XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 36
Текст из файла (страница 36)
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 9.1. Уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова Исследуя математическую модель процесса эволюции биологического вида в рамках предложенной Р. Фишером теории генотипов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский и Н.С. Пискунов в работе "Исследование уравн9ния диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме" (1937 г.) показали, что задача вытеснения одного биологического вида другим доминантным видом на некоторой территории может быть сведена к решению параболического уравнения с нелинейным младшим членом: ди де и — +яи(1 — и), 1>0, хЕ Я .
(91) д1 дхз Ф(х, 1) Здесь и(х, 1) = ' — безразмерная концентрация (плот~т ность) особей популяции, причем 0 < и < 1; Й = сопя1 > 0— некоторый параметр задачи, который в биологической модели является мальтузианским параметром популяции. Уравнение (9.1) называют уравнением Колмоеорова— Петроескоео — Пискунова (или КПП). Это уравнение является частным случаем полулинейного уравнения вида ди д2и — = — + г'(и). д1 дх2 (9.2) В уравнении (9.2) нелинейный младший член описывает объемные процессы генерации (Р > О) или поглощения (У<0) в рассматриваемой системе. Если Р(и) > 0 при 0 < и < 1, Р(0) = Р(1) = О, г'(0) > О, а г'(1) < О, уравнение (9.2) называют уравнением типа КПП, ибо частным случаем такой зависимости, когда г'(0) = Й > О, является логистический закон генерации Р(и) = й и(1 — и), соответствующий (9.1).
9,К Уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова 295 В биологической модели логистический закон можно объяснить следующим образом. В простой модели Мальтуса считалось, что темп роста численности популяции пропорционален числу особей в популяции в данный момент времени, т.е. дФ вЂ” = 5%, 6= сопа1 >О.
сй Такой закон приводит к неограниченному экспоненциальному росту численности: Ф(1) = Фо ехр(о1). В естественных условиях ограничение природных ресурсов (пищн, воды) приводит к тому, что существует некоторое критическое значение численности Ф,и, которое может обеспечить окружающая среда. Наличие такого механизма регуляции, зависящего от плотности, можно учесть, считая В этом случае при приближении к критическому значению наступает насыщение, и рост численности популяции прекращается.
В безразмерной форме для и = ДЧМен такой закон соответствует логистическому закону генерации в уравнении (9.1). Диффузионное слагаемое в уравнении (9.1) учитывает воэможность миграции биологических особей в пространстве. Полулннейное уравнение (9.2) называют уравмеииеаа Зельдовича„если Р(и) > 0 при 0 ( и ( 1, Р(0) = Р(1) = О, Р'(1) ( О, но Р'(0) = О. Частным случаем такого уравнения является уравнение (9.2) с Р(и) = и~(1 — и), которое используется в теории горения для описания распространения пламени.
Если же функция Р(и) имеет три нуля на отрезке 10, Ц, т.е. Р(0) = Р(св) = Р(1) = О, где ев б (О, 1), причем Р'(0) ( О, Р'(а) > О, а Р'(1) с О, то уравнение (9.2) называют уравметевеле Семакова. Такое уравнение широко используется в математических моделях при описании автокаталитических цепных реакций.
Проведем анализ свойств решения уравнения (9.1) для следующей постановки задачи. Пусть в начальный момент време- 296 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ни ~ = О функция и = О при х < а и достигает своего максимального значения и = 1 при х > б > а. В частном случае б = а такое начальное распределение концентрации представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда. Рис. 9.1 Из такой постановки задачи очевидно, что вследствие процессов генерации и диффузии область плотностей, близких к единице, будет распространяться справа налево (рис.
