное функцией Р(х, ~) из (9.54), то его можно представить простой формулой с" У 2 2 1 2 -2о и = 12д ( +/)2 = 3'Зсз ~ у/2 — В/г! = 3~9сз сЬ 2' которая при Здо~ = А = сопв1 описывает одиночный солитон и(х, 1) = АсЬ 2 (9.55) где в = да2 = А/3; Ь = ф.2ф/А, сдвинутый вперед на величину а относительно "стандартного" солитона (9.49). Величина в представляет собой координату центра (максимума) солитона при ~ = О. Ее часто называют фазой солитона, Амплитуда А и фаза в полностью определяют солитон.
Поэтому в дальнейшем мы будем использовать символ Бо1(А, а) для обозначения уединенной волны, (9.55). Для нахождения более сложного по структуре решения уравнения КдФ, описывающего взаимодействие двух солитонов, воспользуемся методом возмущений в теории взаимодействия. Для этого представим функцию Р в виде разложения в Ряд Р 1+ е гг( ) + С2 5 (2) + (9.56) по некоторому формально введенному параметру с, который после преобразований можно положить равным единице.
Подставляя (9.56) в (9.53) и собирая члены при одинаковых степенях е, получаем цепочку уравнений (9.57) д / дР(2) дз Г(2) '1 дт ~ д( дхз два(1) 2 дР<~~ дзФ1) (9.58) и т.д. 322 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Если в качестве Г(1) выбрать сумму двух экспонент, порождающих солитон, т.е, считать, что Р(1) = )'1+)2,,)у — — ехр )-а (х — л )+а")э11, 1' = 1, 2, то уравнение (9.57) тождественно выполняется, так как каждое из ~ является его решением. Второе соотношение (9.58) этой цепочки дает уравнение для определения функции г'(~). Оно имеет вид д )'дг(2) дЗг(2) 1 — ~ — +,9 ) = 3)уа1а2 (а2 — а1) У1Л.
(9.59) дх ~ д( дхЗ ) Будем искать его решение в виде г(~) = В7172, где В— некоторая постоянная, которую требуется определить. Дифференцируя, находим 3 3 3 3 — = а)ПВ7172 + а2РВ7172 =-)э(а1+ а2) В71|2' Д1 ДЗ с(2) )3 = —,0 (а1 + а2)3 Ву1 72; Д*З = [-(а1 + а2) + (а1 + аг) ~ (а1 + а2) )ЗВИАД = = 30а1а2 (а1 + а2) В1112. Тогда с учетом (9.59) получаем В (а2 + а1)2 В остальных уравнениях цепочки для функций г(~) при й > 2 правые части обращаются в нуль, давая результат г'(") = О для всех )с > О. Поэтому функция г = 1+у1+72+ 2 71у2 (9.60) (аг — а1) (а2 + а1) 9,4. Многоеояитонные решения уравнения Кортевега — ле Фриза 323 является точным решением уравнения (9.53). Теперь, используя преобразование (9.52), находим соответствующее точное решение уравнения КдФ в виде о1)1 + о2.Я2 + 2 (о2 о1) 11У2 13Р (1+ Л + У2+ ВУ2)2 + .
2. (9.61) В(,„2~2~ +,„г~,2) (1+ Л + й+ ВЫ)' Здесь 12 11 — — ехр(-о.(х — ву) +а /П), 1 = 1, 2; В = 1,а2+ а1,~ Проведем анализ полученного решения. Покажем, что это решение близко к уединенной волне (9.55) с о = а в тех областях плоскости состояний (х, 1), где 1' 1, а 1; (1 ф 1) либо велико, либо мало. Действительно, проводя предельные переходы в (9.61), получаем: а)есина' 1,а~а<<1,то О ° (у 2 (1+ У.)2' Это решение соответствует солитону Бо1(Ау, а ); б) если ~; -1, а,~; >> 1, то а уу 2 =д11 ',, У,=ВУ,. (1+ ~.)г' Такое решение описывает сдвинутый по фазе солитон Бо1(Ау, а ), где 1 а =а + — 1пВ. а.
В области, где 11 - 1 и 12 1, происходит взаимодействие солитонов и функция и(х, $) сложным образом зависит от х и 1 в 324 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ соответствии с выражением (9.61). В области плоскости (х, 1), где 11 и 12 обе малы или велики, имеем и - О. Опишем теперь с помощью уравнения (9.61) взаимодействие уединенных волн. Пусть для определенности аг > а1 > О, а з1 > яг, так что "быстрый" солитон с большей амплитудой находится сначала левее "медленного" солитона, догоняя его. При 1 — 1 — оа область взаимодействия солитонов отсутствует (рис.
9.9, а), и уравнение (9.61) описывает две волны. Центр уединенной волны с амплитудой А1 находится в точке х = з1+ а/1, вблизи которой у1 - -1, а Ь (( 1. Центр уединен- 2 ной волны с амплитудой Аг > А1 находится левее в точке 1 (аг + а1' ,,г х = зг — — 1п~ ~ +агр1, а2 1,а2 аг вблизи которой уг = 1, а ~1 >> 1.
