XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 40
Текст из файла (страница 40)
д~ дх дхэ 9.4. Покажите, что модифицированное уравнение Кортевега— де Фриза ди э дв дэи — +и — + — =0 дс дх д*' имеет солитонное решение и(х, С) = /бс со [~/с(х — се)], с = сопяе. 9.6. Используя соотношение (9.61), составьте программу для ПЭВМ, позволяющую наблюдать на дисплее взаимодействие двух сталкивающихся солитонов. Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Дельта-функция б(х) была введена в математическую физику П.
Дираком для описания сосредоточенных воздействий. В нестрогой форме она определялась как "странная" фуыкция, равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности, причем интеграл от этой функции равен единице. Позже в работах С.Л. Соболева, Л. Шварца, И.М.
Гельфанда и других авторов была разработана теория обобщенных функций. В этой теории было показано, что дельта-функция ые может быть определена как классическая функция, однако как обобщенную функцию ее можно определить строго математически. В частности, к понятию дельта-функции как обобщенной функции можно прийти, рассматривая ее в качестве предела функциональных последовательностей, обладающих определенными свойствами. Рассмотрим, например, последовательность (б„) = б1(х), б2(х), бя(х) .. кусочно-постоянных функций, определеыных в интервале — оо < х < +со по правилу п/2, если 1х! < 1/и; б„(х) = О, если )х( ) 1/и. + 1 0 1 х я я Можно заметить, что при любом значении п функция б„(х) обладает рядом свойств.
330 Прилохеиие 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 1. Условие четности: 3и(х) = б„(-х). 2. Условие нормировки: ди(х) 11х = 1. 3. Для любой непрерывной функции /(х) +ОО /(х) 6и(х)сЬ = /(х), +1/и в и Г и 2 /(х) би(х) Нх = — / /(х) Их = — /(х) — = /(х). 2,/ 2 и — 1/и 1 11 Здесь х — некоторая точка внутри интервала ~- —, +-), такая, что Е -+ О при и -+ оо. 4.
Справедливо соотношение ~(Фи би(х) = —, Их 1 хф~-, где Фи(х) = 3и(х) <(х = О, х<-1/и; 1 — (1+ пх), )х~ < 1/и; 1, х>1/и. О +— 1 х и п 1 1 где х Е (--, +-), и и Действительно, с использованием теоремы о среднем значении получаем ЗЗ1 Следует отметить, что при и -~ оо функция Ф„(х) стремится в пределе к ступенчатой функции Хевисайда п(х), т.е. ГО, хСО; 1пп Ф„(х) = п(х) = ~ о->оо ( 1, х > О.
Свойствами 1 — 3 обладают также другие последовательности функций б„(х), которые можно назвать локализованными вблизи точки х = О нормированными последовательностями: ) и — и ~х), ~х! < 1/и; ~О, ~х~>1/и; — (1+ соя югх), ~х! (1/и; О, 1х! > 1/и; б„(х) = 6„(х) = (1 + „г 2) — оо < х (+ос; 332 Прияожеаие Ь ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА и 3 2 л ( ) — а х ~/ж — оо ( х ( +со. Если у рассмотренных выше локализованных нормированных последовательностей функций б„(х) устремить и к бесконечности, то мы придем к соотношению ~О, х~О; йш б„(х) = ~ а-+со (оо, х= О, которое показывает, что предельный элемент этих функциональных последовательностей не является, вообще говоря, функцией в классическом понимании.
Поэтому предел при и -+ оо следует понимать не в смысле равномерной сходимости, а в смысле слабой сходимости последовательности. Говорят, что последовательность (8„(х)) сходится слабо на интервале (а, 6), если для любой непрерывной функции Дх) существует предел 1пп Дх) 0„(х) Их = ~(х) 0(х) Нх, который и определяет предельный элемент 0(х) слабо сходящейся последовательности (6„(х) ), даже если этот предельный элемент не является функцией в классическом смысле. Итак, назовем предельный элемент, к которому в случае слабой сходимости сходятся рассмотренные выше локализованые нормированные последовательности (Б„(х)), обобщенной дельта-функцией и обозначим ее символом Б(х), Свойства 1 — 3 функций б„(х) не зависят от значения и. Поэтому эти свойства можно приписать и предельному элементу, т.е.
