XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Исследуем два предельных случая. ,~2 1. Проводимость достаточно велика ~ — = — >) 1, и ссбы плотность тока проводимости у = пЕ много больше плотности дЕ тока смещения ~„= сс0 —. Из формул (6.48) в этом приблидс женин "хорошего проводника" имеем Н40сты Следовательно, электромагнитное поле проникает в среду с достаточно большой проводимостью лишь на глубину б — у Расстояние б называют скиновой глубиной проникновения электромагнитного поля в проводник. Оно зависит от частоты изменения электромагнитного поля, уменьшаясь с ростом ш Если полностью пренебречь плотностью тока смещения, уравнение (6.44) переходит в уравнение параболического типа дп Ьи = ащ"0 д1 2. Плотность тока проводимости в среде значительно меньу'Ьа2 и ше плотности тока смещения ~ — = — <( 1 .
Из (6.48) ссбь~ находим т = — БиТ(* О), 2 д — 1+ — — 1+— Таким образом, электромагнитная волна слабо затухает при распространении, а ее фвэовая скорость е= — =а 1+ — — а 1 —— несколько меньше, чем в идеальном изолятар. 209 6.5. Потенциалы электромагнитного полл 6.5. Потенциалы электромагнитного поля Электромагнитное поле можно задавать не только напряженностями Е~~ и Ф, но и двумя потенциалами, Векторный А и скалярный ~р потенциалы электромагнитного поля вводятся формулами гг = гоФ.4; дМ о = — ягас(у —— дг (6.49) с дополнительным условием связи -+ 1 део а л+ — — +РР0 р=0 о2 дг (6.50) которое называют условием калибровки Лоренцо. С учетом (6.49) второе и третье уравнения (6.41) выполняются тождественно.
Два других уравнения Максвелла, записанных для однородной среды, Йн М = р/(ге0); 1 да~ -(;) ГОГ О = РРОа Гэ + + РР024 о2 дг (6.51) (6.52) в общем случае содержат в качестве заданных источников объемную плотность электрических зарядов р(я, у, я, 2) и плот- При полном пренебрежении током проводимости (а = О) уравнение (6.44) переходит в волновое уравнение (6.46). а Отметим, что параметр р =, входящий в критеееоы рий сравнения токов проводимости и токов смещения, содержит частоту электромагнитной волны.
Следовательно, при низких частотах материал может вести себя как проводник, а при высоких — как изолятор. Именно так ведут себя слабопроводящие среды, такие, как почва (а 10 ~ См/м) или морская вода (а 1 См/м). б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 210 ность тока 2(")(х, у, г, 2), обусловленную заданным распределением полей сторонних сил (источников ЗДС). Чтобы удовлетворить этим двум уравнениям, подставим (6.49) в (6.51) и (6.52). Тогда с учетом формулы гоФгоФ а~ = = ягаг1г11ч а~ — Ь а~ и условия Лоренца (6.50) после несложных преобразований получим уравнения для х и А: д2у фр р а2 дР д2 ее ' 1 д2А дА д22 РРбо д1 = Ирб у (6.53) Легко видеть, что скалярный потенциал и все три компоненты векторного потенциала удовлетворяют одинаковым дифферен- циальным уравнениям вида 1 д2и ди Ьи — — — — индо — = Дх, у, з, 2). (6.54) а2 дг2 дс В случае непроводящей среды (о = О) эти уравнения переходят в неоднородные волновые уравнения вида д2и Йи — — — =у(х, у, х, 1) а2 д22 (6.55) или П и = Г'(х, у, х, г).
Условие Лоренца (6.50) для такой среды будет таким: 1д Ж~А+ — — = О. а2 д2 (6.56) В некоторых задачах электродинамики, описывающих процесс распространения электромагнитных волн в непроводящих средах, удобно ввести поллризационныб потенциал 211 6.5, Потенциалы электромагнитного поля Г1 = П(х, у, г, 1), который называют также вектором Герца, полагал 2 1 дП (6.57) аг д1 Условие Лоренца (6.56) при зтом выполняется тождественно, так как -+ 1 д~р 1 д е(1н л + — — = — — (е)1н Г(+~р) = О.
