XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Примеу7.1, Определить систему собственных функций оператора Ь (оператора проекции момента импульса на выделенное направление 2). 6 д Из формул (7.50) находим, что Ь2 = —, —. Поэтому задачу 2 д<Р' на собственные значения оператора Х2 можно записать в виде следующего дифференциального уравнения: 253 Вопросы ы вадачы Отсюда определяем дискретный спектр собственных значений оператора Хя Л„, = год, гп = О, ~1,... (7.66) и систему нормированных собственных функций Ф~ = А е'~н, А = 1/~(2я.
(7.67) Поэтому в соответствии с постулатом квантовой механики проекция момента импульса квантовой частицы на некоторое выделенное направление л может иметь только следующие значения: ~я = гпп1 улаф 7йьф или — д~Ьр ф = Ь~ф (7.68) имеет дискретный спектр собственных значений Ь~ = й~1(1+1), 1= О, 1, 2,..., и соответствующую систему собственных функций (7.69) фут — — Ус„,(В, ~р), гп = О, ~1,..., Ы. (7.70) Спектр оператора Х~ является вырожденным с кратностью вырождения, равной 21 + 1.
Каждому собственному значению уравнения (7,69) соответствует 21 + 1 собственных функций, представляющих собой сферические функции ~~„,(В, ~р). Вопросы и задачи Т.1. Найдыте сферыческы-сымметрычное решение стацыонарыого уравненыя Шредынгера, описывающее квантовые состояния частицы в сферыческой потеыцыальной яме радыуса ге с непроынцаемммы стенками, счнтая, что внутри ямы потеыцнаяьыая эыергыя частицы равна нулю. где гп — магнитное квантовое число.
Используя результаты, полученные при описании квантовых состояний атома водорода, можно также утверждать, что задача на собственные значения оператора квадрата момента импульса 254 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ият жив Ответ: Яг1 =, п = 1, 2,. ге ~/2ягв г Т.2. Вычислите вероятность нахождения вне классических границ движения одномерного гармонического осциллятора с наименьшим значе- пнем полной энергии. Ответ| Р = 0,16. 2.8. С учетом вероятностного смысла волновой функции определите среднее значение потенциальной энергии электрона в атоме водорода для произвольного квантового состояния.
Отвеин (О) =— о 4яее пи'. 7.4. Проверьте следующие правила коммутации длв операторов про- екций момента импульса". у*Ее Хе г еЯ»' г'еу* уЯе йЬ Т.б. Докажите следующее правило коммутации операторов проекций импульса и момента импульса: 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 8, НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДИФФз'ЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА 8.1. Теория нелинейной теплопроводности Одним из актуальных направлений современной математической физики является изучение нелинейных математических моделей различных физико-химических явлений и процессов.
Появление таких моделей обусловлено использованием в современной физике и технике воздействий на вещество электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой энергии, мощного лазерного когерентного излучения, ударных волн высокой интенсивности, мощных тепловых потоков. Линейные математические модели являются всегда лишь определенными приближениями при описании различных процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые физические величины в рассматриваемом процессе изменяются не в очень широком диапазоне значений. Нелинейные модели позволяют описать процессы в более широком диапазоне изменения параметров.
При этом нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов, но и качественную картину их протекания. В основе нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, законченной теории и общих методов решения задач для которых в настоящее время не разработано. Однако для ряда нелинейных задач математической физики удается найти точные аналитические решения, анализ свойств которых позволяет выявить качественно новые нелинейные эффекты в исследуемых процессах.
В частности, при исследовании высокотемпературных тепловых процессов с учетом 256 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА действия таких механизмов переноса энергии, как электронная или лучистая теплопроводности, необходимо учитывать зависимость плотности р, удельной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности среды л от температуры. Мощность тепловых источников, распределенных в объеме среды, также может зависеть от температуры, если учитывать процессы диссоциации и иониэации молекул, фазовые переходы, излучение, горение, химические реакции и другие зкэо- и зндотермические процессы, протекающие в нагретой среде. Уравнение теплопроводности, учитывающее зависимость свойств среды от температуры и нелинейную зависимость от температуры мощности распределенных в объеме тепловых источников, является квазилинейным параболическим уравнением вида ди р(и)с(и) — = Жч(й(и)бгаби)+ У(и, х, у, г, $).
