XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Непосредственной проверкой можно установить, что из граничных условий для функций у(х) и г(х) следуют соотно- шения у(а) я'(а) — я(а) у'(а) = О, у(Ь) я'(Ь) — я(Ь) у'(6) = О. Но тогда из уравнения (П11) вытекает, что для любых функций у(х) и г(х) из класса 3 справедливо равенство (ьу, г) = (у, ьг), (П12) означающее, что оператор Х для функций из класса 3 является самосопряженным оператором. Аналогично устанавливается также, что для функций у(х) из этого класса (Ьу, у) > О.
При этом знак равенства имеет место, когда у(х) ш О и р1 = ~92 = О. Будем искать решения линейного дифференциального уравнения второго порядка Ь[Х(х)] = Лр(х) Х(х), а ( х ( Ь, (П13) удовлетворяющее однородным краевым условиям с в а1Х'(а) +)31 Х(а) = О; а2 Х~(6) + ~32 Х(Ь) = О. (П14) Здесь Л вЂ” некоторая постоянная; р(х) ) Π— заданная непрерывная функция, которую будем называть весовой функцией.
Задача (П13), (П14) при любых значениях Л имеет решение Х(х) = О. Однако существуют значения параметра Л, при которых эта задача имеет нетривиальные решения. Такие значения параметра Л называют собственными значениями задачи, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями. При этом однородную задачу (П13), (П14) на отыскание собственных значений и собственных функций называют задачей Штурма — Лиувилля. Перечислим основные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
1. Существует счетное множество Л1, Л2, ..., Л„,... собственных значений и соответствующих им линейно независимых собственных функций Х1(х), Х2(х),..., Х„(х),... задачи (П13), (П14). При этом собственные функции определены с точностью до произвольной константы. 2. Все собственные значения задачи (П13), (П14) неотрицательны. Для доказательства этого свойства умножим обе части тождества Ь[Хп(х)) = Ля р(х) Х„(х) на Х„(х) и проинтегрируем результат по х в пределах от а до Ь. Тогда с учетом обозначения (П10) получим ь (ЬХ„, Х„) = Л„р(х) Х2 (х) Нх. а Поскольку (ЬХп, Хп) > О, а интеграл в правой части положи- телен, то Л„> О. Замечание П2.1.
Для граничных условий первого и третьего рода все собственные значения всегда положительны. Для условий второго рода (Д = Дз = 0) при д(х) и 0 число А = 0 является собственным значением задачи Штурма — Лиувилля (П13), (П14), а Хе = 1 — отвечающей ему собственной функцией. й 3. Собственные функции Х„(х) и Хгп(х), отвечающие различным собственным значениям Л„и Лпз, ортогональны на отрезке а < х < Ь с весом р(х), т.е. Ь р(х) Х„(х) Хщ(х) ох = О. а Для доказательства этого свойства рассмотрим два тождества Ь[Хп(х)] = Л„р(х) Х„(х); Х,[Хп,(х)) = Л„, р(х)Хпз(х). 342 Прилажеиие 2.
ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Умножим первое из них на Хли(х), а второе на Х„(х) и вычтем из первого результата второй: А[Хи(х)] Хш(х) — ЦХуд(х)] Хи(х) = (Ли- Лю) р(х) Хи(х) Хю(х). Интегрируя полученное равенство по х в пределах от а до Ь и учитывая обозначение (П10), получаем Ь ((Х„, Хю) — (Х„, ЬХ,„) = (˄— Л„,) р(х) Х„(х) Хю(х) Нх. а В силу свойства (П12) самосоцряженности оператора Ь левая часть этого равенства равна нулю, а так как Л„~ Лю, то равен нулю интеграл в правой части.
Таким образом, если Х1(х), Х2(х),..., Х„(х), ... — система собственных функций задачи Штурма — Лиувилля (П13), (П14), то Ь (О, гпеЬп; р(х) Х„(х) Х„,(х) Их = 1!1Х„11, Здесь величина ь ЦХ„Ц = р(х) Х„(х) вх есть норма собственной функции Хи(х). 4. Всякая функция из класса З разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля, абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь] (гпеорема разложилеосгпн Сепенлова). При этом рядом Фурье функции Дх) по системе собственных функций задачи (П13), (П14) называется ряд ,1(х) = ,'> си Х„(х), и=1 З4З в котором коэффициенты Фурье с„вычисляются по формулам ь 1 с„= / р(х) 1(х) Х„(х) Ых. [[х„[['./ 5. Система собственных функций является полной в классе С2.
