XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 34
Текст из файла (страница 34)
г2А~оа~(о+ 2)1 Ъ Здесь Ао = сопв1 > 0; хо = ~ о Параметр Т в задаче (8,55) назовем временем обострения процесса разогрева нелинейной среды, учитывая, что и(0, ~) -~ оо при ~ — > Т. Задача (8.55) имеет простое по форме решение в разделяющихся переменных: и(х, с) = (8.56) 0<х<хо, 0<Ф<Т; х)хо, 0(8<Т. О, Так как и(х, 1) = 0 при всех 1 Е [О, Т) для любого х > хн, то фронт теплового возмущения х = ха, на котором равны нулю температура и тепловой поток, отделяет нагретую среду от холодной. Фронт неподвижен, несмотря на неограниченный 278 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА хс х Рис.
8.5 рост температуры в области тепловых возмущений при ~ -+ Т. В течение промежутка времени ~0, Т) тепловые возмущения от нагретой стенки локализованы в пространственной области 0 < < т < те конечных размеров, Решение (8.56) можно назвать остановившейся на конечное время тепловой волной. Качественный вид локализованных температурных профилей такой тепловой структуры в различные моменты времени интервала (О, Т) для среды с показателем нелинейности и = 2 представлен на рис.
8.5. 8.4. Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением Рассмотрим еще одну задачу нелинейной теплопроводности, имеющую точное решение в аналитической форме. Пусть в нелинейной среде происходят зндотермические процессы, удельная мощность которых зависит от температуры степенным образом. Нестационарный процесс теплопроводности в такой среде с объемным поглощением теплоты описывается квазилинейным уравнением — = а б1ч(исйгаби) — ри~, ~ > О, М Е Я . (8.57) 8.4, Задача геплопооаодиости с объемным поглощением 279 Здесь и(М, 1) — температура; р = сопв1 > 0 — параметр поглощения, а значение М = 1, 2, 3 определяет размерность пространства, в котором происходит исследуемый процесс.
Запишем модель задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением, если и < 1, а показатель степени и = 1 — с!. Учитывая симметрию такой задачи (плоскую для !ч' = 1, осевую для !!!' = 2 и центральную для М = 3), сформулируем соответствующую задачу Коши длл нвазилинейноео уравнения тпеплопроводносгаи! —,— ~т и — ) — ри,2>О,т>0; И т~ 'дт дт ' ' ' (858) и(т, 0) = Яоу(М), где радиальная пространственная координата т > 0 для случаев Ф = 2 и М = 3 и т.
= )х) для М = 1. Параметр а2 в уравнении мы положили равным единице, что всегда можно сделать соответствующим выбором масштабов времени или пространственного переменного. С учетом конечной скорости распространения тепловых возмущений в нелинейной среде будем искать решение задачи (8.58) в виде фронтового решения ! и(т, ~) = (8.59) А(е) [ц~),2~ е „2 < це). О, т2>ЕИ), где А(с) и це) — функции, подлежащие определению. Подставив предполагаемую форму решения (8.59) в уравнение (8.58), получим < ! —.!2н -'А'"))ф)- ')'.! 2 ! + < ~А — +ел~ — 4 л~~ 2) )!!!! — ) =О.
!8.60! Й 280 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Можно заметить, что это соотношение приводится к виду 1 Я(1) (Цг,) — г ~ = О, (8.61) если предположить, что гг 1А — +рА~ и — 4гг 2АЬгггт2 = 4о. 2 А1+гг (ф) — г2~ Ж й т.е. сг-1А — +рА~-~ = 4о-~А'+~1. Ж й (8.62) Тогда Я(8) = — +2гг ~(№г+2)А +~. (8.63) г1А й Так как условие (8.61) должно выполняться для любых т и 1, то зто возможно лишь при Я(г) = О.
С учетом формулы (8.63) зто условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(~): й — + 2сг (№г + 2) А +гг = О. (8.64) Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (8.59) при ~ -+ О к дельтвобразному начальному распределению необходимо, чтобы Ц8) -+ О, а А(1) -+ оо при 1-+ О. Разделяя переменные в уравнении (8.64), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим реше- ние 1 2(№г + 2) (8.65) — — 2(№г+ 2) 11 ~Х = — 2р(Мгг+2)1. (8.66) й неограниченно возрастающее при ~ -+ О. Теперь, используя соотношение (8.62), для функции Ц1) приходим к следующему дифференциальному уравнению: 8.4. Задача теололроводиости с объемным аоглощеиием 281 Общее решение этого неоднородного дифференциального урав- нения первого порядка находим как сумму общего решения од- нородного уравнения и частного решения неоднородного урав- нения, В результате получаем 1(с) = Ссгге»2— г (Хгт+ 2) р1, С = сопа1.
