XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Эволюция во времени волновой функции, которая описывает квантовое состояние частицы массой т, движущейся в силовом поле г~ = — ягайУ, задаваемом потенциалом У, определяется дифференциальным уравнением Шредингера в частных производных (7.б) дФ 52 И вЂ” = — — ЬФ+ УФ. (7.4) дс 2т Здесь г = ~/ — Т вЂ” мнимая единица; 6 = 6/(2я) — рационализированная постоянная Планка; Ь вЂ” оператор Лапласа. Вследствие наличия мнимой единицы в уравнении Шредингера, т.е. в связи с комплекснозначностью волновой функции, уравнение (7.4) фактически представляет собой систему двух уравнений для действительной и мнимой частей волновой функции. В стационарных задачах квантовой механики, когда потенциал не зависит от времени и функция У(х, у, «) определяет потенциальную энергию частицы в данной точке стационарного силового поля, полная энергия частицы Е не изменяется со временем.
В таких задачах волновая функция всегда имеет вид ~Е~ Ф(х, у, «, 1) = е в ~ф(х, у, «). (7.5) При этом координатную часть волновой функции ф(х, у, «), которую в стационарных задачах часто называют волновой функцией, следует находить, решая уравнение Шредингера для стационарных состояний: 62 — — М+ 7~(х у, «) Ф = В Ф 2т Это уравнение можно записать также в форме ~ф+ 2 Р-У(~ у )]ф=б 2т (7.7) 228 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Волновая функция должна удовлетворять указанным выше условиям регулярности. Эти условия обычно выступают в качестве граничных условий прн формулировке задач для уравнения Шредингера. Несколько примеров решення стационарных задач квантовой механики приведены ниже. 7.2. Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике Одномерным линейным гармоническим осцнллятором назовем частицу массой то, на которую действует квазнупругая сила Ех = -ях, где й = сопвс > Π— коэффициент упругости (жесткостн).
Потенциальная энергия частицы в таком силовом поле У(х) = ях~/2. В классической механике осцнллятор совершает гармонические колебания (Р~/ 2га ( гпу2х21 — + — ~~Š— ~ ф = О, -оо < х < +оо. (7.8) с~хз 82 ~ 2 Решение этого уравнения 4 = 4 (х) будем искать в классе дважды непрерывно днфференцнруемых функций, удовлетворяющих условию ф -+ О прн ~х~ -+ оо. (7.9) х(~) = А соз(оЛ + а) с частотой ш = ~/й/т.
Полная энергия Е осциллятора в классической механике определяется амплитудой А колебаний н может принимать любые значения Е = й А~/2. Говорят, что спектр энергии классического осциллятора непрерывен. В квантовой механике для определения квантовых состояний одномерного осциллятора необходимо решить уравнение Шредингера для стационарных состояний (7.7) в виде х2. Задача о гарноннческон осннллвторе в квантовой неканнке 229 Для решения уравнения (7.8) введем безразмерные величи~=*! а,*о=,лд ~, =2е(в ). т гда после элементарных преобразований для функции еО = ф(~) получим уравнение (121Π— 2+ (е — ь )ч" = О, -оо < ~ <+оо.
(7.10) Сделаем теперь подстановку г еР(О) = е ч 1(О). (7.11) У(1) = ~ОМ'. й=О (7.13) Формально дифференцируя ряд (7.13), находим — = ~ йай~ Ф д~ ~2у оо — = ~~) й(й — 1)ай~ 2 = ~~ь (й+2)(й+1)ай+2( . ,ц2 О=О н=О Подставляя эти ряды в уравнение (7.12), получаем [(й + 1) (й + 2) аь+2 + 2(п — й) аь] ~ = О. О=О (7.14) Подставив (7.11) в уравнение (7.10), приходим к уравнению для функции У(() — — 2(' — + 2пУ = О, (Р~ ,1с2 (7.12) где 2п = е — 1. Будем искать решение этого уравнения в виде ряда 230 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Для тождественного выполнения зтого равенства необходимо, чтобы козффициенты при С~ обращались в нуль.
