XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(6.12) (6.13) Решение задачи (6.9) — (6.13) будем искать методом разделения переменных, находя частные решения вида и(х, у, 8) = и(х, у) Т(1). (6.14) Рассмотрим мембрану прямоугольной формы со сторонами 11 н 12, жестко закрепленную по периметру. Опишем процесс малых поперечных колебаний такой мембраны, инициированный начальным отклонением и начальной скоростью. Математическая модель процесса свободных колебаний такой мембраны имеет вид краевой задачи для функции и(х, у, 1), характеризующей отклонения различных злементов мембраны от положения равновесия.
Эта краевая задача включает в себя уравнение 6.2. Колебание нрямоугоньной мембраны 197 Подставляя решения (6.14) в уравнение (6.9), получаем 1 Тн Ь2н — — = — = — Л = сопв1. а2Т о (6.15) Отсюда следуют уравнение для функции Т(1) Тн(1) + а ЛТ = 0 (6.16) и задача на собственные значения < Ь2н+Ло =О, (х, у) Е й; и!г = О. (6.17) с Х'( )+ Х(х) =0; ~ ) +р1'(д) =0; Х(0) = Х(11) = О, ~ У(0) = У(12) = О, и ' (6.18) где и и р — собственные значения, связанные с Л соотношением и+р= Л. Для задач (6.18) наборы собственных значений и соответствующих им собственных функций имеют вид п7Гх Хн(х) = е1п— (6.19) 2 ргн= —, т=1,2,...; тяу уго(у) = в1п —. 12 Полагая о(х, р) = Х(х) У(у) и проведя еще раз разделение переменных, получим две идентичные задача Шгпурма— Януеи лл б.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 198 Но тогда задача на собственные значения (6.17) имеет в каче- стве собственных чисел 2 2 Лат — — — + —, и, т = 1, 2,..., (6.20) каждому из которых соответствует собственная функция пях , тзГу о „,(х у) = яп — в1п и (6.21) иат(х, у, 1) = (А„т сов ы„т4 + + Впт в1пыат1) е„т(х, у), (6.22) 2 2 гДе а1„т = а 1/Лат = ах — + Окончательно искомое решение краевой задачи (6.9) -(6.13) представим в виде суперпозиции частных решений вида (6.22), т,е. в виде двойного ряда и(х, у, 1) = ~ ~~> (А„т совы„~1+ и~1 т=1 пхх .
тку + В„т в1пш„т1) Яп — Яп —. (6.23) 11 12 Коэффициенты А„,„и В„т найдем, выполняя начальные усло- вия (6.10) и (6,11): 6(х, у) = ~~> Е пхх, тку А в1п — яп— ат 2 пих, тку д(х, у) = ~~> ~~> ы„т В в1п — в!и —. в=1 т=1 11 12 Теперь с учетом (6.16) находим частные решения уравнения (6.9), удовлетворяющие граничным условиям (6.12), (6.13): 6.2. Коаебаяяя пряиоугояьяой ыеыбраяы 199 Эти равенства следует рассматривать как разложения функций 11(х, у) и д(х, у) в двойные тригонометрические ряДы ФУРье. ПоэтомУ ДлЯ коэффиЦиентов Апт и Впбп полУчаем 11 1г 4 Г 1 югх . тку Апт = — / / й(х, у) згп — згп — г(хну; О О 11 12 4 1 Г .
пях, тггу Впт = ( / д(х, У) Згц — Згц — МХА. 66гпт6162 61 62 О О (6.24) Проведем анализ решения (6,23), преобразовав его к виду и(х, у, 1) = ~~ ~~1 ип„п(х, у, 1) = п=г т=1 пах, тку = ~~1 ~~1 ггпт соз(огпт1 — опт) ьйп — ьйп —. 61 62 п=1 т=1 (6.25) Здесь = д'А6;В6, 666 =В 1А .
16.261 Решение (6.25), (6.26), описывающее свободные колебания мембраны, представлено как сумма двумерных стоячих волн ипт(х, у, 1) с амплитудами ггпт и собственными частотами ог„т. Пространственные профили формы этих стоячих волн определяются собственными функциями ип,(х, у). При этом геометрическое место точек иа мембране, в которых собственные функции обращаются в нуль, называют узловыми линиями собственных форм колебаний.
Из выражений (6.24) следует, что при специальной форме НаЧаЛЬНЫХ ВОЗМущЕНИй Ь(Х, у) И д(Х, у), КОГда Апт И Впбп НЕ равны нулю только при и = п1 и т = т1, можно возбудить колебания в мембране в виде отдельной стоячей волны о1пгтг. В общем же случае возбуждается множество таких стоячих волн с разными частотами колебаний. Интерференция этих стоячих волн приводит к сложной картине колебаний мембраны. гоо 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 6.3. Колебания круглой мембраны Математическая модель свободных колебаний круглой мембраны радиуса го с закрепленным краем имеет вид следующей краевой задачи для определения поперечного смещения и(т, ~р, г) мембраны: 1 дги 1 д ~ диЛ 1 дги — — = — — ~г — ) + — —, г > О, (г, гр) Е С; (6.27) а2 д12 т дт 'Л дт) г2 д,р2' и(г, ~р, 0) = Ь(г, гр), ' ' = а(г, гр), ди(г, гр, 0) д1 и(ге, ср, Г) = О, и(т, ср, С) = и(г, гр+ 2я, Г).
