XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 30
Текст из файла (страница 30)
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 1, Операторы координат х = х, у = у, и х = г являются операторами умножения на соответствующие координаты, т.е. хФ=хф; уф=уф; хф=яф. Эти три оператора можно объединить, вводя векторный оператор г'(х, у, х~, имеющий в качестве компонент в декартовой системе координат операторы х, у и х. 2. Операторы проекций импульса определяются с помощью дифференциальных операторов по правилам л д Р ~ дх' Ьд - Ьд Ру — — —, —, Р, = — —.
ду' д.' Эти формулы можно объединить, вводя векторный оператор импульса Я Ь вЂ”,~д -+д -+д = — 7, 7= а — +у — +я —, дх ду дх' Р2 д2,~ 3. Векторный оператор момента импульса формально можно определить операторным соотношением 1 = ~ Ф', Ф]. Отсюда получаем: Ь/ д д~ ~'х = уРх — хРу = —, у — — х— дх ду) ' д/ д д1 Ь„=хР— хР, = —, ~х — — х — ); дх дл) ' д( д д1 Ь =хР, — уР = —.~х — — у — ).
~ ду дх)' определенный с помощью оператора градиента ~7:— игаса. Опе- ратор квадрата импульса Р = Р Р + Р, Р„+ Р,Р можно за-' писать через оператор Лапласа 7.4. Операторы физических величин в квантовой механике 245 Оператор квадрата момента импульса можно построить по и авилу Р 2 Т =Ь Ь +Т„Т„+Т,Т,.
Переходя от декартовой системы координат к сферической х = т ап 0 соз !о, у = г апв з!и !о, я = т соя О, можно получить следующие формулы: Ь|'. д д 1 — ~з!и р — +с!яд сову — 7!, ав дуу' ' В/ д . д1 —, ~сезар — — с!50 в!пяо — !, ав д~9 (7.50) ! д!о' = — 5 ~ —, — ~з!и 0 — ! + —, — ~ = -й ~зя, ~в(пв дв ~ дв) в!п20 ду2~ 4. Если частица массой гп находится в силовом поле с потенциалом У(х, у, я), то оператор потенциальной энергии У представляет собой оператор умножения на функцию У, т.е. Оператор кинетической энергии Т можно определить через оператор квадрата импульса по формуле Т = Р~/(2т). Отсюда Ь 2 Т = — — Ь. 2ти Оператор полной энергии (гамильтониан) Й можно записать как сумму операторов кинетической и потенциальной энергии: 6 2 лч' = Т + (7 = — — ~~~ + О (х, р, ).
2еп 246 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Замечение 7.1. С помощью гамильтониана Й временнбе уравнение Шредингера (7.4) можно записать в комплексной форме дФ зй — = НФ. ВФ Уравнение Шредингера длл стационарных состояний (7.6) также можно записать в операторной форме Если два квантово-механических оператора А и В коммутируют, т.е.
АВ-ВА=О, то соответствующие физические величины а и Ь могут быть одновременно точно измерены. Если же коммутатор операторов АиВ К =А — ВА фО, то соответствующие физические величины не могут быть одновременно точно измерены.
В качестве примера некоммутирующих операторов можно привести операторы х и Р . Действительно, дед х(РлФ) = — (бх —; дх' д . ду) Р (хф) = — (й — (хф) = -(бх — — (бф, дх дх Поэтому для таких операторов Х = хРл — Рхх = тй ~ О. Вытекающий отсюда вывод о невозможности одновременного точного измерения координаты частицы и соответствующей проекции ее импульса составляет существо одного из важных положений квантовой механики — соотношения неопределенностей, установленного в 1927 г. В. Гейзенбергом. Один иэ постулатов квантовой механики утверждает, что результатом измерения физической величины 7 в квантово- 7.4. Операторы фнаичееки» величин и квантовой иеканике 247 механической системе могут быть только собственные значения соответствующего оператора Г. Именно поэтому проблема собственных значений эрмитовых операторов играет важную роль в математическом аппарате квантовой механики.
Для оператора Г его собственные значения и собственные функции находят как нетривиальные решения операторного уравнения удовлетворяющие условиям регулярности волновой функции. Спектр собственных значений операторов в квантовой механике может быть как непрерывным, так и дискретным. Учитывая связь проблемы квантования физических величин с дискретностью спектров соответствующих им операторов, ограничимся ниже обсуждением случаев, когда существует счетное множество собственных значений 7"„и собственных функций ф„, являющихся решением уравнения (7.51) Р9„= ~„Ф„, = 1, 2, Многие физически важные свойства собственных значений связаны с самосопряженностью операторов физических величин в квантовой механике.
Напомним, что каждому линейному оператору Р можно поставить в соответствие другой оператор г+, который называют оператором, сопряженным к данному, или эрмитово сопряженным. Сопряженный оператор г+ определяется с помощью интегрального соотношения 91 ~РФ2) е1Ъ' = ф2(Р+Ф1)* е1К (7 52) Здесь ф1 и Ф2 — две любые волновые функции, интегрирование которых ведут по всей области изменения пространственных переменных; В' — элемент объема пространства размерностью М, причем сй' = Нх для М = 1, е1У = е1х1е1х2 для % = 2, еЬ' = е1х1 е1х~ Ыхэ для Х = 3.