В остальных точках и - О. Рис, 9.9 9.4. Мяогосолитояяые ровшана уравяеаия Кортевега — ле Фриза 325 При 1-+ +со имеем следующую картину (рис. 9.9, в): центр уединенной волны с амплитудой А1 находится в точке 1 (а2+ а1' ° 2 х = я1 — — 1п ~ + а1191, а1 вблизи которой 11 = 1, а у2 » 1; центр уединенной волны с амплитудой А2 находится правее в точке х = я2 + а2191, вблизи 2 которой 11 « 1, а 12 1, В остальных точках и - О. Взаимодействие солитонов (рис. 9.8, б) происходит в окрестности точки а2Я1 — а1Я2 2 2 2 2 2 а1 Я1 Я2 в момент времени 1 = т, где т = Р (а2 а1) После столкновения образуются снова два солитона с теми же амплитудами и скоростями, что и до столкновения, Изменяются лишь фазы этих солитонов. "Быстрый" солитон в результате столкновения получает дополнительный сдвиг вперед на величину а2 ~а2 а1 ~ а "медленный" солитон сдвигается назад на величину а1 ~а2 а1~ Более общий метод решения уравнения КдФ, который называют методом обратной задачи рассеяния, основан на использовании свойств решения линейного уравнения Шредингера ,12 ~ — + [Л вЂ” и(х, 1))ф = О, Л = сопяС, 11х в котором в качестве потенциала силового поля выступает функция и(х, 1), являющаяся решением уравнения КдФ.
326 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Методом обратной задачи рассеяния показано, что г1-солитонное решение уравнения КдФ, описывающее взаимодействие Ж солитонов, может быть также найдено по формуле (9.52), где Р = с1е1 Р1вп~ и выражается через определитель матрицы размером Ж х г1 с матричными злементамн 2ат Рр~и = блад + Лоан+ ап Здесь бш„— символ Кронекера, соответствующий единичной матрице, а ~,„= ехр[ — аш (я — яш) + а„,(11). В частном случае М = 2 имеем а1+ а2 2а2 У2 1 + У2 а2+ а1 = 1+ Л + 12 + У1 Л— 4а1а2 ( „)2 )2Ы2=1+Л+И2+( )2ЛЬ (а2 + а1) (а2+ а1)2 что совпадает с решением (9.60) для двух солитонов, Асимптотически г1-солитонное решение при ф -+ оо распадается на сумму М солитонов, расположенных при 1 — ~ -оо в порядке убывания их амплитуд и скоростей, а при 1 -+ +оо — в порядке возрастания амплитуд и скоростей.
Первое качественное описание уединенной волны на поверхности неглубокого канала было дано в 1844 г. морским инженером Скотт-Расселем. В 1958 г. Р. Сагдеев показал, что в плазме также могут распространяться возмущения в виде уединенных волн. Солитоны описывают решения нелинейных уравнений во многих задачах физики плазмы, физики твердого тела, гидродинамики, квантовой теории поля, биофизики, химической кинетики и др.
94. Многосоянтонные решення уравнения Кортевега — ле Фраза 327 Именно устойчивость солитонов по отношению к изменению формы позволила специалистам по волоконной оптике предложить испольэовать нелинейные эффекты для подавления дисперсии волн и получения коротких солитонных импульсов в оптических линиях связи. Расчеты показали, что зто позволяет увеличить скорость передачи информации по линиям оптической связи на несколько порядков. Есть основания даже утверждать, что природа давно выбрала такой способ передачи информации с помощью импульсов-солитонов в нервных волокнах. Решения в виде уединенных волн были обнаружены для большого числа других физически интересных нелинейных уравнений математической физики.
Среди них можно отметить нелинейное уравнение Шредингера (или НУШ), которое в безразмерной форме имеет вид ди д2и а — + — + 2 )и)~ и = О. Ю дх2 (9.62) Это уравнение описывает распространение модулированных волн в кристаллах и оптических волокнах, ленгмюровских волн в плазме, тепловых волн в твердых телах, волн возбуждения в молекулярных цепях и другие процессы. Решения в виде уединенных волн обнаружены также и у нелинейного уравнения синус-Гордона (уравнение э1п-Гордон) дп д2П вЂ” — — +в1пп = О, дР дх2 (9.63) описывающего, например, протекание тока Джозефсона через участок между двумя сверхпроводниками, распространение волн намагниченности в ферромагнетиках или движение дислокаций в кристаллах. Все зто позволяет сделать вывод о том, что теория нелинейных волновых процессов, рассматривающая взаимодействие волн различной природы, является актуальным направлением математической физики.
328 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОПЕССОВ Вопросы и задачи 9,1. Опишите механизм "опрокидывания" волн в условиях нелинейно- го конвективного переноса. 9.2. Для дисцергирующей волны, описываемой дисперсионным соотношением ы = пей — да, определите разность фазовой и групповой скоро. э стей. г Отеепх еф — еббр = 2дй 9.3. Преобразуйте уравнение Кортевега — де Фриза (9.42) к виду ди ди де и — +6и — + — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
