XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Фронты тепловой волны, положения которых в любой момент времени определяются равенствами х = ххо($), отделяют в пространстве область возмущений, где и > О, от невозмущенной области ~х~ > хо(1), куда тепловые возмущения от источника еще не проникли и где и = О. Фронты тепловой волны движутся с конечной скоростью ахО а~00 3 х — 4 — '+' и(1) = — = 1~ '+х (а~1) ез 1 +х. (8.42) й о+2 Скорость движения фронтов уменьшается с течением времени, однако тепловые возмущения проникают в нелинейную среду неограниченно далеко, так как хе(1) -+ оо при 1 -+ оо. Заметим, что если а > 1, то фронты тепловой волны являются крутыми, так как в этом случае (ди/дх~ — > оо при х -+ ххе ~ О.
Однако, несмотря на неограниченный рост градиента температуры на крутом фронте тепловой волны, плот- ди ность теплового потока д = — кеи~ — при приближении к фрон- дх В.З. Тенловые возмущении в нелинейных средах 271 ту из области возмущений стремится к нулю, обеспечивая выполнение на фронте физического условия непрерывности теплового потока при любых значениях параметра нелинейности а > О. При этом формулу (8.39) следует рассматривать как обобщенное решение задачи (8.27).
Формулы (8.34), (8.38) и (8.39) допускают предельный переход о -+ О, соответствующий переходу к среде с постоянным коэффициентом теплопроводности, равным х0. В этом случае п0 -~ оо и из решения (8.39) при о -> 0 можно получить распределение температуры 2 ( х и(х, 1) = 1пп 1 — о — = е е-еО 2Яа21 1, 4а2Ц 2~lяа21 совпадающее с нестационарным температурным полем в задаче о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в линейной теории теплопроводности [см. уравнение (2.66)). Таким образом, тепловые возмущения в нелинейной среде с коэффициентом теплопроводности, изменяющимся в зависимости от температуры по степенному закону, распространяются по нулевому невозмущенному фону с конечной скоростью, в отличие от среды с постоянным коэффициентом теплопроводности, где скорость распространения тепловых возмущений бесконечна. Этот вывод подтверждается еще одним точным решением задачи нелинейной теплопроводности.
Пусть первоначально не- нагретая нелинейная среда занимает полупространство х > 0 и с момента 1 = 0 температура на границе х = 0 начинает увеличиваться по степенному закону с показателем степени, связанным с параметром нелинейности среды о. Процесс разогрева среды в этом случае описывается следующей нелинейной задачей: ди гд( дМ вЂ” =а — 1ие —, 1>0, х>0; д1 дх 1, дх,~ * (8.43) 1 и(х, 0) = О, и(0, 1) = и01 272 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Непосредственной проверкой можно убедиться, что задача (8.43) имеет фронтовое решение 1 Е/ ~ т ( )) оС ~1 — ®)), О<*< о(~)) (844) О, х > хо(й).
Здесь хе(~) = еО1' ео = ( ~) и Анализ решения (8.44) показывает, что от нагретой границы в глубь среды по невозмущенному нулевому фону распространяется тепловая (температурная) волна, фронт которой движется с постоянной скоростью, равной ее. Скорость ео зависит от "амплитуды" ие теплового возмущения на стенке.
Качественный вид температурных полей в тепловых волнах (8.44) для различных значений параметра нелинейности п показан на рис. 8.3. х~)е,) х о х7с) х а хо)8я) х П Рис. 8.3 Как и в предыдущей задаче,при значениях параметра нелинейности а > 1 фронт тепловой волны (8.44) оказывается крутым, так как при этом (ди/дх! — ) оо при х -+ хе — О. Однако можно проверить, что тепловой поток непрерывен во всех точках пространства и обращается в нуль при приближении к 273 В.З. Тенловые веаы1нлення внелннейныл среда» фронтовой точке х = хО(1) из области возмущений.
Действительно, вычисляя плотность теплового потока 1 Ч(.,1)= О.- = ' О дх сг ОО ~, ОО) и подставляя сюда х = иО1, получаем, что д(хО(1), 1) = 0 для любого и > О. Итак, конечная скорость распространения тепловых возмущений указывает на появление в нелинейных средах своеобразного свойства "инерции" тепловых процессов, которое качественно изменяет характер протекания тепловых процессов в нелинейных средах по сравнению с аналогичными процессами в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности, где тепловые возмущения распространяются мгновенно.
Пространственная локализация тепловых возмущений. Еще один интересный нелинейный эффект можно обнаружить при рассмотрении процесса распространения тепловых возмущений в нелинейных средах с объемным поглощением теплоты. Рассмотрим задачу о влиянии мгновенного плоского сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде с коэффициентом теплопроводности, изменяющимся в зависимости от температуры по степенному закону, если в нагретой среде происходит объемное поглощение теплоты, удельная мощность которого в каждой точке среды пропорциональна значению температуры в данный момент времени. Математическая модель такого процесса соответствует задаче Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с младшим членом ди 2 д (, ди~ 1.