248 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Если оператор Р совпадает со своим сопряженным оператором Р+, т.е. Р = Р+, то такой оператор называют эрннтовььм, или самосопрлженнььм. С учетом формулы (7,52) самосопряженность оператора Р означает выполнение интегрального равенства Г 4~(Рф2)НЪ' = 42(Рф1)'дК (7.53) Ж~ Я~ В качестве примера докажем самосопряженность оператора проекции импульса Р . Для этого рассмотрим две волновые функции 4~(х) и ф2(х) (Л = 1), удовлетворяющие условиям регулярности, в частности условиям Ч'1 2( — оо) = Ф1 2(+ос) = О. Тогда +со +со ф1(Рф2)Нх= ) ~1~ — 45 — ~йх= г,г, аМ „/ 1, дх) +со =-161142 + 42 $6 д 'х +Ос +00 дф1 '1* ф2 — 46 — ) Ых = ) 92(Р~~1) Ых. ах) В соответствии с равенством (7.53) это означает самосопряженность оператора д Рх = -46 —.
дх Докажем теперь, что собственные значения эрмитова оператора вещественны. Для этого умножнм уравнение (7.51) для собственных значений слева на 4„* и проинтегрируем полученное равенство по всей области изменения переменных. В результате получим ф„*(Рф„) Л~ = |в ф'ф„НК (7.54) ХА. Операторы фиаичесюех величин в квантовой механике 249 С учетом нормировки волновой функции Фп тп ~~~ иэ равенства (7.54) находим Применив теперь операцию комплексного сопряжения к левой и правой частям полученного равенства, имеем Но, как следует из уравнения ~7.53), для эрмитова оператора поэтому ~п = Д, т.е. эрмитов оператор имеет только действительные собственные значения.
Перейдем теперь к доказательству ортогональности собственных функций линейного эрмитова оператора. Для этого запишем уравнения для собственных функций фп и фчп эрмитова оператора Р: Применив операцию комплексного сопряжения к левой и правой частям второго уравнения (7.55), получим (7.5б) 7.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 250 | 4* Р)))а~=|„Р' Ф.а~; щФ ~М | Ф-Р$-)*(~ = 1' Ф* 4. м. щИ щФ Так как для эрмитова оператора | Р' РЫ ( = Ф.РР )'ГК, я" щМ из уравнений (7,57) находим Ь Фе~ Мял( = Ут Фтд'Фа<(К я" я (7.57) или (У вЂ” У ) Ф* Ф Л' = 0 (7.58) Я~ Если и ф гп, т.е. |„ф. |,„, то из (7.58) получаем (7.59) что и доказывает ортогонзльность собственных функций эрмитова оператора. Принимая во внимание условие нормировки для волновой функции, уравнение (7.59) можно записать как условие ортонормированности собственных функций эрмитова оператора: Ф 4а<Л" = б„е~ = ' ' (7.60) а ~~ а ~ ~ ~ ~ ~ | 1 > и ~ ~ ~ !г ~ (О, п,-~т, где б„„, — символ Кронекера.
Умножая первое уравнение (7.55) на Ф;„, а равенство (7.56) на ф„и интегрируя полученные соотношения, находим 7.4. Операторы физическяк велвчии в квантовой механике 251 Замечание у.я. В случае вырождения спектра оператора Ф каждому собствеююму значенюо у„может соответствовать несколько собственных функций ф„(, ф„з,..., ф„„где л — кратность вырождения. условие (ибо) для вырожденного спеитра будет иметь внд ~1, пжп(ил=1; Ф'ьфы (1'= У (О, п~ п(нлня Н'й ~п Система собственных функций эрмитова оператора является полной системой ортонормированных функций. Это означает, что произвольную функцию ц((х) (х Е М, М = 1, 2, 3), удовлетворяющую условиям регулярности, можно разложить в ряд по системе собственных функций 4(я) = ~~1 Сп Фп(Х), С„= СОПВФ.
(7.61) «=1 Коэффициенты сп разложения (7.61) можно определить, воспользовавшись ортогонвльностью собственных функций. Для этого умножим ряд (7.61) на Ф„'„(х) и проинтегрируем по всей области изменения переменных. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим Ж~ я' В силу ортогональности собственных функций отличным от нуля членом суммы, стоящей в правой части равенства (7.62), будет только член с п = гп. Поэтому получаем с„, = фгп(х) 1(((х) ИК (7.63) % Заметим, что подставляя (7.63) в ряд (7.61) и снова изменяя порядок суммирования и интегрирования, получаем 252 7.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Для произвольной непрерывной функции 6«(х) зто равенство выполнено, если ~~~~ ~Ф (х ) Фп(х) БМ(х х ) п=1 (7.64) (7.65) при условии периодичности ф(вр) = ф(<р+ 22г), которое является следствием условий регулярности волновой функции. Решая уравнение (7.65), находим в» ф=Аев~, где А = А(г, В) — произвольная функция координат г и д. Условие периодичности приводит к равенству в» «» в» 2п е в, 9« — е в («г«+2«г) илн е в \ Это равенство выполняется при условии 2яЛ вЂ” = 2ягп, 5 где бдг(х — х') — Г«г-мерная дельта-функция Дирака. Соотношение (7.64) выражает условие полноты системы собственных функций зрмитова оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
