XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(7.29) т2 Й' 1 Йт) д2 1, 4яеот) г.2 Ъгп,(0, ср) = СР (сов В) е'~~, (7.30) каждая из которых определяется значением магнитного квантового числа т = О, ~1, х2,...,Ы. Входящий в выражение (7.30) для сферических функций сомножитель Рг (сов В) называют присоединенной функцией Лежандра т-го порядка. Эта специальная функция является ограниченным в точках 0 = 0 и В = я решением дифференциального уравнения 2 + 1(1+1) — — Ргш(совВ) = О, 0 < В < и. (7.31) в(п~ 0~ Здесь 1 = О, 1, 2,...; пг = О, 1,..., 1.
В теории специальных функций решение уравнения (7.28), удовлетворяющее условию ограниченности во всей области изменения угловых переменных и условию периодичности 1'(0, гр+ 2я) = У(В,гр) по циклической переменной ~о, называют сферическими или шаровыми функциями. Такие решения Ъг„,(0, ~р) существуют у уравнения (7.28) только при определенных собственных значениях параметра Л = 1(1 + 1), причем в квантовой теории атома водорода неотрицательное целое число 1 = О, 1, 2,...
называют азимутальным квантовым числом. Каждому значению 1 соответствует 21 + 1 сферических функций 237 7.3. Кваитовые состовиив атома водорода Если ввести новую переменную х = сояВ, то уравнение (7,31) можно записать для функции Р"'(х) в виде —," (--')"„Р1 + 2 + 1(1+1) — Р1~(х) =О, -1 < х < 1.
(7.32) Присоединенные функции Лежандра Р"'(х) выражаются через полиномы Лежандра Р1(х) по формуле ртв(х) = (1 — х2)~Ъ "т Р1(х) „1 < 1 Отсюда, в частности, находим Р~О(х) = Р1(х). Присоединенные функции Лежандра образуют ортогональную систему функций, т.е. +1 Р1™(х) Р~(х) Их = 0 при и Ф 1; — 1 +1 | 2 (1+ т)1 Р1~(х) Р1~(х) дх =— 21+ 1 (1 — пь)! Коэффициент С в формуле (7.30) можно выбрать равным чтобы сферические функции 1"1 (д, 1о) были ортонормирова; ны на поверхности шара, т.е. удовлетворяли условию | 1 (,Р) 1 (,Р) У О О е / 0 при 1 Ф1 или гп ~п1; ~ 1 при 1' =1 и тн'=т.
7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Приведем явные формулы для нескольких первых норми- рованных сферических функций: Найдем теперь решение дифференциального уравнения для радиальной части 1г(г) волновой функции. Полагая в уравнении (7.29) Л = 1 (1 + 1), где 1 = О, 1, 2,..., запишем его в виде г12Д 2 г1Л 2д ( е2 '1 1(1.» 1) — + — — + — ~Е+ — ~ В— В = О. (7.33) Ы г Йг 52 ~, 4яеет) г2 Перейдем в уравнении (7.33) к безразмерным величинам р = г(а, з = -Е/Иг (з > О), (7.34) выбрав в качестве характерного размера радиус первой боров- ской орбиты злектрона 4язод а = гге а в качестве характерной знергии — величину 1 е~ Л~ Иез Иг— (7.35) 2 4яеоа 2ра2 32гг2з2гг2' О Тогда уравнение (7.33) примет вид г12Я 2 г1Д /2 1(1+ 1)~ — + — — +(- — з— ) В = О.
(7.36) ,)Р2,.р г1Р ( Р 2 ) Решение уравнения (7.36) следует искать в форме произведения двух функций: гг(р) = е Д'и(р), )3 = ~/е. (7.37) ~3 уо,о = — , 'у1,о = )/— ~/4гг ' ' 1г' 4гг 1"з,о = (( — (3 ) 5 '7' 16 У2.г.2 = гг — ьйп де "'; 15 г Ыз, 'г' 32х сов 0; Уг ~г = ~ — гйпде )з 'г' 8я г' 15 Ы Уг.г.г = гуг — зшд созде Ч 8х Узд = ~ — созд(5соз 0 — 3), Г7 2 'з' 16я 239 Т.З. Квавтовые еоетояввя атома водорода Подставив В(р) из (7.37) в уравнение (7.36), находим уравнение для новой искомой функции и(р).
После несложных вычислений получаем И~и 2 аи (2(1 — ~3) 1(1 + Ц1 — +- — (1-М+ ~ ~ и = О. (7.38) 12 р ,2 Решение этого уравнения ищем в виде ряда и(р) = р ~~ аь р = ~ ал р + . (7.39) Для нахождения коэффициентов ряда аь подставим (7.39) в (7.38) и соберем члены с одинаковой степенью р. Такая под- становка дает (а~,+1((й+1+ 2) (й+1+ ц — 1(1+ ц) + я=О + ау,(2 — 213 (й+ 1+ ц) ) р = О. (7.40) Чтобы ряд (7.39) был решением уравнения (7.38) для любого значения р, коэффициенты при каждой степени р в уравнении (7.40) должны быть равны нулю, Это дает следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (7.39): 2р (Й + 1+ Ц вЂ” 2 (а+ 1+ 2) (к+ 1+ Ц вЂ” 1(1+ Ц "' (7 4ц Й = О, 1, 2,...
Однородность уравнения (7.38) позволяет первый коэффициент ао выбрать произвольным. Затем по формуле (7.4Ц вычислить а1, по а1 найти ао и т.д. Вычисляя таким образом все коэффициенты аь, получаем искомое решение уравнения (7.38) в виде ряда (7.39) по степеням р. 240 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Из (7.41) следует, что для достаточно больших значений й 2~3 связь между коэффициентами ряда имеет вид аь+1 - — аь.