Отсюда получаем рекуррентное соотношение аь+2 = — аь, 1с = О, 1, 2,..., (7.15) 2(п — л) lс + 1) (Й + 2) которое связывает козффициенты ряда (7,13) при степенях одинаковой четности. Анализ показывает, что бесконечный ряд (7.13), козффициенты которого удовлетворяют соотношению (7.15), при с — ~ оо с2 ведет себя как зкспоненциально растущая функция ес . Действительно, для достаточно больших значений 1сиз соотношения (7.15) следует, что аь+2/аь 2/й.
Но именно такая связь имеет место между козффициентами разложения в степенной ряд Тейлора функции ~2в е~ = ~~) —, = ~~) аь( . в=О 1=О Для зтого разложения при больших значениях индекса й 2 2 ай 2 ай — ~Чс. + /с+2 й Таким образом, с учетом подстановки (7.11) получен вывод о том, что условие (7.9) может быть выполнено только тогда, когда ряд (7.13) будет содержать конечное число членов. В таком случае ряд (7.13) как полипом конечной степени будет иметь лишь степенной рост на бесконечности, и функция 4 ((), определяемая формулой (7.11), будет обращаться в нуль при ((( -+ оо.
Ряд (7.13) становится полиномом конечной степени, если параметр задачи 7.2. Задача о гармоническом оеянвввторе в квантовой иеханнке 231 принимает только целые неотрицательные значения и = О, 1, 2,... В этом случае из (7.15) следует, что для /с > ивсе аь = О, и ряд (7.13) представляет собой полипом п-й степени. Отсюда получаем условие квантования энергии осциллятора Ь'„= Ви(и+1/2), и = О, 1, 2,... (7.16) Полученный вывод согласуется с теорией специальных функций, где показано, что уравнение с1 Н„бН„ —" — 2~ —" + 2п Н„= 0 <ц2 (7.17) имеет нетривиальные решения Н„Я, обращающиеся в бесконечность не быстрее конечной степени, только прн целых значениях параметра п = О, 1, 2,...
Эти решения, являющиеся собственными функциями задачи Штурма — Лиувилля для самосопряженного дифференциального оператора (см. Приложение 2), называют полииомами ауебышев а — Эрмита. Нолиномы Чебышева — Эрмита можно находить из соотно- шения ~з оае Н Ы) =(-1)" ~ или по рекуррентной формуле На+~(() — 2~На(~) + 2пНа — ~(() = О. Эти полиномы удовлетворяют следующему условию ортого- нальности: 2 ~0 при т~п; е ~ Н„(~) Нга(г.)сК = ~11Нн11 = 2"~/яп! при т = и.
ф„(~) = с„— е з=. НЯ 42 — 11и.11 (7.18) Итак, решения уравнения (7.10), обращающиеся в нуль при 1(1 -г оо, существуют лишь при е = 2п + 1, где и = О, 1, 2,... Их можно записать в виде 232 Т. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Коэффициенты с„найдем из условия нормировки волновой функции М(хП~4х = 1, которое после перехода к безразмерной координате ~ = х/хо примет вид Фэск=~! о, о=/ЮТ~).
Подставляя сюда ф,(О в форме (7.18), находим 1я "= — '=( — )' (7.19) Пользуясь формулами (7.18) и (7.19), выпишем несколько нормированных волновых функций, описывающих состояния одномерного квантового осциллятора: е~ Фо(х) = е ~е; 1 1/хО1/ 2 1 2х 2ет ф1(х) = — е 2*о. 1/2хО~/т хО ъ'8 г/7( о Качественный вид этих волновых функций изображен на рис.
7.1. Рассмотрим теперь трехмерный осциллятор, у которого собственные частоты м1, ш2 и мэ в трех взаимно перпендикулярных направлениях различны. Потенциальная энергия частицы в такой задаче имеет вид гпа 1 2 п1ь~2 2 ~~~~"3 2 2 2 2 У(х>у,я)= — х + — р + — 3 2 2 2 х2. Задача о гармоническом оснилллторе в квантовой механике 233 Рис.
