XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для таких граничных точек условия формулируются как условия ограниченности собственных функций. Более подробные сведения о свойствах специальных функций, являющихся собственными функциями, можно найти в монографиях. 346 Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Собственные значения втой задачи Л„связаны с положительными корнями р„,„, и = 1, 2,,, уравнения Д„(р) = О, где Я„(х) — функция Бесселя т-го порядка, простым соотношением Собственные функции задачи (П16), ортогонвльные на отрезке [О, В] с весом р(х) = х, определяются формулой Х„(х) = Г~ а квадрат ик нормы равен 2 2 и г2 Напомним, что функция у = Д„(х) является ограниченным в точке х = О решением уравнения Бесселя тп-го порядка 1, ( т~ 2Л у +-у + (1 — — ~у=О. х ~, х2,~ Пример П2.4. Пусть р(х) = 1 — х2, о(х) = О, р(х) = 1, а = — 1, 6 = +1. Тогда для соответствующей задачи Штурма— Лиувилля [Х(+1) [ ( +со собственные значения Л„= о (и+ 1), и = О, 1, 2,..., а собственные функции 349 где полиномы и-й степени Р„(х) = — — [(1 — х ) [ (-1) й 2 и 2" и! Их" называют иолииомами Лежандра.
На отрезке — 1 < х < +1 зти полиномы ортогональны с весом р(х) = 1. Первые полиномы Лежандра равны Ро(х) = 1; Рз(х) = х; Р2(х) = — (Зх — 1); 2 Р3(х) = — (5х — Зх); Р4(х) = — (35х — 30х + 3); з 4 2 2 ' 8 Рз(х) = — (63х — 70х + 15х). 1 8 „2 Пример П2.5. Если р(х) = 1 — х2, 9(х) =, р(х) ав 1, 1 — х2 а = -1, Ь = +1, то соответствующая задача Штурма- Лиувилля формулируется как краевая задача д~ 2ЫХ) щ — — ~(1 — х ) — ~+ Х=АХ, — 1<х<+1; дх ~ дх~ 1 — х2 [Х(х1)[ < оо с условиями ограниченности собственных функций на концах отрезка [-1, +1].
Для такой задачи ги = 1, 2,..., Л„= и (и+ 1), и = 1, 2,..., Х„(х) = Р™(х), [[Х„[[ Здесь специальные функции 350 Прилежеиие 2. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ носят название присоединенных функций (многочленов) Лежандра т-го порядка. В частности: Р1 (х) = (1 — х ) ~; Р2 (х) = 3 (1 — х2) ~2х; Р2 (х) = 3(1 — х2); Р' = — (1 х2) ~2(5х2 1); 2 Рз(х) = 15(1 — х )х; Рз(х) = 15(1 — х ) ~2. Пример П2.6. Пусть параметры задачи (П13), (П14) зада- 2 2 ны в виде р(х) = е ~, д(х) = О, р(х) = е, а = — оо, Ь = +оо. Соответствующая задача Штурма — Лиувилля — со < х < +со; (П17) ~Х(хоо)! < Мхе, М, л = сопв1 > О рассматривается на неограниченной прямой, причем так как коэффициент р(х) обращается в нуль при х -е хсо, то на бесконечности ставится условие ограниченного (степенного) роста собственных функций задачи.
Задача (П17) имеет собственные функции Хп(х) = Н„(х); ОХЦ = ~/и -2" и! только при Л = Л„= 2п, и = О, 1, 2,... Здесь полиномы степени и е(и Н„(х) = (-1)" е* — [е называют полиномами Чебышева — Зрмита. Для них справедлива рекуррентная формула Н„+1(х) — 2хН„(х) + 2пН„1(х) = О, позволяющая определять Н„для всех п, зная Но(х) ив в 1 и Н1(х) = 2х. Например, Н2(х) = 2хН1 — 2НО = 4х2 — 2, Нз(х) = 2х Н2 — 4Н1 = 8х — 12х и т.д.
4 351 Задача на собственные значения может быть сформулирована и в более общей постановке как задача отыскания нетривиальных решений уравнений в частных производных, решаемых в некоторой области Й С Я (Ж = 2, 3). В частности, для задачи (л > О, о > О, р > 0) < Йч (Л игам( е) — де + Лре = О, М б Й С Я о( =0 существует счетное множество положительных собственных значений Л~ < Л~ < ... < Л„..., которым соответствуют соб- ственные функции о~ (М), ез(М),..., о„(М),..., удовлетворяю- щие условию ортогональности в области Й: р(М) о„(М) е,п(М) ИЪ' = 1(М) = Сспоп(М), М Е Й (П19) и=1 с коэффициентами 2 При более слабых условиях, накладываемых на функцию у, ряд (П19) может сходиться к функции ~(М) в среднем.
