XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 27
Текст из файла (страница 27)
д дФ По этим формулам находим напряженности электрического и магнитного полей вокруг диполя: / 1 гя1 —,+ 7, = 2 соя 0 ~ — — — ~ Па 1т + ~т2 т~ / 1 $й 2'1 —.+ + е1п В ~ — — — — /с ) По 1е, (~т2 т (6.65) ! гй 21 —.+ 71 =сеое1пд~ — — — й у Пое,р. т Е. = ~Р = 9 ЕВ = -й'По вин 6; Нт = Нл = 0' Н~р = соей~ По сбпд. Переходя от комплексных экспонент к тригонометрическим функциям, запишем окончательно электромагнитное поле в волновой зоне: маро . / т'1 с24ясд т с/ ь' РО т1 Н, = — — е1пд совы 1 —— с4ят с) (6.66) Здесь и = ю/с = 2х/Л вЂ” волновое число.
Анализ полученных выражений показывает, что характер электромагнитного поля вокруг диполя качественно отличается на малых и больших расстояниях. Наибольший интерес представляет дальнее поле, которое наблюдается на больших расстояниях от излучателя диполя. Эту зону, где кт » 1 или т » Л, называют волновой зоной дипольного осциллятора. В этой зоне б.6. Электромагнитное излучение дипольного осннлллтора 217 Найденное поле в волновой зоне имеет характерные признаки сферической волны: 1) векторы Е и гл' перпендикулярны радиальному направлению распространения волны (поперечная волна) и ортогонзльны между собой; 2) волны электрического и магнитного полей имеют одинаковые фазы, амплитуды этих волн убывают обратно пропорционально расстоянию до источника, причем существует связь межДУ амплитУДами волн: ~ф = гс~Н), гДе лс = /РЕ/ео = = сне = 120н Ом — волновое сопротивление свободного пространства.
Плотность потока энергии электромагнитного поля, переносимого в радиальном направлении, найдем, вычислив модуль вектора Пойнтинга 4 2 Я = ЕрН = яп О сов я~1 — -). (6.67) парс, 2 2 16н е~сзг с) Усреднив плотность потока энергии по времени, найдем интенсивность излучения сферической электромагнитной волны 4 г 2 3 2 32н~еес г Зависимость интенсивности от угла д наглядно показывает диаграмма направленности (рис.6.4), которую строят так, чтобы длина отрезка, отсекаемого на луче, проведенном из центра диполя, была пропорциональна интенсивности излучения 1 под углом й.
Рис. 6.4 218 б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Суммарную среднюю (за один период колебаний) мощность излучения дипольного излучателя определим, проинтегрировав интенсивность ! по сфере достаточно большого радиуса (г » Л). Получим Р = 1г~в1п9440гйр = О 0 2з я ю4р2 г г ь г4Р2 8я г 4р2 2 3 /гггд/ гйп Огггг 2 3 = 3. (6.68) 32я бес 32я бос 3 12ябос О 0 Преобразуем формулу мощности излучения, выразив дипольный момент излучателя рО через эффективное значение силы тока 3 в нем: 301 У'2 31 РО и ьг Тогда из выражения (6.68) следует 23 г2 Р= 3 бяеос — — 3 = 80я — Д, 1 «Л. (6.69) Формулу (6.69) можно использовать в инженерных расчетах мощности излучения антенн. Если (6.69) записать в стан- 2 дартной форме Р = 3 Ляэл, то можно определить сопротивление излучения антенны ~ ~г Лиэ„= 80я ~ — ) (1 < Л), 1,Л) которое пропорционально квадрату отношения длины антенны к длине излучаемой волны. а 7.
Распространение элеитронагнитнын волн 219 6.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе (6.70) Считая, что вектор Герца 11 имеет только компоненту П», преобразуем уравнение (6.70) для этой компоненты применительно к случаю монохроматической волны с частотой ш, т.е. когда Пл=П(х,р,г)е нл. (6.71) Подставляя (6.71) в уравнение (6.70), получаем ЬП+л~П=О, й=ю/с, д2П Ь2П+ — +к П= О, дл2 (6.72) где аа2 — двумерный оператор Лапласа.