(6.28) (6.29) и(т, гр, г) = и(г, 1р)Т(г), после разделения переменных получаем уравнение для функции Т(г) Т"(1) + сг~Л Т(1) = 0 (6.30) и следующую задачу на собственные значения для функции и(т, <р): 1 д / ди'1 1 дге — — ~г — )+ — — +Ли=О; г дг дт тг дгрг и(го, ср) = О, (и(0, гр)( < оо; и(т, ср) = и(г, аг+ 2я): (6.31) Представив и(т,гр) в виде е(г, гр) = В(г) Ф(~р), Здесь 0 = ((г, ~р): О < т < го, 0 < гр < гя1; Цг, ~р) и у(г, ~р)— заданные смещения и скорость различных участков мембраны в начальный момент времени соответственно. Так как точка г = 0 является особой точкой уравнения (6.27), то следует потребовать также ограниченности функции и в этой точке в любой момент времени.
Представляя частное решение уравнения (6.27) в виде 6.6. Колебания круглой мембраны 201 приходим к задаче Штурма — Лиувиллл с условием периодично- сти н Фн(у) + и~Ф(у) = 0; Ф(у) = Ф(~р+ 2я), которая имеет нетривиальное решение только при р2 = п~, где и — целое число. Этим собственным значениям соответствуют собственные функции вида Фп(р) =ап ожпу+бп я1ппр. (6.32) Для определения функции В(г) получаем уравнение ~2В 1 В г 2~~ — +- — + ~Л вЂ” — ~В=О, ,(гг „~„~ г2) (6.33) которое следует решать с граничными условиями В(го) = О, )В(О)) < оо. (6.34) 1, / п2Л д +-д+~1 — — у=О, х Л х2) общее решение которого у(х) = А Г„(х) + В М„(х) (6.35) содержит линейно независимые функции Бесселя Д,(х) и Неймана Фп(х) и-го порядка.
Так как функция Неймана Ип(х) неограниченно возрастает по модулю при х -> О, из условия ограниченности в нуле функции у константу В в решении (6.35) следует положить равной нулю. Если ввести новую переменную х = ~/Л г, то для функции у(х) = = В(х/~Д) получим дифференциальное уравнение Бесселя и-го порядка б. ВОЛНОВОЕ УРА ВНЕНИЕ гог Теперь, выполняя краевое условие у(хо) = О, где хо = = ~ГЛго, получаем трансцендентное уравнение Л,(Лго) =0 для определения собственных значений Л задачи (6.31). Если через рщ обозначить т-й корень уравнения Д,(р) = О, то 2 л„ Рты 0 (6.36) п = О, 1, 2,...; т = 1, 2,... Некоторые значения корней,ии1и уравнения Д,(р) = 0 приведе- ны в таблице. Значения рот /р г1 нищ(г, у) = Я, — сози~р, и = 0> 1, 2,...; 0 /р„„ит ~ о(г, у) = Д,~ ) з(птмр, и = 1, 2,..., О Каждому собственному значению Ли,и из (6.36) при и > 0 соответствуют две линейно независимые собственые функции задачи (6.31): 203 6.3. Колеоавкл круглой мемсракы для которых справедливы следующие условия ортогональности: 2»т го | о„~(г, ~р) с„~ (г, »р) г Иг Жр = о о < I 0 при пФп или тп~тп~; !!с„„,!! при и = и и тп = тп; »р) с„,а (г, »р) г Нг тйр = 2л го ! ~~ в ~ 1 о„о» (г, с т ) и„»,а (г, »р) т' еЬ' Жр = О.
о о Здесь ге т 2 (2 о=О; !!е !! = — ' ! 4(р )! 2 " ' (1п>О „г !!2 го ! 7т( ))2 Определив спектр собственных значений Л„о», запишем теперь общее решение уравнения (6.30): Тт»таЯ = А„о» совет»те»$+ В»то» е1пот„о»~, (6.37) атт,ц„ где отт»о» = а»тЛ»»о» = — — собственные частоты колебаний гО круглой мембраны с закрепленным краем. Таким образом, частные решения уравнения (6.27), удовлетворяющие условиям (6.29), имеют вид пот(г»»р» ~) = сао»(г»»р) (А»»та сова»»»т»»г + В»»о» ещот»»„Д + + с„о»(г»»р) (С„о» совет»»о»Г+ лу„е» втпьтт»т»»1). г го сво»(~ » о о 0 при пфп~ или тих та~; !!сов»!! при и = и' и тп = тп; 204 б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Взяв суперпоэицию таких решений: и(г, ~р, 1) = ~ ~ ипт(г 9» 1) = ппО п1=1 = ~~1, ~~~, опт(1; ~Р) (Апт созыв,в1+ Впт ошыпт1)+ в=О т=1 + ~~~ ~~) евт(г, 1о) (Спт сооып 1+ Впт о1пыпт2), (6.38) п=О т=1 выбором коэффициентов Апт, Впт, Спт и Эвт можно удовлетворить начальным условиям (6.28), которые примут форму равенств Цг1 ~Р) = "1 ~~' (Аптйпт(г, (Р) + СвтФвт(г, У)); (6.39) п=О т=1 Д(г1 'Р) = ~~> У, ыпт(Впт опт(г~ ~0) +.Опте(г, ф)).
