XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(9.35) Решение уравнения теплопроводности (9.33) с начальным условием (9.34) может быть записано в форме интеграла Пуассона (см, формулу (2.74)) +00 ~р(х, 1) = ! Ф(ц) ехр~ — ~ й1. (9.36) 1 ( ( )2з ъГ4тгИ ! 4И После подстановки Ф(п) из уравнения (9.34) в уравнение (9.36) получаем +оо О ~р(х, 2) = ехр — — Р(() Н( — Щ -00 О откуда +со О ду ( — 1) /' (х — и) ~ 1 /' (.
)2 ехр — — Р(С) Н~ — Й1. дх ~/4кИ У 2И ( 2ь 1 4И -00 О 312 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Тогда в силу соотношения (9.32) для и(х, ~) имеем формулу —е ~( ") <Ь~ и(х, й) = | -В/(2и) 1 (9.37) ч 2 гДе В(В, х, 8) = Р(() й(+ (х — О) 2Ф О Итак, с помощью замены Коула- Хопфа найдено в виде (9.37) нсстационарное решение нелинейного уравнения Бюргерса (9.23), удовлетворяющее при ~ = О начальному условию (9.35). Это решение описывает эволюцию профиля нестационарной волны, распространение которой обусловлено нелинейным механизмом конвективного переноса и диффузней.
9.3. Уравнение Кортевега — де Фриза Пусть процесс распространения одномерных волн описывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных по пространственной переменной х и времени 1, имеющим вид Хи = О, (9.38) и(х, 1) = аехр( — г (ю1 — кх)). (9,39) где Ь вЂ” линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; и(х, 1) — функция, описывающая некоторую характеристику волны, например плотность среды, давление или потенциал скоростей. Будем искать решение уравнения (9.38) в форме монохроматической волны 9.3. Уравнение Кортевега — де Фриза После подстановки выражения (9.39) в (9.38) получим некоторое соотношение Р(ы, Й) = 0 между частотой ш и волновым числом к, которое называют дисперсиокным соотпношением.
Очевидно, что существует однозначная связь между дифференциальным уравнением (9.38) и порожденным им дисперсионным соотношением. В ряде случаев дисперсионное соотношение можно разрешить относительно частоты волны и записать его в виде ш = ы(й). Заметим, что наличие мнимой части у ш физически соответствует изменению амплитуды волны (9.39). В случае 1шы < О, когда амплитуда волны уменьшается, говорят о среде с диссипацией энергии волн. Если же 1шы = О, то среду называют недиссипирующей, При рассмотрении процесса распространения волн в активных средах, например электромагнитных волн в рабочих телах лазеров, возможна реализация условия 1ш ш > О, когда происходит усиление волны и ее амплитуда с течением времени увеличивается.
,1г Если — ~ О, то фазовая скорость волны г4, = ю/к не ,у,г совпадает с групповой гг = й >/Нй. Такую среду (а иногда и саму волну) называют средой с дисперсией, или диспергирующей средой. При наличии дисперсии монохроматические волны разных частот распространяются с разными скоростями. Так как любую сложную по форме немонохроматическую волну с произвольным профилем можно представить с помощью разложения в ряд или интеграла Фурье как сумму монохроматических волн, то в диспергирующей среде, где эти монохроматические составляющие распространяются с различными скоростями, их сумма в различные моменты времени будет давать различные профили немонохроматической волны. Дисперсия, как и нелинейность, приводит к искажению профиля распространяющейся волны.
Простейшее дисперсионное соотношение ы = сей соответствует линейному дифференциальному уравнению ди ди + ве — = 0 ое = сопв$ д~ дт (9.40) 314 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ решения которого и(х, 1) = Дх — ие1) для различных 1 описывают распространение недиспергирующих волн. Более сложное дисперсионное соотношение ит = иотс —,9йз соответствует линейному уравнению с дисперсией ди дзп — + ио — + д — = О, ие = сопа1; 13 = сопя$.
(9А1) д1 дх дтз Одновременный учет дисперсии и нелинейности приводит к уравнению ди ди дЗи — +и — +13 =О, (9.42) д1 дх дхз которое называют уравнением Хортпевега — де Фриза (или КдФ). Впервые уравнение (9.42) было получено Кортевегом и его учеником де Фризом в 1895 г. при описании распространения длинных волн на воде в прямоугольном канале со свободной поверхностью.
В такой гидродинамической модели под и следует понимать смещение поверхности жидкости от равновесного уровня. В настоящее время уравнение КдФ стало универсальным уравнением математической физики прн моделировании волновых процессов различной физической природы с учетом дисперсии и слабой нелинейности. Замечание 9З.
Путем простых масштабных преобразований координаты, времени или искомой функции уравнение КдФ можно записать также в следующей форме: ди ди дзи — +аи — + — = О, а =сопла й дх дез В литературе используются различные нормировки, отвечающие значени- ям а = 1, а = б и а = -6. зя Важной особенностью уравнения (9.42) в классе быстро- убывающих на бесконечности функций является существование бесконечного набора сохраняющихся величин вида 1п = топ(т1 пх ..)т1х, и =1, 2,..., 9.3. Уравнение Корхевега — де Фриза 315 где ~и„(з1, пх,...) — плотность сохРанЯющейсЯ величины, зависЯ- щая от и и ее производных по х; и = 1Г1и. Приведем несколько первых плотностей: 3 2 ш1=Ч' ш2= — Ч шЗ= — 0 — Ъ; 2 ' 3 4 2 9 2 и 4 П ЗхР1х + х1хх 4 5 Наличие бесконечного числа законов сохранения позволяет сделать вывод об интегрируемости уравнения КдФ в явном виде.