Как отмечалось выше (см. формулы (6.61)], с помощью вектора Герца 11 можно описать два типа электромагнитных волн. В различных радиотехнических устройствах приходится решать задачу о передаче энергии с помощью элеиетаролаагввпзвыв СВе4-волн, распространяющихся в полых металлических трубах — волноводах. Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль цилиндрического волновода с идеально проводящими стенками, заполненного непроводящей средой, для которой е = р = 1, т.е. а = с = 3 106 м/с. Введем следующие обозначения: е — направление вдоль волновода, Š— поверхность волновода, Я вЂ” поперечное сечение, à — контур, ограничивающий сечение. Математическая теория распространения электромагнитных волн в волноводе может быть построена на решении волнового уравнения для поляризационного потенциала 220 6.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Для электрической Е-волны типа ТМ (поперечная магнитная) компоненты электромагнитного поля выражаются через 11 по формулам (6.61 а). В такой волне отсутствует продольная составляющая магнитного поля (Н = 0), т.е. магнитное поле поперечное (англ. ~гапвчегге). Формулы (6.61 б) определяют компоненты электромагнитного поля в магнитной Н-волне типа ТЕ (поперечная электрическая), для которой отсутствует продольная составляющая электрического поля (Е, = 0). Электрическое поле в такой волне поперечно.
Ограничимся рассмотрением электромагнитных ТМ-волн в волноводе. Для волн такого типа условие отсутствия тангенциальной составляющей электрического поля на идеально проводящей поверхности волновода задают как условие равенства нулю продольной составляющей вектора П: П) =О. (6.73) Решение уравнения (6.72) ищем в виде П(х, у, х) = О(х, у) )(г).
(6.74) Подставляя (6.74) в уравнение (6.72), после разделения перемен- ных получаем ~г~ л Н вЂ” +к~у = Л = сопвй. (6,75) Отсюда с учетом условия (6.73) получаем задачу на собственные значения Е ЬгН+ ЛУ = О, (х, у) Е Я; (6.76) Н!г — — О. Задача (6.76) аналогична задаче о собственных колебаниях упругой мембраны, закрепленной по контуру Г. Это позволяет использовать результаты ее решения для определения собственных значений, зависящих от двух целочисленных параметров п и т, и соответствующих им собственных функций (7„„,(х, у) задачи (6.76) для контуров правильной формы.
222 б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Соотношение (6.79) соответствует бегущей электромагнитной ТМ„ш-волне с частотой ы, распространяющейся с фазовой скоростью еф = и/у,щ, и имеющей длину волны л=2 /~„- — 2 //Р-Рл ПРи ы < с~/Л„~ (й < Л„ш) величина у„ш = Ы„,п, где 2 д„=~7 -7~, й. с у щее решение П,(х, у, л>1) = (Унт(х, у)е """е ь"1 описывает затухающую волну. Таким образом, бегущая ТМ„,н;волна, распространяющаяся в волноводе, не может иметь частоту, меньшую некоторой критической, равной ю„',„= с~/Л„~. Так как первое собственное значение задачи (6.76) является минимальным собственным, в волноводе не могут распространяться электромагнитные волны с частотами, меньшими ы' = с4Л~;„.
Для волневодов с прямоугольным и круглым сечениями критические частоты соответственно равны: 1 1 ы' = ся — + —; ~(12 12' 1 2 2, 405 ш*=с — ' ге где с = 3 100 м/с. Из этих формул следует, что передавать энергию по волноводу, поперечный размер которого составляет несколько сантиметров, можно только с помощью электромагнитных волн высокой частоты (СВЧ-волны). Выражение (6.79) для осевой составляющей вектора Герца позволяет с помощью формул (6.61 а) найти компоненты электрического и магнитных полей в волноводе при распространении в нем электромагнитной ТМ-волны. Так, для волновода с 6.