считать, что б(х) = Б(-х); +00 (П1) е(х)~Ь = 1 или для произвольного интервала (а, Ь) б(х) Их = При этом для любой непрерывной функции Дх) выполняется интегральное соотношение (П2) Дх) б(х) сЬ =,|(О). Формулу (П1) можно рассматривать как следствие формулы (П2) при Дх) = 1, Поэтому интегральное соотношение (П2) следует выделить как основное свойство дельта-функции, рассматривая фактически формулу (П2) как определение дельта- функции в случае слабой сходимости и понимая ее как 1пп У(х) д„(х) с1х = ДО).
Благодаря необычным для классической функции свойствам, дельта-функция выделяет окрестность точки х = О. Именно как предельный элемент последовательности сосредоточенных вблизи точки х = О функций, эффективная "ширина" которых съ -+ О, а "высота" Ь -~ оо, дельта-функцию можно 334 Приложеяяе Ь ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ И ЕЕ СВОЙСТВА представить в виде, изображенном на рис. П1.
Учитывая свойство 4 рассмотренной последовательности кусочно-постоянных функций и проводя предельный переход и -+ оо, можно получить формулу О х е61 О, хсО; Ях) = —, п(х) = Рие. П1 Их' 1, х)0, которая определяет обобщенную дельта-функцию как производную разрывной функции Хевисайда. Естественно, что и зту формулу следует понимать как предельную в смысле слабой сходимости. Наряду с дельта. функцией Ь(х) для описания сосредоточенного воздействия в точке х = хв вводят дельта-функцию вида е(х — хс), определяемую интегральным соотношением 1(х) е(х — хе) Ых = 1(хе), (ПЗ) где 1(х) — любая непрерывная функция. Заменой переменного в уравнении (ПЗ) можно показать справедливость формулы 1 г Ь~ Б(ах — 6) = — 6~х — — ~, а = сопв1, Ь = сопв1; а ~ О.
а а Аналогично вводится пространственная дельта-функция 6(М, Ме), М, Мв Е Я . Основным свойством, определяющим такую обобщенную функцию, является интегральное соотно- шение где Г(М) — непрерывная в области П функция. П~и этом область й может совпадать со всем пространством Я Для Г(М) гн 1 имеем б(М' Мо)г1 0 М П При записи дельта-функции в ДГ-мерном пространстве (ДГ=2, 3) будем использовать обозначения бог(М, Мо) и бог(М), если точка Мо находится в центре выбранной системы координат. В прямоугольных декартовых координатах справедливы следующие представления двумерной и трехмерной дельта- функции через одномерные: б2(М, Мо) = б(х — хо) б(у — уо); бз(М Мо) = б(х — хо) б(у — уо) б(я — зо) Напомним, что в классе функций, которые на отрезке [ — 1, +1) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье ао я Г пях .
югх~ д(х) = — + ~ ~а„соз — + Ь„з1п — ~, а=1 коэффициенты разложения а„и 6„определяются по формулам Эйлера — Фурье 1 югх а = — / д(х) соз — г1х. а 7 (П4) +1 1 Г . пих 6„ = — / д(х) я1п — <1х. 336 Праеоягевяе 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Действуя формально, положим в выражениях (П4) д(х) = = о(х — хо), где хо Е (-1, +1). Тогда для коэффициентов разложения дельта-функции получим +г 1 пяхв а„= — / о(х — х0) сов — г1х = — сов —; 1 +г 1 пях0 Ьгг = — ( Ю(х — х0) вш — г1х = — вш 11 -г Таким образом, с учетом этих формул можно записать следующее разложение на отрезке ]-1, +1] дельта-функции 6(х — хо) в тригонометрический ряд Фурье: 1 1 ч Г пяхе пях . пяхо .
