XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При этом коэффициенты й; являются константами скоростей реакций, а а; — стехиометрическими коэффициентами. Точные решения задач для уравнений вида (8.75) в общем случае найти не удается из-эа нелинейностей, обусловленных младшими членами уравнений. Однако в частном случае двух- компонентной системы реагирующих веществ (1 = 2), когда Р| = Рз = Р > О, й1 = — й2 = й > О и аы = а12 = а21 = а2э = 1, т е. для нелинейной системы уравнений 286 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА можно найти точное аналитическое решение в области Я+ —— ((х, 1): — оо < х < +со, 1 > О).
Это решение соответствует волнам концентраций со стационарными профилями, распространяющимися с одинаковой скоростью. Действительно, будем искать решение системы (8.77) в виде и1 = и1 (О и и2 = и2(~), где ( = х+ п1, а о = сопз1 > О, Тогда система (8.77) преобразуется к виду (8.78) В области — оо < ( < +со рассмотрим функцию зависящую от параметра а = сопз1 > О. Дифференцируя зту функцию, находим, что — = -2а7 (7 — 1) о7 ! сК вЂ” = ба27(72 — 1) (72 — — ). Следовательно, (2 и — ' Р '=6ааР7(1 72)(А+72), щ2 ю 2 где А = — — —. ЗаР 3 Если теперь параметр е, определяющий скорость волн, выбрать равным и = 5аР, то при этом получим А = 1 и о7 о7 2 о — — Р— = ба Р7(1 — 7). ,1 г Пп1 И~ (Ьр (21 ~Рп1 Р = к н1п21 ~~2 ,(г„ Р = к п1п2.
~~2 288 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА и граничным условиям ди1 ди2 ди~ — — = — =0 при х=О; дх дх дх (8.82) ди1 ди2 диг — — = — =0 при х=1. дх дх дх Задачу (8.80) — (8.82) можно интерпретировать, в частности, как задачу, моделирующую нестационарный процесс в химическом реакторе с непроницаемыми стенками. Ее приближенное решение найдем, проведя дискретизацию уравнений (8.80) по временному переменному. Такой метод с переходом к конечным разностям в уравнении лишь по одному переменному называют мегподом прямых, или метпадом Ротпе.
Сходимость этого метода доказана в различных классах гладких и обобщенных решений для широкого класса нелинейностей в уравнениях системы (8.80). Опуская доказательство сходи мости и оценки погрешности метода, изложим саму схему построения достаточно простого алгоритма приближенного аналитического решения задачи (8.80) — (8.82). Основная идея яешода прямых состоит в том, чтобы заменить оператор дифференцирования по временному переменному разностным отношением, считая ди, и(х, ~~,) — и(х, ~ь 1) — + 0(т). (8.83) ~=~с г Подставляя (8.83) в систему (8.80) и отбрасывая члены более высокого порядка малости, получаем полудискретный аналог задачи (8.80) — (8.82) в виде последовательности (й = 1, 2,...) дифференциально-разностных уравнений для 1 = 1, 2,..., 1: ,1г„(Я) О, ', — т ~ и, (х) = — т ~и; (х) — Р; (х) (8.84) 289 8.5.
Уравнение типа "реаннин - диффузии" с граничными условиями ди( ) е(и( ) =о, Дх х=о (х (х=! (8.85) При этом на каждом временном слое в младших членах у1 урав- нений (8.80) значения функций и1, и2,..., и1 взяты с предыду- щего временного слоя, т.е. (х) = Л~и1 (х), и2 (х),...,и1 (х), х, (Ь 1), (х) 7 ((е-1) (Ь-1) (Ь-ц пхх Я„(х) =сов —, п= О, 1,2, Записав это разложение в виде ((е) ое и, (х) = — '+ ~~> аеа сов —, Р,) оно (Ь) ПЯХ п=1 (8.86) (1е) укажем способ нахождения коэффициентов а,.„. Для этого ((е) функцию Г, (х), входяшую в уравнение (8.84), разложим в тригонометрический ряд Фурье (и) ео Р, (х) = ' + ~ 1е,„сов— (") 1еЮ (ц пхх в=1 (8.87) Итак, с помощью уравнений (8.84) с учетом условия (8.85) (х) можно последовательно находить функции и, (х) для и = 1, 2,..., являющиеся приближениями искомых решений и;(х, 1) задачи (8.80) — (8.82) на временных слоях 1 = 1а.
При этом для каждого значения индекса е задачу (8.84), (8.85) мож- (1) но решать независимо. На первом шаге при вычислении Е,. (х) в качестве и, (х) следует взять начальные распределения У;(х). (О) Для каждого значения г решение дифференциального уравнения (8.84), удовлетворяющее граничным условиям (8.85), будем искать в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье по системе ортогональных на интервале 0 < х с 1 функций 290 а нелинеЙные мОдели пРОцессОБ пеРенОсА с коэффициентами, вычисляемыми по формуле Эйлера — Фурье, 1 ~Рва = - / Р,. (х) сов — с(х, п = О, 1, 2, ((~) 2 Г (ь) ппх О Подставляя разложения (8.86) и (8.87) в уравнение (8.84), получаем т х1 г (Ь) 1 (ь) 1 (ь П (ь) откуда находим искомые коэффициенты (й — 1) (Ус) (й) о(п т У1п (п 2 2 2 2 тй — +1 тВ +1 (2 12 (8.88) 11 = Л(и1, иг) = А — (В+ 1) и1 + и',иг, (8.89) 12 = 12(и1 и2) = Ви1 и(и2 где А и  — некоторые положительные константы.