Приступая к поиску волновых решений уравнения КдФ, можно ожидать, что искажение профиля волны вследствие конвективной нелинейности может быть скомпенсировано изменением профиля распространяющейся волны, вызванным эффектами дисперсии. Предполагая возможность такой компенсации, будем искать решение уравнения КдФ в виде бегущей волны со стационарным профилем. Для этого произведем замену переменного С = х — И и преобразуем уравнение (9.42) в уравнение для функции и = и(О: г 1 3 Р(~1и~ 2 — — и + — и + — — ) =аи+Ь, Ь=сопа$.
2 6 2 10~) (9.44) Уравнение (9.44) можно привести к следующей форме: г 31з' — = Р(и), (9.45) где Р(и) = — иэ+ Зии2+ 6аи+ 6Ь. — и — + и — + 11 — = О, ,(хз = (9.43) где о = сопа1; 13 = сопя1. Это уравнение можно проинтегрировать, понизив его порядок. В результате интегрирования получим 1 2 Д и — ии + — и + Д вЂ” = а, а = сопв1. 2 д(2 Умножая это уравнение на Ии/Ыс и интегрируя полученное соотношение, находим 316 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Кубический трехчлен Г(и) целесообразно записать в виде Р(и) = (и1 — и) (иг — и) (иэ — и), обозначив через и1, иг и из корни уравнения г'(и) = О.
При этом и1 + и2 + и3 г= 3 и1и2 + и2иэ + изи1 а=— и1игиз 6 6 > , ~„,,г 3~3 ~ — | = (и1 — и) (иг — и) (из — и). (9.46) ~к) Поскольку выражение в левой части (9.46) положительно при 13 > О, то функция и может изменяться в интервале и2 < и < и1. Предположим сначала, что иг = иэ = О, а и1 = Зг > О. В этом случае из (9.46) следует уравнение 2 313 ~ — ( = и (и1 — и), ~ж/ иэ которого, разделяя переменные и интегрируя, находим | с~и 1+ й ио"й1 — и ~/311 Вычисляя квадратуру, получаем 3 и 1+(о — — Аг1Ь (1 — — = —, ~%1 ~/ и1 игЗ~Г ' (9.47) Константу со положим равной нулю.
В этом случае точка ( = О будет соответствовать максимуму функции и, так как и(0) = и1 при ~о = О. Тогда из уравнения (9.47) находим Полагая, что все три корня действительны, причем из < иг < и1, запишем уравнение (9.45) в виде 317 9.3. Уравнение Кортевега — де Фриза или и(с) = и1 сп (9.48) Возвращаясь к переменным х и ~, запишем найденное решение уравнения КдФ в виде нелинейной волны неизменной фор- мы 2/х — И~ и(х, ~) = Асп (9.49) Здесь А = и1 — амплитуда волны; и = А/3 — скорость волны; Ь = „/Г2~3/А — параметр, характеризующий эффективный размер области возмущения, где и ) О, 5А.
Такое решение (9.49) уравнения КдФ называют уединенной волной, или солитпоноа». Профиль уединенной волны изображен на рис. 9.7. =х-ий Рис, 9.7 и-+ и+по, и -+ и+ на, иа = сопэС, Такое возмущение колоколообразной формы, не изменяющейся со временем, распространяется в виде солитона с конечной скоростью н = А/3, значение которой зависит от амплитуды солитона. Чем больше амплитуда солитона, тем с большей скоростью он движется.
Зависимость скорости распространения от амплитуды характерна для всех нелинейных волн, в том числе и для нелинейной уединенной волны (9.49). Эффективная ширина аа солитона уменьшается с ростом его амплитуды. Учитывая, что уравнение (9.43) инвариантно относительно замены 318 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ можно записать также решение уравнения КдФ в виде уеди- ненной волны, бегущей по ненулевому фону: ь, Й) = а+Ай 1 — ( — ( 0<- — )Й)).
(950) А ( ')( 1213 3 В более общем случае, когда все три корня уравнения Р(и) = 0 отличны от нуля, после интегрирования уравнения (9.46) получаем и(С) = нг+ (н1 — н2) ' ~ ' ', л, (9,51) 2 н1 н2 где параметр л определяется выражением л н1 нз Специальную функцию и = сп(л, л) называют эллипгпичесмой амуницией Якоби или эл ьиптичесхим хосинусом. Эта функция определяется неявным образом с помощью эллиптического интеграла первого рода йр я Л гРю 0 Решение (9.51) называют нноидальной волной. Эта волна является пространственно периодической структурой (рис. 9.8), и ее период по пространственному переменному, т.е.
длина волны, Л = 4К(.) н1 п3 Здесь К(л) — полный эллиптический интеграл первого рода, я/2 К(л) = л 4:1г2Э О вА. Многоеоянтонные решения уравнения Кортеаега — ле Фриза 319 Рис. 9.8 В предельном случае, когда из и и2 стремятся к нулю, параметр в стремится к единице, а так как при в — а 1 1 16 1 К(в) = — 1п —, а сп(г, в) = —, 2 1 — в2' сЬз' то расстояние между соседними максимумами кноидальной волны неограниченно возрастает (Л -+ со) и каждый из них превращается в одиночный солитон. 9.4.
Многосолнтонньае решения уравнения Кортевега- деФриэа В численном эксперименте с применением ЭВМ, выполненном в 1965 г. М. Крускалом и М. Забуски, было исследовано "столкновение" двух солитонов с разными амплитудами, когда быстрый солитон обгоняет медленный. Оказалось, что по мере сближения в результате взаимодействия солитоны начинают обмениваться амплитудами и скоростями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