(8.67) ДГп+ 1 Таким образом, с учетом уравнений (8.59), (8.65) и (8.67) решение исходной задачи (8.58) можно записать в форме фронтового решения 2 „(т ° У(1) 1 — ~ — У ~, 0(т(т»Я, ( ) О, т>т»(1), где 1 сг 18 2 2(дго + 2)1~ + (8.69) т (1) = С1Хге»-2— 2 а Ф<т+2) 2 + Мгт+ 1 р1, (8.70) Значение константы С в формуле (8,70) можно найти из соот- ношения г+ 00 1нн и(т, 1) К(Дг) т с1т = ф Г-+О аГ О (8.71) 2 при ДГ = 1; К(ДГ) = 2и при И = 2; 4гг при Ф = 3, являющегося следствием начального условия задачи Коши (8.58). С учетом выражений (8.68) — (8.70) соотношение (8.71) 282 8.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ЛРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА преобразуется к виду ! Флаг 1!ш1 г+' (1) ~ ~ х 1 х К(Ж) (1 — с~)а с~ 1д~ = Я. (8.72) О Учитывая, что Ия~г м +г 1пп 1 и г „' (1) = С г-~0 а значение интеграла выражается через бетпа-функцию Г(сг) Г(,В) Г(сг+ /3) ' из выражения (8.72) находим значение константы =Я~'Й (~ ~ В( —, )) (8.73) Таким образом, точное решение задачи (8.58) имеет вид (8.68), где 11(1) и г+(1) определены соотношениями (8.69) и (8.70) с константой С, которая находится по формуле (8.73). Найденное решение допускает предельный переход р — > О.
Полагая в уравнении (8.70) р = О, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Для Ф = 1 зто решение было построено нами ранее [см. формулы (8.39) — (8.41)). 8.4. Задача тенлонроаодности с объемным поглощением 283 Дадим физическую интерпретацию решения (8.68). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени 1 ) О существует фронт теплового импульса г = т+(т), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где и = О. Проанализируем характер движения фронта теплового импульса.
Для этого запишем уравнение (8.70) в виде 2№т+ 1 г Сб 1т где б =, 1 = [ ~ . Качественный вид зависимости (8.74) представлен на рис. 8.6. ъм Рис. 8.8 На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени, В среде распространяется волна разогрева.
Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при $ = б„где 1 Сб 17 лапь * 2р(№т+2)2~ (у, +2)~7 284 В. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину. При 1 > 1, объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени 1 = 1ш тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование.
Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время,т.е. для 1 > 1ш в любой точке пространства и = О. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно- временной локализацией. При р = О, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (8.70) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рис. 8.6). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко. Полученные соотношения можно рассматривать и при р < О, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии.
В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (8.70) при р < 0 увеличивается. 8.5. Уравнение типа "реакция — диффузии" Моделирование ряда процессов в физических, химических и биологических системах приводит к решению краевых задач для систем квазилинейных уравнений вида ди; 1 — '=й (~Р~~я д ~)+Я 1, г,, г,м,~), (8.т5) ,1=1 где1=1,2,...,1;1>0; МЕ 91; Д1=1,2, 3.
8.в. Уравнение типа "реакция — диффузия" 285 Уравнения такого типа описывают нестационарные диффузионно-кинетические процессы в многокомпонентных распределенных системах, т.е. эволюцию широкого класса нелинейных активных систем с диффузией. Математические модели, в основе которых лежат уравнения вида (8.75), широко используются в биологии, экологии, экономике. Такими уравнениями описывают распространение нервных импульсов, волн эпидемий, распространение популяций растений и животных, а также другие эволюционные процессы.
Особенно широко системы уравнений вида (8.75) используют в химической кинетике при описании процессов типа "реакция- диффузия". Поэтому коэффициенты Р; в уравнениях (8.75) называют коэффициентами собственной (г = 1') и взаимной (1 ~ у) диффузии. Младшие члены уравнений при этом описывают кинетические процессы в системе, т.е. взаимодействие (реакции) всех 7 компонентов такой системы со скоростью, зависящей от концентрации компонентов. Простейшим примером функций Л, описывающих кинетику процессов, являются Л = й; и1" и2и ° и1'~, а,~ — — сопяС > О. (8.76) д2и, — = Р— +йи1и2; д~ дхэ ди2 д~иг — = Р— — йи|иг, д1 дх2 (8.77) Именно таким образом выражаются скорости химических реакций через концентрации реагирующих веществ по закону действующих масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
