XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если нарушение нейтральности под действием электрического поля происходит в малой по размерам области пространства, то ионизированный газ называют плазмой. Это означает, 158 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА что для плазмы выполняется условие квазинейтральности в~ь= УР, где Ь вЂ” характерный размер области, занятой плазмой; объем этой области. Теперь с помощью полученных соотношений для электрического поля в плазме рассчитаем вклад во внутреннюю энергию плазмы энергии электрического взаимодействия заряженных частиц. Для этого будем считать, что каждая заряженная частица в плазме окружена дебаевским "облаком" частиц с противоположным знаком заряда. Тогда среднюю электрическую энергию заряженных частиц в единице объема однократно ионизированной плазмы можно рассчитать по формуле 1 1 (И'з) = — ~~>,41 е(1) = — [+де(+)пе — 4е(-)по] (4 52) 2, ' 2 $ Здесь суммирование проводится по всем заряженным частицам плазмы в единице объема, е(г) — потенциал, создаваемый заряженными частицами дебаевского "облака" в точке, где находится заряд д;.
Из уравнения (4.49) находим и(+) =— о 4яго12 е(-) =+ Ч 4яго.~: Теперь из формулы (4.52) получим выражение для энергии электрического взаимодействия заряженных частиц в единице объема плазмы: (14з) = ~/ одЗ ) 2по (4.53) 4яео 1аойТ Отрицательный знак этой энергии означает преобладание сил электрического притяжения между заряженными частицами плазмы, поскольку каждый заряд в плазме окружен "облаком" зарядов противоположного знака. 159 Вопросы и задачи Вопросы и задачи 4.1.
Покажите, что функция комплексного переменного л — а Ш= л — а' отображает верхнюю полуплоскость на круг. Чему равен радиус В этого круга? Ответ: В = 1. 4.2. В какую область переходит единичный круг с центром в точке л = О при конформном отображении л — а О<и < 1 — а'л Оп<вв<а: В круг единичного радиуса. 4.3. Постройте семейство зквипотенциальных линий злектростатиче.
1 ского поля, задаваемого комплексным потенциалом 1(л) = —. Оп<ее<а: Это семейство окружностей с центрами на оси Ор, которые про- ходят <срез начало координат и касаются оси х. 4.4. Используя уравяение (4.24), вычислите норму полиномов Лежандра Р„(т).
4.5. Оцените дебаевский радиус зкранирования при температуре Т = 10" К для однократно ионизированного газа с концентрацией заряженных частиц пв —— 10 з м Ответ: О = 1,5. 10 з и. 5. МАТЕМАТИ'ЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА 5.1. Моделирование диффузионных процессов переноса в движущихся средах К диффузионным процессам переноса относятся такие процессы, в которых возникновение потоков энергии или массы не связано с макроскопическим движением среды, а обусловлено микроскопическим движением частиц (молекул), участвующих в тепловом хаотическом движении. К таким процессам, в частности, относятся диффузия, сопровождающаяся переносом массы, и теплопроводность, обусловливающая перенос энергии.
В движущихся средах эти процессы следует рассматривать с учетом конвективного переноса энергии или массы. В основе математических моделей диффузионных процессов переноса лежат фундаментальные законы сохранения энергии и массы, которые для произвольного неподвижного относительно выбранной системы координат объема У, окруженного замкнутой поверхностью Я, можно записать в интегральной форме: Здесь д — объемная плотность энергии или массы; 11 — плотность потока энергии или массы; 7~(М, 1) — объемная плотность внутренних источников энергии или массы. Соотношение (5.1) в математической форме утверждает, что причиной изменения интегральной энергии (массы) в объеме У являются потоки энергии (массы) через поверхность Я, окружающую объем У, а также процессы генерации или поглощения энергии (массы) за счет источников внутри объема У.
Учитывая независимость области интегрирования в (5.1) от времени 1, внесем производную по времени под знак интеграла. Кроме того, по формуле Остроградского преобразуем поверхностный интеграл в объемный, записав поток через по- 5.1. Л!оделироваиие в движущихся средах верхность о' как ~хи=фа,яа. Тогда закон сохранения (5.1) примет вид Ц( ( — д ~- а л — в~и, О) а = о. У В силу произвольности выбранного объема У получаем закон сохранения энергии или массы в дифференциальной форме: — =-йч|1+ЦМ, 1).
