XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 24
Текст из файла (страница 24)
лигу п=1 т=1 с коэффициентами Е Е 4 1 1 . пях . лигу опт Я = 2 / / У(х, У, 1) 3!и — 3!и — дхй), О О получаем уравнение для определения дпт(1): '~дпт + опт дпп1 — опт(1) (5.85) д,~2 где опт = — (и +ш ). г.2 Подставляя (5.84) в уравнение (5.83) и разлагая функцию ~(М, 1) в двойной ряд Фурье 189 Вопросы и задачи Решение неоднородного уравнения (5.85) с учетом начального условия дплт(О) = О можно записать в виде Уплт(1) = )птп(т) е ол ( т) С1т. 0 (5.86) В частном случае одиночного источника постоянной мощности, когда Я(М, 1) = Яо б2(М, Мо), где Яо = сопе1 > О, а МО = МО(хц, уе), имеем 4Я0 й1 "х+" . пихт .
тптгуо (1) = — е е 211 атп — яп— птй = 52 плхе . тплре = ~р ~ ' " ') Ап 2 2 еО 2 2 где д =ст +"= ~й (" +тп )+4)-1+р. Поэтому распределение концентрации загрязняющего вещества в движущейся среде вблизи такого активно действующего источника загрязнений можно представить в виде следующего двойного тригонометрического ряда Фурье: 4ЯО "1 -хо +вз р-ро п(х,у,1) = — е 11 у (1 — е "" 1) х п=1 тп=1 плх ° плхо ° тплр ° тплре 81П вЂ” 81П вЂ” Н1П вЂ” 31П х В В Ь В (587 опт Вопросы и задачи 0.1.
Начальная температура бесконечного круглого цилиндра радиуса те равна нулю. Найдите нестационарное температурное поле в цилиндре, если при 1 > 0 через его поверхность поступает постоянный тепловой поток плотностью о. В пределе 1 — т оо из формулы (5.87) можно найти стационарное цоле концентрации вблизи постоянно действующего источника. 190 Б. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА (р«т 5 2 Я~ ( — 1),о ~ то 4то „, и'„,УоЬ«) и« вЂ” положительные корни трансцендентного уравнения,7,(и) = О. 5.2.
Начальная температура шара радиуса то равна нулю. Найдите яестационарное температурное поле в шаре, если при г > О через его по- верхность поступает тепловой поток плотностью д. 3 з э вш — ««о дто (Зо С Зто — 5т 2то т то - — Я'-1 Ошоеш: и(т, Ф)— й ~ т, '10т,' т 2.-рз„совр. «=1 Є— положительные корни уравнения 18 Р = и. 5.3.
Определите температуру бесконечного круглого цилиндра ради- уса то, если его начальнаа температура 3 '1 и(т, О) = Н 1 — — Р 'о а на поверхности поддерживаетса нулевая температура. в~доо Ошеепи и(т, 1) = ОУо ~ э е 'о, где и„- положительные кор- „, Р..У(Р ) ни трансцендентного уравяения Я>(р) = О. 5.4. Определите критический размер куба иэ актпвного вещества, есля коэффициент размножения у > О, а концентрация вещества на всех гра- нях поддерживается равной нулю.
)ЗО Отпееш: 1„р — — ь ~( —. 7 5.5. Определите критический размер бесконечного круглого цилиндра из активяого вещества, есои коэффициент раэмиожениа у > О, а кон- цеятрация вещества на поверхности поддерживается равной нулю. ю Ошвепи В«р = По у —, где По = 2,40 — первый положительный корень уравнения А(п) = О.
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ АКУСТИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 6.1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях мембраны, которая является обобщением на двумерный случай задачи о колебаниях струны, рассмотренной в 1.1. Колеблющиеся мембраны являются основным типом излучателей акустических волн.
Поэтому расчет колебаний мембран является важной задачей акустики. В дальнейшем будем называть мембраной упругую пленку, не сопротивляющуюся изгибу или сдвигу. Рассмотрим такую мембрану, ограниченную контуром Г и находящуюся в равновесном состоянии в плоскости (х, у) (рис. 6.1). Мембрана жестко закреплена по контуру Г и находится в напряженном состоянии. Это означает, что если мысленно провести разрез по произвольной линии з, то на края разреза перпендикулярно 7 будет действовать распределенная сила натяжения, модуль которой на единицу длины линии равен То.
Выведем мембрану из положения равновесия, отклонив ее в вертикальном направлении. Обозначив через и(х, у, 1) вер- Рис. 6.1 192 б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ тикальное смещение элемента мембраны с координатами х, у, будем считать поперечное перемещение элементов мембраны достаточно малым, так что можно пренебречь квадратами первых производных ~ — ( и ~ — ( по сравнению с единицей. 1,дхг' 1,ду( Малость поперечных перемещений элементов мембраны означает малость угла гг между нормалью к поверхности мембраны и вертикальным направлением, перпендикулярным плоскости (х, у).
Поэтому следует считать соз гг— = ~Егзг1 и~; 5~ = — = охоу = Я. Последнее соотношение означает, что площадь любого элемента мембраны при его поперечном перемещении не изменяется, Поэтому при малых поперечных колебаниях мембраны не происходит деформации ее материала, и ~о закону Гука модуль силы натяжения не изменяется со временем и всегда равенн~ = сопя$. Опишем динамику движения мембраны.
