XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В зтом случае при $ > 0 вблизи граничной поверхности возникает слой твердой фазы, толщина которого с течением времени увеличивается (рис. 8.1). Фронт кристаллизации х = С($) в любой момент времени отделяет твердую фазу от жидкой, двигаясь с некоторой скоростью и = Щ/<Й в направлении жидкой фазы. По постановке задачи ((0) = О.
яс 0 ао а Рис. 8.1 Теплота фазового перехода, выделяющаяся при кристаллизации жидкости, отводится вследствие теплопроводности твердой фазы через граничную поверхность х = О. Явью выделяя движущийся фронт кристаллизации, обозначим индексом "1" величины, относящиеся к твердой фазе, а индексом "2" — к жидкой фазе. Тогда, считая, что свойства среды при фазовом переходе изменяются скачком, запишем уравнение теплопроводыости для двух фаз: — =а1, $>0, 0<х<(($); дн1 2 д2п1 д8 дх2 ' дп2 2д н2 2 — =а2, М>0, 4(й)<х<оо, дг дх2 ' (8.7) (8.8) где а2~ и а2 2— козффициенты температуропроводности твердой и жидкой фаз соответствеыно.
261 8.3. Задача Стефапа о фаэоаом переходе Учитывая, что в начальный момент времени существует только жидкая фаза, начальное условие для задачи запишем в виде и2(х, О) = иО = сопв1, х > О. (8.9) Краевые условия задачи сформулируем следующим образом; а) на границах области и1=ис=сопв1<0 пРи х=О; и2 -+ иО = сопв1 > 0 при х -1 со; (8.10) б) на фронте фазового перехода М*=4 — О = и2! -а+О = о; (8.11) ди1( ди2), ИС п1 ~ п2 ~ = Р1Ч а=6 †а=6+О (8.12) ои1 2м ПЧ 2 -и — +а; — =О, 1=1,2. 2 е81 ' ей12 Й~ч Полагая и; = —, запишем уравнение (8.13) в виде й1' (8.13) 1йо; 1 Ч ип Й1 2о2 (8.14) Интегрируя выражение (8.14), получаем 2 ю;(6) = В; ехр — — ~, В; = сопвФ.
(8.15) где д' — скрытая теплота кристаллизации, отнесенная к единице массы твердой фазы. С помощью автомодельной переменной и = — (преобра- Я зование Вольцмапа) приведем уравнеыия (8.7) и (8.8) к обыкновенным дифференциальным уравнениям для фуикций и1(0) и и2(п); 262 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Интегрируя (8.15) еще один раз, находим общее решение урав- нений (813) для(=1 ид= 2: я ~2 и;(дд) = А; + В; ехр — — Й5 = А, + В, Ф О 4,. 2 / яЗ яь Ф(х) = — (х — — + — —... /я ~, 1!.3 21 5 а при больших з справедлива асимптотическая формула 1ех / 113135 2 2 3 ,~я х Д, 2з2 Возвращаясь к переменным х и д, запишем найденные решения уравнений (8.7) и (8.8) в виде х ид(х,д) =Ад+ВдФ( 1, 2>0, 0<х<~(д); д,2адЛ/ х и2(х, Д) = А2 + В2 Ф вЂ”, 2 > О, ((2) < х < оо.
~ 2а2 ~Л/ (8.16) Выполняя теперь граничные условия (8.10), находим (8.17) Ад = ис А2 + В2 = ив. При зтом замечаем, что начальное условие (8.9) также будет выполнено. 2 где Ф(я) = — / е 6 сд~; А;, В; = сопвд. О Функцию Ф(х) г— е его(я) называют инпдегралом одпибон (также функцией ошибок). Она часто встречается в задачах математической физики и поэтому затабулирована, как и ее производные и интеграл от нее. В частности Ф(0) = О, Ф(оо) = 1, Для малых х имеет место разложение 8.2. Задача Стефана о фазовом переходе 263 Из условия (8.11) на фронте фазового перехода, т.е. при х = ~(1), следует, что А~+ В~Ф =0' Аэ+ВгФ =О.