Другой интересный класс задач на собственные значения в приложении к задачам технической механики можно найти в монографии Л. Коллатца. Здесь Ы~' — элемент объема пространства Я~. Может быть также доказана теорема разложимости функции 1 (М), имеющей непрерывные частные производные до второго порядка в области Й и удовлетворяющие условию у = 0 на границе Е, в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям задачи (П18) Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ Во многих случаях при решении задач математической физики первая информация о свойствах решения может быть получена с помощью подхода, основанного на теории размерности и подобия, которая играет важную роль при моделировании различных физических процессов.
Методами теории размерности и подобия была решена, например, практически важная газо- динамическая задача о сильном взрыве (Л.И. Седов, 1946 г.), а также задача о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной теплопроводности (Я.Б. Зельдович, А.С. Компанеец, 1950 г.) и ряд других. Пусть в некоторой системе единиц измерения физических величин установлены некоторые основные единицы 91, 92,..., 9„для измерения основных физических величин. Так, в Международной системе единиц (СИ) такими основными единицами являются килограмм, метр, секунда, ампер, градус Кельвина, свеча и моль.
Тогда единицы измерения других проиэводныж величин, определяемых с помощью физических формул и законов, выражаются через основные единицы. Поэтому при изменении масштаба единиц измерения 91 в а, раз числовое значение производной величины а изменится в В раз. Тогда, если ь ь ь„ 1 2 ' л ~ говорят, что величина а имеет размернослэь (П20) Символ размерности обычно берется в прямые скобки или используется обозначение с11ша (от англ. Йшепя1оп — размер, размерность).
353 Формула размерности (П20) показывает, как мера величины а зависит от мер основных величин. Если же в (П20) все показатели размерности 5, для е = 1, 2, ..., и равны нулю, то величину а называют беэразлеермоб, приписывая ей размерность 1. Вычисление размерностей облегчается правилами размерности произведения (отношения) двух физических величин. По этому правилу если а = А В, то [а] = [А] [В], а если а = А/В, то [а] = [А]/[В].
Пример П3.1. Записать размерности скорости е, кинетической энергии ррй и удельной массовой теплоемкости с в СИ. 1. Так как по определению о = ЬЯ/Ь$, то [о]= = — =йт [ьль] Т 2. В соответствии с определяющей формулой В~, = — ти 2 2 имеем [[ф',] = ~ 1 [„][о]~ =1.М(УТ-')2 — МЬ т-2 (11 12~ Такую же размерность имеют потенциальная энергия, работа и количество теплоты. 3. По определению с =, где ЬЯ вЂ” количество тетпЬто плоты, необходимое для нагревания массы гп вещества на Ьто. Поэтому [ ] [Ь(~] МЬ Т у2Т [ ][Ьто] МЕ Здесь Ь, М, Т и 9 — символы размерности длины, массы, времени и температуры — основных физических величин соответственно.
ур Замечание П3.1. Иногда в формулах размерностей используют символы не самих основных величин, а их единиц измереннл. Например, [о[ = м с ', [И'"а[ =хг.м'с '. Ф 354 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ и = у 1х1, х2, ..., х,„). 1П21) Оказывается, что теория размерности налагает определенные ограничения на структуру функциональной связи (П21). Поэтому использование этой теории позволяет предсказать определенные свойства и структуру этой связи, не решая всей задачи.
Пусть среди т определяющих размерных параметров задачи х1, т2,..., тол пеРвые Й (Й < т) имеют независимые РазмеР- ности, т.е. размерность любой величины не может быть представлена в виде степенного одночлена из размерностей других Теория размерности накладывает определенные ограничения на возможные функциональные зависимости между размерными величинами.
Так если две величины а1 и ао связаны равенством а1 = а2, то ~а1] = (а2]. Равенство размерностей означает сохранение равенства величин при изменении масштабов основных единиц измерения. Аналогично если величины а1, а2 и аз связаны равенством а1 = а2 + аз, то размерности всех трех величин должны быть одинаковы, т.е. [а1] = ]аг] = ~аэ]. Запомним, что все члены в уравнениях, связывающих физические величины, должны иметь одну и ту же размерность.
Это свойство физических и соответственно математических формул называется свойством однородности. В более общем случае задачи математической физики искомая величина и функционально зависит от некоторых опреДелЯюших паРаметРов х1, хз, ..., хнл, пРеДставлЯюЩих собой размерные величины. Так, если исследуемое явление изучается при помощи дифференциального уравнения, то определяющие параметры появляются: 1) в виде коэффициентов дифференциального уравнения, 2) в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, 3) в виде геометрических параметров области решения — размеров, углов. Решая задачу математической физики, мы должны установить функциональную связь 355 величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