(8.1) Нелинейность задачи теплопроводности может быть также обусловлена нелинейностью граничного условия. Такие задачи, в отличие от задач с внутренней нелинейностью, обусловленной нелинейностью уравнения, часто называют задачами с внешней пел инейностью. Нелинейное граничное условие на поверхности Я тела может иметь вид ди — =0(и,Р,1), РЕЯ, (8.2) где функция 8 нелинейным образом зависит от температуры. К таким условиям, например, относится условие (2.14) на поверхности излучающего тела или условие конвективного теплообмена (2.12), в котором коэффициент теплообмена ат зависит от температуры поверхности тела. Задача теплопроводности становится нелинейной, если учитывать фвзовые переходы в среде, такие, как плавление, испарение, конденсация, кристаллизаци, происходюцие при определенной температуре и сопровождающиеся выделением или поглощением теплоты.
257 8.1. Теория нединейяой геплолроврдности и1(Р) = иг(Р) = и', Р Е Е, (8.3) другое граничное условие: 1 В "2 ~ = Ч*ди~ (8.4) где й1, йг и и1, иг — коэффициенты теплопроводности и температуры двух соприкасающихся фаз соответственно; д' — удельная массовая теплота фазового перехода; и — мгновенны скорость перемещения фронта фазового перехода в направлении нормали п1 к поверхности Е. Так как скорость перемещения фронта и заранее не известна и должна быть найдена в процессе решения задачи теплопроводности, то граничное условие (8.4), называемое условием Стефана, делает задачу нелинейной.
Возможен и другой подход к моделированию процесса фазового перехода беэ явного выделения фронта фазового перехода при постановке задачи. Этот подход связан с переходом в класс обобщенных функций. Действительно, теплоту фазового перехода, выделяющуюся на фронте, можно учесть, считая внутреннюю энергию среды разрывной функцией температуры и вводя сосредоточенную теплоемкость среды.
При этом внутренняя энергия единицы объема среды я, как функция температуры, при и = и' скачком изменяется на величину теплоты фазового перехода, т.е. я — с(и) Йю + Я'ц(и — и*). 0 (8.5) В среде с фазовым переходом появляется поверхность Е раздела фаз, которую называют фронтом фазового перехода.
Эта поверхность перемещается с конечной скоростью. Баланс тепловой энергии на фронте фазового перехода с температурой и" позволяет записать на движущейся поверхности Е фронта кроме условия 259 8.2. Задача Стефана о фазовом переходе аналитических решений таких нелинейных задач теплопроводности крайне ограничено, но именно анализ этих решений позволяет выявить качественно новые нелинейные эффекты при распространении теплоты. Некоторые такие решения нелинейных задач теплопроводности рассмотрены ниже.
Квазилинейные параболические уравнения второго порядка лежат в основе математических моделей разнообразных явлений и процессов в механике, физике, биологии, экологии, технологии и других отраслей знаний. В частности, уравнение нелинейной теплопроводности (8.1) при определенных условиях описывает фильтрацию жидкостей и газов в пористых материалах, диффузию нейтронов, нелинейный скин-эффект при проникновении магнитного поля в проводящие среды. Это уравнение применимо при математическом описании процессов горения и детонации, химической кинетики, процесса роста и миграции биологических популяций, распространении загрязнений в окружающей среде.
Такой диапазон приложений уравнения (8.1) обусловлен тем, что в его основе лежат фундаментальные законы сохранения энергии, массы или числа частиц. 8.2. Задача Стефана о фазовом переходе Найдем аналитическое решение одномерной нелинейной задачи теории теплопроводности, которую называют задачей Стефана в честь И. Стефана, поставившего и решившего в 1889 г. задачу о фазовом переходе. Фазовый переход может быть связан с кристаллизацией жидкости при ее охлаждении.
В этом случае задачу обычно называют задачей о промерзании, имея в виду, что процесс замерзания воды при ее охлаждении относится к процессам такого класса. Пусть жидкая среда занимает полупространство х > О и пусть при 1 ( О температура всех слоев жидкости одинакова и Равна ив > и*, где и' — температура отвердевания жидкости. Вез ограничения общности мы будем считать и* = О. 260 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА . С момента времени 1 = 0 на границе х = 0 поддерживается постояыная температура пс < 0 ниже температуры кристаллизации п*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