а2 д1 а2 д1 Найдем уравнение для поляризационного потенциала П в непроводящей среде при отсутствии сторонних зарядов и токов (распределенных источников ЭДС), т.е. когда уравнение (6.53) для векторного потенциала имеет вид волнового уравнения 1 д2А а2 дг2 Подставляя сюда А из (6.57), получаем Отсюда с точностью до постоянной составляющей, которую мы положим равной нулю, получаем д2 П (6.58) или а Г1 =6. Таким образом, каждая из трех составляющих вектора Г1 удовлетворяет волновому уравнению. б.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 212 Векторы В и Ф выражаются через поляризационный потенциал с помощью соотношений дМ . 1 дзтГ М = — 8гаг( ~Р— — = 8гаг1 г11 у И вЂ” — — = д1 а2 д12 1 ~г~; = гоггоГ Г1 + ЬГ1 — — — ~ = гоФгоФ Г1; (6.59) 2 дг~ 1 — ~ 1 дГ1 д Ф = — гос А = — гоà — = еес — (го$ Г1). (6.60) Нло щ еа2 дг дг Аналогичным образом можно записать магнитный вектор Герца К„, считая, что М = — рре — гоФ ггн' ,Ф = гоГ гог ин.
д дг 1 д2П можно получить различные решения уравнений Максвелла: й = гоФгоФ ?1; д г1 = губ — гог Г11 дг (6.61 а) нли д ""' Ж гог б' Н = гоггог Г1. (6.61 б) Подставив зти соотношения в уравнение Максвелла, можно показать, что в непроводящей среде, когда р = у~' = О, вектор Г~н также удовлетворяет волновому уравнению, аналогичному (6.58).
Объединяя зти результаты, будем считать, что с помощью вектора Герца 11, удовлетворяющего волновому уравнению б.б. Элеитромигнитное излучение лииолъиого оеииллнтора 213 6.6, Электромагнитное излучение дипольного осциллятора Перейдем к расчету электромагнитных волн, излучаемых диполем Герца, который представляет собой два небольших металлических шарика, периодически перезаряжающихся через соединяющий нх проводник длиной 1. Такой осциллятор представляет собой электрический диполь с периодически изменяющимся электрическим моментом ф='ф об -+ где раас — — — 1; 3Π— амплитуда тока в проводнике; ш — круговая ш частота колебаний; 1 — вектор, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Проведем расчет электромагнитного поля в окружающем такой диполь пространстве, считая его заполненным однородной непроводящей средой, скорость распространения электромагнитных возмущений в которой близка к скорости света в вакууме.
Выберем сферическую систему координат, направив полярную ось Оя вдоль осн днполя (рис. 6.3). Рис. 6.3 214 б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Электромагнитное поле, излучаемое диполем, найдем из сферически симметричного решения волнового уравнения для векто а Герца Р 2 2 ' 1 д2т~ (6.62) Каждая компонента потенциала 11 в сферически симметричном случае удовлетворяет уравнению 1 д / 2ди'1 1 д2и — — ~г~ — ) = — —, 0<г<оо, 1>0. (6.63) г2 дт ~ дт) с2 д12 ' Введем новую функцию е = т и.
Тогда из уравнения (6.63) для функции п получим одномерное волновое уравнение д2н 1 д2е дт2 с2 д12' — — 0<г<оо 1>0 1 общее решение которого (см. формулу (1.9)) имеет вид о=Л 1 +У2 1+ Следовательно, уравнение (6.63) имеет решения которые называют соответственно расходящейся и сходящейся сферическими волнами. По физическому смыслу рассматриваемой задачи об излучающем диполе следует выделить лишь расходящуюся сферическую волну, записав решение уравнения (6.63) в виде и(г, 1) = 1(1 — г/с) т б.б. Электромагнитное излучение дипольного оенилллтора 215 или для монохроматической волны — (~- /е) и/т, 1) = ннл(8 г/с) 4нго т 16.64) выбрав постоянный сомножитель иэ соображений размерности. т+ Если ввести обозначения 4„, гл и 1,р для единичных ортов сферической системы координат, то вектор П, параллельный вектору рс, может быть представлен в виде -с+ и = гг По сояΠ— алПо я1пО, е — Йе(Ф-г/е) где ПО = По(т, 1) = 4нее т Используя выражение дифференциального оператора гоь лт в сферической системе координат 1 ) д, дМО1 —.+ госФ = — ~ — (е1пО.
М~) — — ~ 1„+ тсбпО ~дО т д~р ~ дм„д )-,+ 1~ д дм,1, + — ~ —.—" — — 1гМр )11в + — ~ — (тМе) — '1 цо, т ~е1пО д~о дт ~ т ~,дт дО ~ получаем 1~д гос 11 = — ~ — (т Пя) — — ~ 1,р = ~ — — + — ) Пе яш О 1~е. г '1дт дО~ "' 1, с г) Такое решение соответствует запаэдывающему потенциалу, когда возмущение в некоторой точке пространства, отстоящей от источника на расстоянии г, запаздывает на время т = т/С необходимое для того, чтобы электромагнитные возмущения преодолели расстояние г. Поэтому сферически симметричное решение уравнения (6.62) запишем в виде запаздывающего потенциала 6, ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 216 Иэ соотношений (6.59) и (6.60) следует, что М = ГО$ ГО1 11; т1 = ее — Г01 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