(818) ~(1) = сс~й (8.19) и его скорость с1О сс (8.20) сй 2~5 которая уменьшается со временем, т.е. по мере утолщения слоя твердой фазы. Подставляя (8.19) в соотношения (8.18), получаем А1 + В1 Ф вЂ” 1 = 0; А2 + Во Ф вЂ” ~ = О. (8 21) ~, 2о1,~ ~ 2ао/ Теперь из равенств (8.17) и (8.21) находим все четыре констан- ты: пс (Ы нО В2 = 1 — Ф А1 = ис', иОФ 2 Ф вЂ” — 1 (8.22) Чтобы определить константу а, надо воспользоваться условием Стефана (8.12) на фронте фазового перехода. Так как ЫФ 2 хз — = — е ', сЬ ~Я Каждое из этих условий может быть выполнено для любого 1 ) 0 только в том случае, если аргументы функции Ф(х) в этих равенствах не зависят от времени. Но это возможно, если 61)/Л = сс = сопес.
Таким образом, с точностью до некоторой константы а определены закон движения фронта фазового перехода 264 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА то с учетом формул (8.16), (8,20) и (8.22) условие (8.12) приво- дит к уравнению й1 и е ~(~~1) (с „ е — сР((4а~з) д + — ар14'. (8,23) а1 Ф вЂ” а2 1 — Ф Анализ трансцендентного уравнения (8.23) показывает, что существует единственное положительное значение параметра а, удовлетворяющее этому уравнению. Приближенное значение корня этого уравнения может быть найдено численными методами. В случае, когда начальная температура всех слоев жидкости равна температуре фазового перехода, т.е. ио = О, из равенств (8.22) следует, что А1 = ис' ® А2 = 0; в,=о, и трансцендентное уравнение (8.23) принимает более простой вид 13Ф(ф) ехр(13~) = Ф, (8.24) где ф = а/(2а~); Л = ~ис(с~/(ь/я д*).
В общем случае приближенное решение уравнения (8.24) можно найти графическим способом или с применением численных методов решения трансцендентных уравнений. Если же параметры задачи соответствуют малым значениям Л~, то, 2 воспользовавшись асимптотическими формулами Ф(ф) — 13, ехрф ) = 1, справедливыми для малых значений,д, из уравнения (8.24) получим — (3 =Ф; а= 2 з 2(ис)с1а2 ,/я 265 8.3, Тепловые воамупСеммм в мелммеймых средах Отметим, что нелинейные задачи теплопроводности с фазовыми переходами широко используются для моделирования технологических процессов зонной плавки, направленной кристаллизации, выращивания монокристаллов и получения заданных структур полупроводниковых материалов. С помощью математических моделей может быть проведена оптимизация таких процессов по различным факторам. 8,3.
Распространение тепловых возмущений в нелинейных средах 'со н (8.25) где сс = сопя~ > 0 — параметр нелинейности среды. Плотность среды р и ее теплоемкость будем считать постоянными, не зависящими от температуры. Такую среду, в отличие от среды с постоянным коэффициентом теплопроводности (сс = 0), назовем нелинейной, так как процесс теплопроводности в такой среде в отсутствие объемных тепловых источников описывается нелинейным, точнее, квазилинейным параболическим урав- нением д — = а Йп(и 8габи), дс (8.26) где а2 = Й0/(рс) — характерный коэффициент температуропро- водности. В работах Г.И. Баренблатта, Я.Б.
Зельдовича, С.П. Курдюмова, Л.К. Мартинсона, А.А. Самарского и других найдены точные аналитические решения некоторых задач нелинейной теплопроводности. Анализ свойств этих решений позволяет обнаружить ряд важных нелинейных эффектов при распространении тепловых возмущений в средах, коэффициент теплопроводности которых зависит от температуры, Рассмотрим среду, коэффициент теплопроводности к которой изменяется в зависимости от температуры н по степенному закону 266 8.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА. При моделировании тепловых процессов в нелинейной среде необходимо использовать такие решения уравнения (8.26), которые удовлетворяют условиям непрерывности температуры и теплового потока. Но так как плотность теплового потока Ч = — йенс бган и в такой среде зависит не только от градиента температуры, но и от значения самой температуры, то решения уравнения нелинейной теплопроводности (8.26) следует искать в классе обобщенных функций, допускающих разрывы производных по пространственным переменным там, где функция н обращается в нуль и уравнение (8.26) вырождается. Задача о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника. Пусть в нелинейной среде в начальный момент времени 1 = 0 в плоскости х = 0 мгновенно выделяется на единицу площади количество теплоты ЯЗ.