7.1 Запишем уравнение Шредингера в такой стационарной задаче для волновой функции З( = ф(х, у, л), описывающей квантовое состояние трехмерного осциллятора: +~( г з+,'„г+ з г)~=Е~. (7.20) 2 Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит от одной координа- ты: (7.21) Ф(х, у, ) = Ф~ (х) Фз(у) Фз( ). Подставляя (7.21) в уравнение (7.20) и разделяя переменные, получаем дЗ~ 2тп / пкозх~ ~ ' + ~Е; — ' ' ~ ф;(х,) = О, 1 = 1, 2, 3, (7.22) хл гДе х1 = х, хЗ = У, хЗ = л, Е = Ез + ЕЗ + ЕЗ. Сравнив уравнения (7.22) и (7.8), замечаем, что для каждого значения индекса 1 = 1, 2, 3 задача свелась к одномерной, 234 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА решенной выше.
Поэтому с учетом (7.18) волновую функцию (7.21) можно записать в виде Фпппг,пг(х1~ 2~ 3) зг+4г+Рг = Се 3 Нп~((1) Нпг(12) Нпг((3) (7.23) где (; = )( — х;. Три квантовых числа п1, п2, и пЗ, каждое 'у' Л из которых может принимать любое значение из ряда целых неотрицательных чисел, определяют квантовое состояние трехмерного осциллятора, Константу С в выражении (7.23) найдем из условия нормировки волновых функций 4й,,пг,пг(х1, х2, хЗ) Йх1 <1х2~(хЗ = 1. (7.24) Подставив сюда волновую функцию из формулы (7.23), после несложных вычислений получим тпзы1ы2шу /4 2 — (пг+пг+пг) С= ЬЗяз п1.
п2 пЗ. Полная энергия частицы в рассматриваемом квантовом состоянии Е = Ь ~1 (п1 + 1/2) + Ь ~2 (п2 + 1/2) + ЗыЗ (пЗ + 1/2). (7,25) Эта формула определяет дискретный энергетический спектр трехмерного квантового осциллятора. 7.3. Квантовые состояния атома водорода В атоме водорода отрицательно заряженный электрон массой и движется в кулоновском поле положительно заряженного ядра протона.
В таком электростатическом поле потенцизль- 235 7.3. Каамтоаые состояния атома водорода ноя энергия электрона зависит от расстояния т электрона от ядра (протона) и равна е2 0(т) = - —. 4яает Предполагая ядро атома неподвижным, свяжем с ним центр сферической системы координат (т, Вг у). Тогда уравнение Шредингера„описывающее квантовое состояние электрона в поле ядра, будет иметь вид 1 д ~,д~~ 2р /' е2 — — ~т2 — ) + — ЬО ф+ — ( Е+ — ) ф = О. (7.26) гО дт (~ дт) гт '~' а2 (~ 4яеОт) Здесь ЬО, — угловая часть оператора Лапласа, определяемая соотношением д~~ /~.
' = я1пЕ дд ~ де) я;п26 др (Д.,в, р)('ж =1, О О О (7.27) где Ж7 = г2 й вшдобйр — элемент объема в сферической системе координат. Искомое решение определим методом разделения переменных, полагая р(г, 6, Ч>) = Н г) У(О, Ф). После подстановки этого выражения в уравнение Шредингера (7.26) получим (~ ( 2(Я'( Ь 4иевг Наша задача состоит в отыскании во всей области изменения переменных О < т < оо, О < д < я, О < у < 2я таких однозначных и непрерывных решений ф = ф(г, О, ~р) уравнения (7.26), которые удовлетворяют условию нормировки 7, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 236 Отсюда вытекают следующие два уравнения: (7.28) Ь,,1'+Лт =О; 1 г1 г' 2 г1хг'1 2р / еа '1  — — ~т — ) + — 1 Е+ )  — Л вЂ” = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