пях~ о (х — х0) = — + — ~ ~сов — сов — + в1п — в1п — / = 21 1 1 пя(х — х0) = — + — ~~г сов 21 хо Е ( — 1, +1). (П5) В комплексной форме это разложение можно представить в виде +00 о(х — )= — Е е т( 0). 21 (П6) + — ~~г сов сов —, хо б (О, 1); (П7) 2 пяхе пях гг=1 пях0 в)п — в)п —, х0 Е (О, 1). (П8) ож1 1 о(х — х0) =— 2 5(х-х0) = —, Аналогичным образом на отрезке [О, 1] можно записать разложение дельта-функции в тригонометрические ряды по косинусам или синусам: ЗЗУ Соотношения(П5) †(П8) следуетрассматриватькакравенства в классе слабо сходящихся функций,т.е. в соответствии с интегральным соотношением (ПЗ).
Покажем, например, что для обобщенной функции, представленной рядом (П8), выполняется интегральное соотношение (ПЗ). Для этого рассмотрим непрерывную функцию Е" (х), которую можно на отрезке (О, Е) разложить в тригонометрический ряд Фурье ,Е(х) = ~~г Уп з!и —, х Е (О, Е), гг=1 Е 2 Г . пях где ~„= — / Дх) зш — гЕх. Тогда с помощью почленного инЕ 0 тегрирования ряда находим, что Г (2, пггхр, пях1 Дх) ~- ~ згп — яп — ~ г(х = ~,Е Е Е ~2 Е', пях ), пггхр ~- / Дх) яп — гЕх~ яп — = ~Е/ „,~ / п7Г хо = ~ ~Л, яп = У(хо). я=1 Но это и означает эквивалентность левой и правой частей равенства (П8) в смысле выполнения определяющего дельта- функцию интегрального соотношения Дх) Б(х — хр) гЕх = Дхр), хр б (О, Е). 0 Переходя в уравнениях (П5) и (Пб) к пределу при Š— ~ оо, можно получить разложение дельта-функции в интеграл Фурье 1 Б(х — хр) = — Е созе(х — хр) гЕг,г, 0 338 Прялоиеяие Ь ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА или Б(х — хе) = — 1 е~(* *е) Йо.
2я / В классе слабосходящихся функций следует также рассматривать и разложение дельта-функции в ряд Фурье по полной и ортогональной на некотором отрезке (а, Ь] системе функций (4»(х)). Коэффициенты такого разложения вычисляют по формуле Ь с» = 2 / Ь(х — хО)Ф»(х)с~х = 2, хв Е (а, Ь). 1 р' (хо) ]]2 / " ]]~ ]]2' Поэтому в соответствии с теоремой Стеклова можно записать следующее разложение: Разложения (ПЬ) — (П8) и (П9) используют при решении задач математической физики. Приложение 2. ЗАДА'ЧА ШТ'УРМА — ЛИУВИЛЛЯ При решении краевых задач математической физики методом разделения переменных отыскание координатных функций сводится к задачам на собственные значения с соответствующими граничными условиями. Позтому изложим некоторые общие сведения о свойствах решений таких задач. Пусть задан линейный дифференциальный оператор Ь, действующий на функцию у(х) по правилу Е[у(х)] = — — ]р(х) — ~ + д(х) у(х), с1у~ пх ~ пх~ с в а1 у (а) + 131 у(а) = 0; а2 у'(Ь) + 132 у(Ь) = О, где ад з, ~31 з = сопяФ > О, причем а~1 + ~3~1 уь О и аз~ + Вз ~Ф О.
Установим некоторые свойства оператора 1,. Пусть (Х,у, «) = Цу(х)] «(х) Ых, а (П10) где функции у(х) и «(х) взяты из класса З. Интегрируя дважды по частям, получаем ь (Ьу, «) = (у, 1,«) + [р(х) (у «' — «у')] ~ . (П11) где р(х) > О, р(х) > 0 — непрерывные на отрезке [а, 6] функции. Обозначим через З класс функций, которые непрерывны на отрезке а < х < 6 вместе со своими производными вплоть до второго порядка включительно и удовлетворяют в граничных точках х = о и х = 6 условиям вида 340 Приломсеиие 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