Для этого определим вертикальную составляющую результирующей силы, действующей на выделенный элемент Я мембраны, ограниченный контуром С. Она будет складываться из вертикальной составляющей сил натяжения Р'г = — Тд апай = С вЂ” ТофбгЫ и~ й = То(Его и ьг) й (6.1) 6.1. Дифференциальное уравнение нонеречных колебаний 193 и результирующей поперечно действующей вынуждающей силы, распределенной по поверхности мембраны с некоторой поверхностной плотностью У(х, у, 1), (6.2) г2 = л(х, у, ь) охну. Здесь и — единичны внешняя нормаль к контуру С.
С помощью формулы Остроградского для плоскости находим Р1 = Те(бгае) и ь~) <П = С Те Йч бган и дх ду = ТеЬ2и е(х Иу, д д где Ь2 = — + — — двумерный оператор Лапласа. дх ду Введя поверхностную плотность мембраны р(х, у), запишем выражение для вертикальной проекции импульса движущегося участка (злемента) мембраны Р = р — Ихду. (6.3) Теперь по закону Ньютона йР г1+ в2 й или — О р — ох Иу = П ТЕЬ2ие(х ду+ П У(х, у, 1) дх сЕУ.
(6.4) ад д2 Внося производную по времени под знак интеграла, получаем Г д2н Р д,2 ох ау = [ТЕ~~2н+ л(х У~ в)]охну~ б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 194 или дзи / р — — ТОЬ2и — л(Х, у, 1) ИХду = О. (6,5) д12 В силу произвольности выбора элемента мембраны, т.е. произвольности области интегрирования Я, из интегрального равенства (6.5) следует равенство нулю подынтегрального выражения.
Таким образом, мы приходим к дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа, которое описывает малые поперечные колебания мембраны, д и р — = Те'л2и + э(х, у, г). д22 (6.6) Для однородной мембраны уравнение (6.6) можно записать в виде д2и д2 д2 д2 — = а Ьи+ДМ,1), Ь = — + — + — (6.8) д12 дх2 ду2 дя2 обобщает волновое уравнение на случай трех пространственных переменных. Оно описывает процесс распространения механических возмущений в сплошной среде, причем параметр а д2и — = а Ьэи+/(х, у, 1), (6,7) где а = ~/Т~~~ро = сопз1; Ь2 = д2/дх + д2/ду2; /(х, у, 1) = = У(х, у, 1)/ре — плотность вынуждающей силы, рассчитанная на единицу массы мембраны.
Уравнение (6.7) называют двумерным волновым уравнением, поскольку ниже будет показано, что произвольное движение мембраны можно представить как совокупность распространяющихся по мембране колебаний, т.е. механических волн. Законы механики сплошной среды (гидродинамики, аэромеханнки н теории упругости) позволяют вывести уравнение, которому удовлетворяют малые по амплитуде возмущения и(М, 2), М Е Я~ в однородной среде. При наличии объемно распределенной вынуждающей силы это неоднородное уравнение гиперболического типа бл.
Диффереилиаеьиое ураииеиие поперечиых иааебаиий 195 в формуле 16.8) есть скорость распространения малых механических возмущений, т.е. скорость звука в среде. Для жидкостей и газов функцию и(М, 1) можно интерпретировать как возмущение плотности или давления, а для твердого тела — как потенциал смещений отдельных частиц среды. Уравнение (6.8) лежит в основе линейной акустики и, в частности, ультразвуковой технологии.
С помощью этого уравнения решаются задачи о распространении звуковых возмущений в сплошной среде прн различных условиях их возбуждения. Отметим еще раэ, что для процессов, описываемых уравнениями (6.7) н (6.8), имеет место конечная скорость распространения возмущений, Поэтому для этих уравнений в пространстве состояний (М, 1) можно ввести в рассмотрение харантперисепичесееий конус с вершиной в точке (Ме, 1). Для двумерного волнового уравнения этот характеристический конус изображен на рис. 6.2. Рис. 6.2 Поверхность верхней полости конуса, определяемая уравнением гмем = а(1 — $9), 1 ) 1Е, соответствует точкам фазового пространства, в которые в момент времени $ ) 19 приходит сигнал, испущенный в момент времени 19 источником возмущений, расположенным в точке Мо.
Каждое сечение этой поверхности плоскостью 1 = сопв1 выделяет фронт волны возмущения 196 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ (окружность для Ж = 2 и сферу для Ж = 3) от источника в момент времени 2 > 16. Поверхность нижней полости конуса гм м — — а(19 — 2), 1 < 19 определяет геометрическое место точек, из которых сигналы приходят в точку Мо пространства в момент времени $9. 6.2. Колебания прямоугольной мембраны 1 дги дги дги — — = — + —, Ф>0, (х,у)ЕЙ, а2 йг дх2 ду2' ' ' ' (6,9) П = ((х, у): 0 < х < 11, 0 < у < 12), начальные условия возбуждения колебаний и(х, у, О) = а(х, у); ди(х, у, О) дг = д(х, у) (6.10) и граничные условия, заданные на контуре Г в области й, и(0, у, 2) = О, и(11, у, 2) = 0; и(х,0, 1) = О, и(х, 12,2) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