7. Распространение электромагнитных воли 223 круглым сечением, используя выражение для дифференциаль- ного оператора гоФ М в цилиндрической системе координат /'1 дм, дМ„~, гоФ7т1 = ~ — — — — ) 1г + ~,,т д~р дн ) /дМг дМл~ —,~ (1 д 1 дМт1 -+ + ( — — — ) г~ + ~ — — (тМр) — — — ~ 1л, (, дэ дт) (тдт 'Р т ду~ получаем — ~ 1 дп †,+ дп †,> го$ Й = — — 1т — — г~, т ду дт д2П + 1 дгП, + го$ го$ И = — эг + — — ар — ла2Пл (, = дадт т дудг д2П» + 1 д2П ~ /д2П 2 ~ + — г„+ — — (м+ ~ — + /с Пл) 1л ° дндт т д(од» 1, дн2 Теперь с учетом (6.79) при помощи формул (6.61 а) находим: 4 Ипптупт — 1(ыЕ Ъипл н/2). т- п~йптп — / совтире 1П НтГ' г / т 1 ° — ЦиŠ— 7итл+н/2). Я,~рптп — ) аппре О 2 Е = А — "~ 7п(,ипгп — ) совп1Ре '(~ и( пгп ) 1 Нг = еоА — 7п~рп~п — ) ятпуе '("" З" ' и/ ) пы г та Н =О.
Переход к действительным выражениям в этих формулах следует осуществлять с помощью замены комплексных экспонент вида е "" на сова. При расчетах частота волны задается частотой генератора, возбуждающего электромагнитную волну в волноводе, а 225 Вопросы и задачи 4Х г !г вшб~хо ешб~х иоб уо в!лб»у х »=!»=! 1/б + б» х ебп(аоД' + б»о), щн пв где б ! = —; б» =— 6.3. Найдите поперечные колебания круглой мембраны радиуса го с закрепленным краем, вызванные равномерно распределенным давлением ро, действующим на одну сторону мембраны с момента времена $ = О. Начальное отклонение мембраны считать равным нулю. (й»г ) и(г, $) = — — — 2го»у сол —, где и„— роао ~ 4 2.~ ро,у!(р„) го Ошееш положительные корни уравнения Д~(р) = О.
6.4. Опишите вынужденные колебания круглой мембраны радиуса го равным нулю. Ошесш: и(г, 1) = — „— 1 з1пыо+ М вЂ” ) а »» !о + 2аро!ого ро ад» где и„— положительные корни уравнения уо(р) = О, а о! Ф ы„= —. то 6.6. Определите критическую частоту волновода прямоугольного сечения со сторонами 1! и (о для ТЕ-воля, когда вместо условия (6.73) следует дП( выполнить условие — = О.
др ~ Оо!ееос ы' ж †, где 1 = шах(1!, 1о). 1» с закрепленным краем, вызванные равномерно распределенным давлением р = ро ив о!1, действующим с момента времени $ = О на одну сторону мембраны, в отсутствие резонанса. Начальное отклонение мембраны считать 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ОПИСАНИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ х1АСТИЦ 7.1.
Волновая функция В нерелятивистской квантовой механике состояние частицы определяется заданием волновой функции Ф(х, у, х, $), зависящей от пространственных координат и времени. В общем случае волновал функция является комплексной функцией действительных аргументов, а ее квадрат модуля в любой момент времени определяет плотность вероятности ю = ИР/И$' нахождения частицы в данной точке пространства: — = ~Ф(х, у, х, $)~ . (7.1) Из этого определения следует, что вероятность Р обнаружить частицу в некотором объеме пространства У в любой момент времени $ можно рассчитать по формуле Р = 1Ф(х, у, х, 1)! аК (7.2) Р= ФФ*ИК Отсюда вытекает условие нормировки волновой функции ФФ' Л1 = 1. Ъ'-+со (7.3) Волновая функция должна удовлетворять некоторым условиям регулярности, вытекающим из ее физического смысла.
Учитывая, что ~Ф~ = Ф Ф', где Ф' — функция, комплексно г сопряженная к Ф, соотношение (7.2) можно записать так: ха Волновал функция 227 Она должна быть однозначной функцией своих переменных, непрерывной вместе со своими частными производными по пространственным переменным и квадратично интегрируемой в любой области пространства. Последнее условие, в частности, требует стремления волновой функции к нулю на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