9.1), увеличивал территорию, занятую доминантными особями. 0 таком нестационарном процессе можно говорить как о распространении волны концентрации. При этом следует ожидать, что нелинейная генерация при наличии диффузии по истечении достаточно большого промежутка времени сформирует некоторый стационарный профиль волны в переходной зоне, где О < и < 1. Форма этого стационарного профиля не зависит от начального ' распределения концентрации в переходной зоне, и он перемещается из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией с некоторой характерной скоростью п,. Для того чтобы определить этот стационарный профиль нелинейной волны и ее скорость распространения, перейдем в движущуюся систему отсчета и будем искать решение уравнения (9.1) в форме простой бегущей волны и(х, 1) = с1(х + е1), е = сопИ > О.
(9.3) Тогда для функции 6 = 0(с), зависящей от переменного с = х+ е1 специального вида, после подстановки (9.3) в (9.1) получим обыкновенное дифференциальное уравнение <Ю 220 и — = — + кЭ(1 — 9), О < 0 < 1. (9,4) ~~2 9. К уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова Ю7 Это уравнение следует решать при выполнении физически очевидных условий 9 -е О, с9Э/Щ -> 0 при С -е — оо; (9.5) 6 — ~ 1, с(0/й( -+ 0 при ~ -> +оо, вытекающих из постановки задачи. Задача (9.4), (9.5) имеет бесчисленное множество решений с непрерывным спектром скоростей о, ограниченным снизу значением ва = 2Л. Для доказательства этого утверждения следует понизить порядок уравнения с помощью подстановки р = <Ю/И(.
Уравнение (9.4) при этом представляют в виде системы йО/пс = р(с); др/Ыс = ор — к6(1 — О). Учитывая, что (р (р Ый (р — — Р с(С Ю й( сЮ' второе уравнение системы (9.6) можно записать в виде р — = ер — йО(1 — 6), ф~ ИЭ (9.7) др ор — ЙО (1 — О) (9.8) и проходит через особые точки этого уравнения (О, О) и (1, О).
Прн этом интегральная кривая должна лежать в полосе 0 < О < 1 и не пересекать ось абсцисс вне концевых точек (рис. 9.2). Покажем, что такал интегральная кривая может существовать только при и > о, = 2~/й. Действительно, с одной сторо- удобном для исследования на фазовой плоскости (6, р). Таким образом, с учетом условий (9.5), решению уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова типа (9.3) соответствует траектория р = р(6) на фазовой плоскости, которая является интегральной кривой уравнения 298 9.
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Рнс. 9.2 ны, вблизи точки (О, 0), т.е. для 6 « 1, искомую интегральную кривую можно аппроксимировать уравнением прямой р = а 6, где а = сопз1 > О. С другой стороны, при О « 1 уравнение (9.8) можно линеаризовать, если пренебречь квадратичными по 6 членами по сравнению с линейными. Тогда оно примет вид Подставляя сюда р = а6, получаем для а квадратное уравнение а — еа+й = О. 2 Отсюда Следовательно, условие существования вещественного а имеет вид и>е,=2Л. (9.9) К такому же выводу можно прийти, исследуя особую точку (О, 0) уравнения при различных значениях параметров задачи е и и.
Для этого линеаризуем систему (9.6) вблизи точки (О, 0). Тогда она примет вид линейной системы с постоянными коэффициентами: ~1Е/Ж = р; Ир/сК = -й6 + ер. Определитель матрицы коэффициентов такой системы 9.П Уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова 299 Находя собственные значения зтой матрицы из условия а2 Ь2 — Л -и п — Л приходим к характеристическому уравнению Л вЂ” еЛ+и = О.
Решая его, находим собственные значения Особая точка (О, 0) фазовой плоскости является неустойчивым узлом (рис. 9.3, а), если собственные значения Л1 и Л2 вещественны и имеют один знак, т.е. когда е > 2~/и. Только из особой точки такого типа может выходить искомая интегральная кривая. При 0 < е < 2~Й, когда Л1 и Л2 комплексны и не чисто мнимы, особая точка (О, 0) является неустойчивым фокусом (рис.