Таким образом, приближенное решение задачи (8.80)— (8.82) на временных слоях 2 = 21, = Ит, л = 1, 2,... найдено в форме разложения функций и,. (х) = и;(х, 1(,) в тригономе(ь) трические ряды Фурье (8.86) с коэффициентами а,„, которые (й) определены соотношениями (8.88). Реализация алгоритма (8.86) — (8.88) связана с нахождени(й) ем коэффициентов Фурье функции Г, (х), пересчитываемых на каждом шаге по й. Эта задача может быть решена на ЭВМ с использованием стандартных программ нахождения коэффициентов Фурье заданных функций. С помощью предложенного алгоритма проведем расчет и проанализируем некоторые свойства решения задачи (8,80)— (8.82) для 1 = 2, если 8.5.
Урааиеиие типа "реакция — диффузия" 291 Такая диффузионно-кинетическая модель была предложена брюссельской школой И. Пригожина и получила название "брюсселятор". Эта модель описывает превращение двух компонентов Х и У в некотором химическом реакторе с непроницаемыми стенками, если рождение и уничтожение компонентов в реакторе происходит по следующей схеме: А — '-~ Х; В+ Х вЂ” '-~ У+ Р; й1 122 2Х+У з+ЗХ+С; Х вЂ” +Е, где значения констант скоростей реакций указаны над стрелками процессов.
При этом предполагается, что концентрации веществ А и В в реакторе поддерживаются постоянными, а вещества Р, С и Е некоторым образом удаляются. Кроме того, считается, что скорости обратных реакций значительно меньше скоростей прямых. При этих предположениях кинетические процессы в системе описываются уравнениями (8.89), где п1 и ип — концентрации веществ Х и У соответственно. Приведем некоторые результаты расчетов нестационарных процессов с использованием модели брюсселятора. Если значение константы В, пропорциональное концентрации этого вещества, не очень велико, то по истечении некоторого времени установления система выходит на пространственно однородные, т.е. не зависящие от пространственной координаты, стационарные решения 221 = й1 = А и 222 = йз = В/А, для котоРых У'1 (й1, йу) = ~2(й1, йз) = О, Однако начиная с некоторого критического значения В = = В2, пространственно однородные решения й1 и йп становятся неустойчивыми.
Поэтому при В > Вв по истечении определенного времени релаксации система выходит на немонотонные пространственно-периодические стационарные структуры, которые называются диссипативными структурами. Пример диссипативных структур приведен на рис. 8.7, где представлены результаты расчетов по алгоритму (8.86) — (8.88) при следующих значениях определяющих параметров: Р1 = 292 В. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА = 4,4 10 ~.
В2 = 2,2 10 ~. 1 = 1; А = 2,1; В = 5,2. В качестве начальных распределений были выбраны пространственно однородные решения У1 = 2 и У2 = 2,3. При расчетах удерживалось Ж = 21 членов ряда (8.8б). Для временного шага т = О, 1 выход на стационарное решение в виде диссипативных структур наблюдался при к > 120. 0 82 лл Ол Ол Рнс. 8.Т Другой интересной особенностью модели (8.80) — (8.82) является возможность возникновения периодических колебаний концентраций веществ. Такие автоколебания в химических системах наблюдаются и экспериментально. В частности, одну из первых описанных в литературе автоколебательных химических реакций называют реакцией Белоусова — Жаботинского, которые наблюдали н объяснили периодическое изменение окраски раствора протеканием в нем химических реакций.
Итак, исследования математических моделей диффузионнокинетических процессов показывают, что из-за нелинейности в многокомпонентных системах реагирующих веществ могут появляться упорядоченные, структурно-организованные состояния, а также состояния, изменяющиеся с определенной закономерностью и периодичностью. Эти состояния являются не- 293 Вопросы и задачи равновесными и лежат вне термодинамической ветви, для которой характерны лишь стационарные бесструктурные состояния "тепловой смерти", соответствующие максимуму энтропии системы. Образование диссипативных структур относится к процессам упорядоченности и самоорганизации в неравновесных открытых физико-химических системах, которые представляют собой предмет изучения теории самоорганизации, или синергетики.
Вопросы' и задачи 8.1. Сформулируйте постановку одномерной задачи о плавлении твердой фазы, занимающей полупространство з ) О, при наличии теплового потока, поступающего через поверхность х = О. 8.2. Покажите, что задачу нелинейной теплопроводности в среде со степенными зависимостями теплоемкости и коэффициента теплопроводности от температуры можно свести к задаче для уравнения вида (8.26).
8.8. Используя теорию размерности и подобия, определите структуру решения сферически-симметричной задачи о влилнии мгновенного точечного источника, сообщающего нелинейной среде количество теплоты Яо. Ответ: в(г, Ф) = ~ — ) В(О), и = , где Я = 9в/(рс). (Д озс) 8.4. Используя предельный переход в формуле (8.74), найдите скорость движения фронта сферической тепловой волны от мгновенного точечного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглоще- ния тепловой энергии. Ответ: о(е) = сопвг с з+~ 8.6. Составьте программу для ПЭВМ, ревлизующую алгоритм (8.86) — (8.88) для двухкомпонентной среды (1 = 1, 2). 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