— =а — ~и — ) — ри, 1>0, хб Я; д1 дх ~ дх) (8.45) и(х, 0) = (~ б(х). Здесь р = сопяФ > 0 — коэффициент поглощения. При р = 0 задача (8.45) переходит в рассмотренную выше задачу (8.27). 274 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА НУ вЂ” = -р,У ~й (8.46) где,У(1) = и(х, 1) сЬ. — ОЗ Так как У(0) = и(х, О) сЬ = Я о(х) дх = Я, то, интегрируя уравнение (8.46), получаем ,У(1) = Я е Р Для решения задачи (8.45) перейдем с помощью преобразования и(х, 1) = и(х, 1) е 1' (8.47) к новой функции о(х, Ф). Тогда уравнение для и принимает вид ., ди 2 д У' . ди'1 1 — =а — ~и~ — ), 1>0, хй Я . д1 дх 1, дх)' Вводя новое независимое переменное (преобразованное время) по правилу 1 — е Р"~ 1 т = т(Ф) =, т Е ~0, — ), (8.48) ро ' рн получаем для функции и(х, т) задачу < д д1 д1 1 1, — =а — ~и~ — ), 0<т< —, хЕ Я; дт дх (, дх)' ро (8.49) и(х, О) = Я о(х).
Поглощение энергии в объеме нелинейной среды приводит к уменьшению интегральной тепловой (внутренней) энергии среды. Поэтому при интегрировании (8.45) по пространственному переменному х в пределах от — оо до +ос находим В.З. Теняовые возмущения в нелинейных средах 275 С точностью до обозначения временного переменного задача (8.49) соответствует решенной выше задаче (8.27) о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения.
Единственное отличие состоит в том, что задача (8.49) сформулирована на конечном "временном" интервале. Поэтому, использовав соотношение (8.39) и проведя обратное преобразование переменных, можно записать решение исходной задачи (8.45) в виде и(х, 8) = и(х, т(2)) е р, где 2 (7(т) 1 — —, (х) < хн(т); Ц1) =Ьт(1 — е ) = ОЮ(9 а т~) (8.53) (8.54) О, (х( > хд(т). Зависимости Щт) и ха(т) в (8.51) определены формулами (8,40) и (8.41), в которых время 1 следует заменить на т, понимая под т = т(1) преобразованное по закону 1 тф = тт (1 — е ™), тт = (8.52) рп временное переменное.
При этом существенно, что преобразование 1 -+ т отображает полубесконечный интервал (О, +оо) по переменному 1 в ограниченный отрезок [О, т, ) по переменному т. Финитное решение (8.50) задачи (8.45) представляет собой фронтовое решение, описывающее распространение тепловой волны от мгновенного сосредоточенного источника с конечной скоростью перемещения фронтов х = ххо(т(е)). Но главную особенность этого решения можно обнаружить, если проанализировать законы движения фронтов тепловой волны.
Из этого анализа следует, что функция и(х, 1) в любой момент времени 1 > 0 равна нулю вне области ф < Ь(~), где 276 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА увеличением коэффициента поглощения р. Эффект пространственной локализации тепловых возмущений в рассмотренной задаче обусловлен объемным поглощением тепловой энергии. Действительно, если р -+ О, то т,„-+ оо и, как следует из выражения (8.54), 1„— ~ оо, т.е. в ииО О +в х среду беэ объемного поглощеРис. 8.4 ния тепловые возмущения проникают неограниченно далеко. Возможность создания условий, когда удержание разогретой среды в ограниченной области пространства можно осуществить за счет внутренних механизмов нелинейного процесса теплопроводности, является принципиально новым выводом, вытекающим из анализа математической модели (8.45) нелинейного процесса теплопроводности.
Реализация таких условий является, в частности, одной из практически важных задач в проблеме управляемого термоядерного синтеза. Так как Ц$) — ~ Ь < оо при $ — > оо, то тепловые возмущения от источника проникают в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже за бесконечный промежуток времени. Тепловые возмущения оказываются локализованными в ограниченной пространственной области. Как видно на рис.
8.4, на плоскости состояний (х, 1) заштрихованная область возмущений, где и ) О, заключена в полуполосе, конечная ширина которой 21„„. При этом величина 1.,„, определяющая размер области локализации тепловых возмущений, зависит от определяющих параметров задачи в соответствии с выражением (8.54). В частности, размер области пространственной локализации увеличивается с ростом мощности теплового источника Я и уменьшается с 8,3.
Тепловые воэмупеенил в нелинейных средах 277 Отметим, что своеобразный режим метастабильной локализации тепловых возмущений может наблюдаться и в отсутствие в среде объемного поглощения теплоты. В атом режиме локализации фронт тепловой волны остается неподвижным в течение некоторого конечного промежутка времени. Такая локализация тепловых возмущений наблюдается при нагреве нелинейной среды в режиме с "обострением", когда температура граничной поверхности растет неограниченно за конечный промежуток времени. Такую локализацию теплового воздействия в режиме с обострением иллюстрирует следующая краевая задача нелинейной теплопроводности в полупространстве: 0<й<Т, х>0; — х>0; 1/ и(х, 0) = Ав Т ~ 1 1 п(О, ~) = Ао (Т вЂ” 1) (8.55) 0 < 1 < Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