9.3, б). Выходящая из такой точки траектория обязательно пересечет ось абсцисс вблизи особой точки и попадет в область отрицательных значений 6, т.е. покинет полосу 0 < 6 < 1. Такая траектория не может быть искомой интегральной кривой. Рис. В.а 300 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Исследование точки (1, О) фазовой плоскости показывает, что при е > 2~/й эта точка является седловой особой точкой (рис. 9.3, е), в которую под некоторым углом входит искомая интегральная кривая. Докажем теперь, что для интегральной кривой рассматриваемого вида при е > 2~/й выполняются условия (9.5).
Действительно, для этой кривой справедливы следующие аснмптотнки: р = аО+ 0(0) при Π— ~ 0; р = с(1 — 0) + 0(1 — 9) при О -~ 1, (9.10) где а и с — некоторые положительные константы. Вспомним, что р = Нб/Ы( или НС = Ю/р(1з). Интегрируя последнее соотношение, находим Отсюда с учетом уравнения (9.7) следует, что ~ -+ -оо при 6 -+ 0 и ( — ~ +со при 6 -+ 1. Как было показано А.Н. Колмогоровым, И.Г. Петровским н Н.С. Пискуновым, волна, распространяющаяся с минимальной скоростью е = е, = 2ч%, обладает важным свойством устойчи-' вости. Это свойство состоит в том, что любой начальный профиль и(х, О) = /(х), где 0 < /(х) < 1, /(+со) = 1, /(-оо) = О, а /'(х) > О, по истечении достаточно большого промежутка времени всегда принимает форму стационарного профиля, движущегося со скоростью е, = 2~/й.
Форму этого устойчивого стационарного профиля можно определить из решения уравнения (9А) с е = е„удовлетворяющего условиям (9.5). Аналитического решения этой задачи при е = е, не найдено, однако она достаточно просто может быть решена численными методами. Следовательно, для оценки скорости распространения нелинейных воли в процессах, описываемых уравнением (9.1), необходимо использовать значение е, = 2~/й. Примером таких волн могут служить волны распространения популяций растений и животных или волны эпидемий. 9Л. Уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова 301 Важно отметить, что при одном значении е, близком к е,, когда о = 5 /й/6 = 1,02о„точное решение уравнения (9.4), удовлетворяющее условиям (9.5), может быть найдено в аналитическом виде. Действительно, введем в рассмотрение функцию ( ео4 ~и — и ~фаи)=( ~ ы(1+е о4), -~<(<+~, ~1+ со~,~ которая при а > 0 н и > О удовлетворяет условиям (9.5).
Дифференцированием находим, что екд ~ 1 — = — аиа (ы — 1) И,' и — = а и (и + 1) у (у г — 1) (а~Р— ) Поэтому при действии на функцию ш оператором л2 Ь=е — —— 1~ 1~2 получим лло ж — а и (и + 1) ю (юг — 1) (уР + .4) где А= а(и+1) и+1 Пусть А = 1, т.е. о = (2и + 1) а. Тогда имеем 2 / 21 Ьш= ( +1) (1 — ю В частном случае, когда и = 2 и е = 5а, Ьш = 6а ю (1 — м). Отсюда следует, что функция ет(С) = м(С; ~/176, 2) является решением задачи (9.4), (9.5) при е = 5 /й/б . Можно заметить также, что если А = О, т.е.
е = иа, то Х = а' (и+ Ц М (1 — ~-') . 302 9, НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Следовательно, в частном случае, функция — 1 и(х3)=ы с ~/ —,1) = 1+е чУ Ч2' ) ,Т где с = х + ~ — 1, является решением уравнения Зельдовича ~2 ди д~и — = — + йи (1 — и), й = сопв$. д1 дх2 Это решение представляет собой бегущую волну со стационарным профилем, распространяющуюся с постоянной скоростью с = /Й72. При этом вследствие объемной генерации возмущений область, где и ) О, расширяется с течением времени. Отметим, что с помощью решений вида (9.3) уравнений (9.1) или (9.2) можно находить и исследовать асимптотические решения других нелинейных уравнений математической физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