От такого мгновенного сосредоточенного источника тепловые возмущения начнут распространяться симметрично по обе стороны от плоскости х = О. Математическая модель такого процесса запишется в виде следующей задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения: а., о г .о.м 1. — =а — ~и — ), 1>0, хЕ Я; д1 дх ~ дх)' (8.27) и(х, 0) = Я б(х). Здесь Я = Яо/(рс), а одномерная дельта-функция б(х) характеризует температурное воздействие плоского сосредоточенного источника.
Сходимость решения и(х, 1) при 1 -1 0 к начальному распределению следует понимать как слабую сходимость (см. Приложение 1), т.е. для любой непрерывной функции 1(х) необходимо выполнение интегрального соотношения 1пп / 7"(х) и(х, 1) дх = Я,7'(О). 1-+О / 267 8.3. Тенховые возмущенна в нелннейных средах Физическая постановка задачи позволяет утверждать, что на бесконечности тепловые возмущения будут пренебрежимо малы в любой момент времени, т.е. еди и -+ О, ие — -~ О прн (х), -+ <ю. (8.28) дх Интегрируя уравнение в (8,27) по переменному х в пределах от -оо до +оо, получаем — и(х, 1) с1х = а ио — — ио — = О.
Отсюда с учетом начального условия следует, что и(х, 1) с1х = Я = соп81, Ч1 > О. (8.29) х 1 Ц= 2 н, У=в Яоа с) ' а+2 и комбинацию, имеющую размерность температуры, е= ®. Соотношение (8.29) отражает физический закон сохранения полной тепловой (внутренней) энергии среды в любой момент времени. Единицы измерения определяющих параметров я и ах задачи (8.27) в СИ определяются как К м и мс с 1.К '" соответственно. Из этих параметров и переменных х и 1 можно составить лишь одну безразмерную комбинацию, определяющую автомодельную переменную задачи, 268 В. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Поэтому согласно выводам теории размерности и подобия (см. Приложение 3) искомое решение задачи (8.27) должно иметь вид "(*' ~) ~ г ) ~(ч) (8.30) Подставив функцию и в форме (8.30) в уравнение (8.27), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции 0(11): дЭ д/ „11М -и8 — иц — = — ~9 — ) .
й1 й1 '1, й1) ' Уравнение (8.31) преобразуется к виду 1 И/ ~19~ -и — (111з) = — ~911 — ~ . ц,~ (8.31) (8.32) Интегрируя (8.32) один раз, получаем „<Ю йй~ о -и116 = 1з11 —, или 117 й1 ' й1 (и+ 2) (8.33) с 1 2(о+ 2) 2 211 ~Э(11) = (8.34) О, 174 > ПО. Здесь 116 > 0 — некоторая постоянная, причем в области (11! > пс функция Й® тождественно равна нулю. Постоянную 116 можно найти из условия (8.29), которое с учетом соотношений (8.30) и (8.34) запишем в виде +оо +110 0(П) й1 = 9(11) й1 = 1.
(8.35) 110 причем константу интегрирования полагаем равной нулю в силу условий (8.28). После интегрирования (8.33), учитывая, что уравнение (8.31) имеет также особое решение 6 = О, запишем решение уравнения (8.31), удовлетворяющее условиям (8.28), в следующей форме: 269 В.З. Тепловые всомущеиин в нелинейных средах Отсюда получаем ЧО 1 1' ( ИΠ— 11 ) сй1 = ' (2(о + 2) ) О (8.36) 1 сс 1» яЫ (8.37) Здесь Г(н) — гамма-фуннцил Эйлера. Теперь из (8.37) находим постоянную 1ц = 27(сс) (8.38) Возвращаясь к переменным х и 1, с учетом формул (8.30) и (8.34) запишем решение исходной задачи (8.27) в виде 121 -' ( 1) — (1) 1 ~ !х! < хо(Х) (8 39) О, !х/ > хО(1). Здесь 1 Ц(1) 11а Я~~2 (а21) в+2.
О (2( + 2)1 2 хО(1) = пои +х (а21) (8.40) (8.41) Сделав замену ~ = ц/1ц в интеграле, запишем соотношение (8.36) в виде 270 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА +хо(яэ1 -хя Из) Рис. 8.Х Решение (8.39) имеет вид фронтового решения, описывающего распространение пзепловой волны от мгновенного сосредоточенного теплового источника, помещенного в плоскости х = О. Качественный вид температурного профиля такой тепловой волны в различные моменты времени (18 > 1Х > 11 > 0) приведен на рис. 8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