(6.40) п=о Умножив (6.39) и (6.40) на йпт(г, оо) и опт(г, ~р) и проинтегрировав полученные соотношения по области С, с учетом Условий оРтогональности Длл епт(г, 1о) и опт(г, оо) полУчим: 2п го | ~1(г, Ф) Опт(г, оо) гав( 1(Оо = Атв ~~впту~; О О 2п го | п(г, ~р) ип„,(г, ~р) гагар = Спт ИвптИ~; О О 2о го | 9(г1 Р) ™пт(г, Р) г юг о0Р = ыпт Впп1! !Опт П~; О О 2п го | ~р ~~г О О 6.4. Волновое уравнение л'ы алектромагнитнвтх волн 205 Отсюда находим значения коэффициентов 2тт го 1 Авто = 2 / / й(г, у) онт(г, ~р) ганг тйр; Ионвт~! О О 2л го 1 В = 2 / ( 9(г, от)о„,„(г, Ягт1гтйр; ытнн )О'оптл) ) О О 2тг го 1 Сн — ~ ( Ь(г, ~Р)о„т„(г, Р)гт1гтйр; 2н го 1 Г р / ~ д(г, <р)он~(г, ф)гт1гт$4т, .
))=.. ))2l I О О при которых формула (6.38) определяет решение и(г, ~р, 1) задачи (6.27) — (6.29) о колебаниях круглой мембраны с закрепленным краем. 6.4. Волновое уравнение для электромагнитных волн Электромагнитное поле характеризуется напрнженностями л~ (х, у, г, 1) электрического и Ф(х, у, н, 1) магнитного полей. В средах, обладающих диэлектрической с и магнитной р проницаемостями, для описания электромагнитного поля можно ввести также вектор электрического смещения 3 = ссохт' и вектор магнитной индукции тз = роост'. Здесь сО и ров электрическая и магнитная постоянные в единицах СИ. Уравнения электромагнитного поля в проводящей среде, удельная заектропроводность (проводимость) которой равна о, 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ в отсутствие объемньсх электрических зарядов и стороннихто- ков соответствуют четырем 1гравкеиилм Масссвелла," с1сг11 = О; с11г г1 = О; дМ гоФВ = — —; дг гоФФ = ссЕ~~+ —.
дд11 дФ (6.41) д гоФ гоФ а' = -рва — (гоФ гс); дг д гоФ гоФ Н = сг гоФ Я + еее — (гоФ а1). дг (6.42) Используя формулу векторного анализа гоФ гоФ а~ = ягвс1 с11х а~— — Ь а~ [ ЧП ), из уравнений (6.42) с учетом уравнений (6.41) получаем дМ д2М ЮРО д + ее01сР0 д12 (6.43) сзгс = сгсиссе + сгесисса дг дФ2 ' Из выражений (6.43) следует, что каждая из шести компонент напряженностей электрического и магнитного полей удовлетво- ряет уравнению д2и ди Ьи= — — +6 —, а2 дФ2 дФ' (6.44) гДе а = с/,/асс; с = 1/с/есьйо = 3 10 м/с; Ь = ссссиа.
УРавнение (6.44) называют многомерным телеграфным уравнением. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением однородных сред с постоянными е, сс и сг, причем вакуум будет соответствовать случаю е = сс = 1 и сс = О. Применив к третьему и четвертому уравнениям (6.41) операцию ротора„получим боь Волновое уравненне длн аеенхромагннхных волн 207 В непроводящей среде (о = 0) формулы (6.43) принимают вид ЬМ = — — или 0 Е~ = 0; фф — е2 у~2 д272 ЬЙ= —,—, 01=О, (6.45) д2 где 0 = Π— — — — оператор Даламбера. н2 д22 Таким образом, для каждой компоненты электромагнитного поля в непроводящей среде получено волновое уравнение 1 д2п Ьи = —, или 0и = О. а2 дР' (6.46) и(х, с) = иц сов(<о2 — йх), ш/й = а или в комплексной форме (и = Н.ей) -2(ол — йх) Здесь величина а = и/й = с/ /бр представляет собой фазовую скорость электромагнитной волны в идеальном изоляторе.
В проводящей среде (а ~ О) непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнение (6.44) имеет решение в виде затухающей волны (Х ~) = ПОЕ-7ХЕ-1("П-~3х) (6.47) Подставляя решение (6.47) в уравнение (6.44), получаем (6.48) 7=~о Как было показано в 1.2, в случае зависимости и от одной пространственной координаты х, уравнение (6.46) имеет решение в виде плоской монохроматической волны б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Таким образом, проводимость среды приводит к затуханию электромагнитной волны и к изменению ее фвзовой скорости распространения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