Но й именно такая связь существует между коэффициентами ряда е~Р= ~) — р, М) ь й! А=О представляющего разложение в ряд Тейлора экспоненты е~ЕР. Следовательно, бесконечный ряд (7.39) с коэфФициентами, удовлетворяющими рекуррентным соотношениям (7.41), при достаточно больших значениях р ведет себя как функция е~"~'. Но тогда иэ (7.37) следует, что функция В(р) неограниченно растет при р -+ оо. Такое решение не может быть радиальной частью волновой функции, так как условие нормировки (7.27) для такой функции не выполнимо. Однако функция В(р) будет стремиться к нулю при р -+ оо, обеспечивая выполнение условия (7.27), если ряд (7.39) оборвется на каком-либо члене, т.е.
будет многочленом конеч- ной степени. Из соотношения (7.41) следует, что обрыв ряда (7.39) на номере п„произойдет, если 2,9(и„+1+ 1) — 2 = О. (7.42) Тогда все коэффициенты ряда (7.39) начиная с ап„+1 будут рав- ны нулю. Таким образом, соотношение (7,42) представляет собой не- обходимое и достаточное условие, при выполнении которого функция В(р), определяемая формулами (7.37) и (7.39), являет- ся радиальной частью волновой функции у1 электрона в атоме водорода.
Обозначим целое число и„+1+1 = и, назвав п„радиальным квантовым числом, а и — главным квантовым числом. Очевид- но, что и > 1+ 1, т.е. 1 < п — 1. Условие (7.42) теперь примет вид )Зп = 1 или е = 1/п2. С учетом соотношений (7.34) его можно записать как условие квантования полной энергии электрона в атоме водорода Еп = — —, в=1,2,... (7.43) ре 1 32 .2 232 в2' О 241 7.3. Кааятоамв ооотоялия атома водорода Полная энергия связанного электрона отрицательна и определяется значением главного квантового числа и.
Найденный энергетический спектр электрона в атоме водорода позволяет найти частоты ов„т оптического спектра водорода из соотношения Овоит = Еи Ет, и > ви. С учетом соотношения (7.43) получаем формулу Бальмера У'1 1~ 4 (7,44) 2 и2) ' З2 2 253' 0 Итак, радиальная часть волновой функции электрона в атоме водорода может быть записана в виде и, В„4(Р) =сопяФ р е а 2 аьр, (7.45) /с=0 где и„= и — (! + 1), и > ! + 1. Заметим, что выражение для Я !(Р) может быть записано и в форме 11 ( ) 1 Р -Я 12!+! Р (7.46) где Ьрв — обобщенные иоввиномы Чебышева -Лаеерра, которые являются многочленами р-й степени и определяются формулой 1в(х) х-в ех (хР+ве — т) 1 <Р р! Ыхр В частности, 1,в(х) = 1; Ц(х) = 1+ в — х, Для обобщенных полиномов Чебышева — Лагерра с целыми индексами р и в справедливы следующие интегральные соотношения: (р+ в)1 14(р, в) = ьрв(х) ьр(х)е *х в!х = 0 1в( )~в( ) -я в+1,! (р+ ). ( р+ + ) / Р Р р! 0 7, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 242 Коэффициенты А„~ в формуле (7.46) определим из условия нормировки радиальной части волновой функции Н~~(т) г~(Ь = 1 или Яв1(р) р 4р = —.
(7А7) О О Подставляя выражение (7.46) в (7А7), получаем ~„,,з 1 А', ~-~ 12( — 1 — 1, 21 + Ц = —. " 1,2( Отсюда (7.48) С учетом соотношений (7.46), (7.48) выпишем выражения для некоторых нормированных радиальных составляющих волновых функций: ~4 %1О(Р) =~ З е-Р; 1 ( й е В2О(р) = ~( — ~1- -/ с-'; )/ 2аз ~ 2/ В21(Р) =~ —,-е ', 1 р яя 2 21 3 3аз (, 3 27 ) НЗ2= Р е 2 -$ 81 30аэ Итак, окончательно квантовое состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией, зависящей от трех 7.4. Операторы физических величин в квантовой механике 243 квантовых чисел и, 1 и т, которые принимают следующие значения: и = 1, 2,...; 1 = О, 1,..., (и — 1); т = О, х1, ~2,..., Ы. Эта нормированная волновая функция найдена из решения уравнения Шредингера (7.26) и имеет вид Фп1т(г~ 0~ у) Р1 (сов й) е' р В 1(р).
(7.49) Здесь 2р е 21+1 2р 2 Р = — а = = 0,529 10 ем, 4яеел 1е 1ле2 Энергия электрона в квантовом состоянии зависит от значения главного квантового числа и и определяется формулой (7.43), которую после подстановки значений физических констант можно записать в виде Е„= -13,55/и эВ (1эВ= 2 =1,6 10 1~ Дж). Каждому значению энергии Е„соответствует и-1 ,'1 (21 + 1) = п2 различных квантовых состояний. 1ше 7.4. Операторы физических величин в квантовой механике В квантовой механике каждой физической величине 7 ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор Р, Соотношения между квантово-механическими операторами формально имеют ту же структуру, что и соотношения между физическими величинами в классической механике. Приведем выражения для операторов основных физических величин в квантовой механике, определяя операции, которые следует произвести над волновой функцией при действии на нее соответствующих операторов. 244 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