ад д1 (5.2) — + йч(д в') = — йч Г1д+ Р(М, 1). (5.3) дд Для несжимаемой среды вектор скорости е~ удовлетворяет условию йч в~ = О. Поэтому йч(де~) = дйч В + и~рЫд = е~ягас(д, а дифференциальный закон сохранения энергии или массы в движущейся несжимаемой среде можно записать в виде уравнения — + е~цгадд = — йч Г~д+ Р(М, 1). дд (5.4) Процесс теплопроводности. Пусть и(М, 1) - температура среды. д = д(и) — объемная плотность внутренней энергии. Если описывать диффузионный процесс переноса в движущейся среде, вектор скорости в~(М, 1) которой в каждой точке пространства считать известным, то плотность потока энергии (массы) Г1 = Г1д + Г1к будет содержать кроме диффузионной составляющей Г1 д также и конвективную составляющую Г1и ех де~, связанную с переносом энергии или массы вместе с движущейся средой.
Тогда с учетом макроскопического движения среды уравнение (5.2) примет вид 162 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Тогда дд с1д ди ди ди — = — — = с — = рс— Ж йю дг дг дг Ыд дгаг) д = — бгаб и = с 8гаг) и = рс бгаб и. аи Здесь с и с — соответственно объемная и массовая удельные теплоемкости среды; р — ее плотность. Физический закон Фурье утверждает, что в изотропной среде с коэффициентом теплопроводности Й тепловой поток пропорционален градиенту температуры, т.е. Пл = -Йбгаг1и. Тогда уравнение (5.4) примет вид рс ~ — + е~бгаг(и = Йч(йбгвг(и) + Р(М, 1). (5,5) _#_ди ~дг Для однородной среды с постоянными теплофизическими харак- теристиками р, с и Й уравнение (5.5) запишется в форме — + е' бгаг( и = а Ь и + 1(М, г), ди 2 дг (5.6) где а = й/(рс) — коэффициент температуропроводности среды; Ь вЂ” оператор Лапласа; ~(М, г) = (рс) 1 г'(М, г).
Уравнения (5.5) и (5.6) называют дифференциальными уравнениями нестационарной теплопроводности в несжимаемых движущихся средах. Для неподвижной среды е~ = О, и из (5.6) получаем уравнение тсплопроводиости — =а Ьи+ДМ,1), ди 2 дс (5.7) которое обобщает уравнение (2.8) на случай трех пространственных переменных. Процесс диффузии. Бели и(М, г) — абсолютная концентрация диффундирующего вещества, то д = и, а диффузионный поток массы определяется законом Фика: Пд — — — Рбгаби, где Р— коэффициент диффузии. 163 а.2. Краеаые задачи астыааюи иагретых тел Тогда из закона сохранения массы (5.4) получаем нестационарное уравнение диффузии в движущейся среде ди — + в~бгЫи=г)ге(Р8гЫи)+г(М, г). (5.8) дг Для постоянного коэффициента диффузии Р = сопя$, уравнение (5.8) примет вид ди — + ~8габи = РЬи+ Г(М, г).
(5.9) Из выражения (5.9) следует, что в неподвижной среде процесс диффузии описывается уравнением — = РЬи+ Г(М, г), ди (5.10) аналогичным уравнению теплопроводности (5.7). 5.2. Краевые задачи остывання нагретых тел Одним из важных классов нестационарных задач теплопроводности являются задачи остывания нагретых тел. В этих задачах изучают эволюцию температурного поля в ограниченном теле, занимающем некоторую область пространства й С Я, если в момент времени г = 0 задано начальное распределение температуры в теле, а температуру граничной поверхности тела Е при г > 0 поддерживают постоянной.
Без ограничения общности температуру поверхности тела можно выбрать равной нулю. Из физической постановки такой задачи следует, что в отсутствие объемных тепловых источников будет происходить остывание тела, т.е. и(М, г) -+ 0 при г -~ оо в любой точке М Е й = й Ц Е. Характерное время остывания должно зависеть от формы тела, его размеров и теплофизических характеристик материала. Математическая модель процесса остывания тела из однородного материала, основанная на уравнении теплопроводности (5.7) при ~ и О, может быть записана в виде следующей краевой задачи для нахождения температурного поля и(М, 1) в 164 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