Обозначим через С2 класс функций, интегрируемых с квадратом с некоторым весом р(х) на отрезке [а, Ь]. Тогда если д(х) Е С2, то Ь | 2()1 <+ О Ортогональную на отрезке [а, Ь] с весом р(х) систему функций ~р1(х), <р2(х),..., у„(х),... назовем полной в классе С2, если для любой функции д(х) из класса,С2 найдется ряд ~~~ с„~р„(х) я=1 с некоторыми коэффициентами с„, сходящийся к д(х) на [а, Ь] в среднем, т.е, Ь М Г р(х) [д(х) — ~~~ с„~р„(х)~ Их -~ 0 при М -+ оо. О в=1 Докажем, что система собственных функций (Х„(х) 1 з в=1 задачи Штурма — Лиувилля (П13), (П14) будет полной в С2. Из свойств пространства С2 следует, что для любой функции д(х) Е С2 и любого е > 0 найдется такая функция |(х) Е З, что Ь 2 р(х) (д(х) — Дх) ) с(х < е/4. й 344 Приложение 2.
ЗАДА ЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ А так как функция /'(х) по теореме Стеклова разлагаетсл в равномерно сходящийся на отрезке а < х < Ь ряд Фурье /(х) = ~ с„Х„(х), в=1 то для всякого с1 > 0 найдется такое Ф1(е1), что при А1 > г11 (1(х) — ~6 с„Х„(х)~ < е1, х Е (а, Ь1 в=1 Тогда Ь Х 6 / ( -Е.''Г =/ ( а в=1 а Х 2 Ь -,- (л,) — у'~х„(е~ ) а*< я/р~,~ь(,) — л,)~'ы*»- п=1 й М Ь ~и/р() (у() — у' .Х( )~ и* с -'~ь /р( ~ш. в=1 а Если теперь е1 положить равным — ~/е ~ / р(х) ох), то 2 а 6 Х 2 р(х) ~фх) С св Хп(х)1 ох < е. а в=1 Это означает, что система функций ~Х„(х)1 полна в Я2. зв=1 Приведем некоторые примеры собственных значений и собственных функций задачи Штурма- Лиувилля (П13), (П14) для различных значений параметров. Рис.
П2 Пример П2.1. Пусть р(х) = 1, д(х) = О, р(х)— : 1, а = О, 6 = 1. Соответствующая задача Штурма- Лиувилля запишется в виде Х" (х) + ЛХ(х) = 0; — а1Х'(О) + Д Х(0) = 0; а2Х'(1) + ~32Х(Х) = О. ~ри12 Собственные значения Ли = ~ — ) зтой задачи выражают- и — ~~) ся через неотрицательные корни ри трансцендентного уравнения (рис. П2) о1о2Р' — ЖАР с1яо = (о102~ + о201~)Р а соответствующие им собственные функции имеют вид Хи(Х) = З1П~ — + Ои), ди = аГС1Я вЂ”. /Рих 1 а1ди и — ~ л) и— Квадрат нормы зтих собственных функций равен Х 2 = ~ (1 Ьио1о2+ ~1~2~ ) (о1~З2(+о2/110 2 2+р2~2)( 2 2+р2(2) 346 Приложение 2.
ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ В частных случаях: а) для граничных условий первого рода (а1 = о2 = О, 111 = =Р2 =1) х2 Л„= ~ — ), и = 1, 2,...; Х„(х) = е1п —; '0Хп)! б) для граничных условий второго рода (о1 = а2 = 1, 111 = =~32 = 0) в) для смешанных граничных условий (а1 = Д = О, а2 = =А=1) Лп=, п=1,2,...; (2п — 1) ях Х„(х) = е1п г) для смешанных граничных условий (о1 = О, о2 = Д1 = '1, ф~ = 6 > 0) х2 Лп= — ) п=1,2. Х„(х) — ып —, !/Х„Ц вЂ” — 1 + Р„х 2 1 / И ри+ где д„— положительные корни трансцендентного уравнения ~а = — дП11).
Пример П2.2. В задаче Штурма — Лнувилля в качестве граничных условий могут выступать также условия периодич- ности Х(а) = Х(6), Х'(а) = Х'(6) 2 Л„= —, п=0,1,2,...; Хп(х) = сое ~™; ЦХ„)! п=О; — пФО; 347 нлн для циклической переменной х = гр Х(гр) = Х(гр+ 2н). В частности, для задачи Хн«р) + лх(р) = О; Х(гр) = Х(гр + 2п) собственные значения Л„= и2, где п = О, 1, 2,..., причем каждому собственному значению соответствуют две линейно независимые собственные функции сое иу н вгп твр. Поэтому можно считать, что Хи(~Р) = аи соеиР+ Ь„агнии. (П16) Замечание П2.2. Собственные функции (П15) можно записать в виде комплексных функций действительного аргумента Х„(1з) = г„е'"е, и = О, х1, х2,...
ф Пример П2.3.* Пусть р(х) = х, а(х) = ги~/х, р(х) = х, а = О, 6 = )ь, гт2 = О, Д2 = 1, ги — целое число. Соответствующая задача Штурма- Лнувнлля формулируется следующим образом: с( / г(Х~ ги2 — — ~х — ~ + — Х = ЛхХ, О < х < Я; Йх ~ г(х~ х (П16) )Х(0)! < +оо, Х(1с) = О. В этом н последующих примерах рассматриваются уравнения для специальных функций. В этих задачах Штурма — Лиувилля коэффициент р(х) обращается в нуль в граничных точках отрезка (а, 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
