XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Представив зто преобразование через действительные и мнимые части х+ (у = йсЬ(ф+(~р) и воспользовавшись формулой сЬ (ф + 1~о) = сЬф сов ~р+ гвЬф вшу, находим (4.10) х = ЙсЬф сов р; у = ЙвЬф в1п р. Отсюда х . у сов ~р = —; вш у = —. йсьф' йвЬф Возведя зти выражения в квадрат и сложив полученные выражения, приходим к уравнению для силовой линии электростатического поля в плоскости (х, у): х2 2 — 1 )е2 сЬ 2ф /с2 вЬ 2ф Это уравнение есть уравнение эллипса с фокусным расстоянием вЬф =,; сЬу = —, у х и в(пу' )е сову' получаем после возведения в квадрат и вычитания уравнение для зквипотенциальных линий в плоскости (х, у): В сов2~о ь2 в(п2„ Различным значениям ф соответствует система конфоквльных эллипсов. Разрешая выражения (4.10) относительно вЬф и сЬ ф: 140 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА Это уравнение для различных значений <р описывает семейство конфокальных гипербол. ф Таким образом, с помощью конформного отображения (4,9) можно аналитически описать следующие электростатические поля: а) поле двух разноименно заряженных проводящих полу- плоскостей, лежащих в одной плоскости и отстоящих одна от другой на некотором расстоянии (рис.
4.2). Такая конфигурация электродов представляет собой простейшую модель электростатической линзы; Рис, 4.2 б) поле бесконечно протяженной-заряженной проводящей ленты (рис. 4.3). Для такого сопряженного электростатического поля можно считать, что второй цилиндрический электрод, имеющий нулевой потенциал, находится на достаточно большом расстоянии, Рис. 4.3 аь Применение нонформных отображений 141 Пример 4.2. Рассчитаем поле вблизи края полубесконечного конденсатора, пластины которого (электроды), имеющие потенциалы ~$', представляют собой две полуплоскости, расположенные одна над другой на расстоянии 2И (рис.
4.4, а). Рис. 4.4 Для этого покажем, что конформное преобразование и = = /(я), задаваемое неявной зависимостью н= — еР +™+1 (4.11) е(/ л2 х = — ~е е сов — + — +1 е( / л$, ~пр ~пр1 у = — ~е л в1п — + — ~. 1/ (4.12) Так как при у = +У Н/ л~ лф я= — ~-е к + — +1, а у=+Н, отображает полубесконечные электроды в плоскости (и, у) на прямые линии ~р = +У и у = -'е' плоскости (ф, ~р), преобразуя при этом поле полуограниченного конденсатора в однородное поле неограниченного плоского конденсатора (рис. 4.4, б). Действительно, полагая н = х + г р и и = ф + 1 р, из уравнения (4,11) находим 142 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА то, двигаясь на плоскости (гР, <р) по прямой ~о = +1г в сторону возрастания Ф от — оо до +со, на плоскости (х, у) мы дважды пройдем луч (х < О, у = +г11: сначала от А к В, а затем в противоположном направлении от В к С (см.
рис. 4.4). Аналогично, прямая гР = — У на плоскости (ф, гР) отображается в луч (х < О, у = -г1) на плоскости (х, у). 9 С помощью зависимостей (4.11) и (4.12) перейдем к исследованию поля полуограниченного плоского конденсатора. В частности, из соотношений (4.12) следует, что при достаточно больших отрицательных значениях ф, когда ф -+ — со, х - — гР, и поэтому силовые линии ф = сопа$ на плоскости (х, у) внутри конденсатора вдали от края представляют собой прямые линии х = сопас, перпендикулярные электродам. Физически это означает, что внутри конденсатора вдали от края электрическое поле является однородным.
Для достаточно больших положительных значений 4г, когда гР -+ +со, т.е. вне конденсатора вдали от его края, иэ (4.12) получаем р~г х=-е и соа —; я яу г~я у — е к а!и —. У' Из этих соотношений следует, что 2 2 х+у = —,е °, т.е. вне конденсатора на достаточно большом расстоянии от края силовые линии (гР = сопа$) по форме близки к окружностям с центром в точке (О, О) на плоскости (х, у). Для исследования напряженности электрического поля В найдем производную — — — — еУ + — = — е7 +1 4.
К Применение конформнык отображений 143 Отсюда На оси конденсатора 1р = О, поэтому в = ф и (4.13) Е= 1+е ~ где Ео = У/Й вЂ” напряженность поля неограниченного плоского конденсатора. Проследим изменение напряженности полл Е = Е(х), двигаясь вдоль оси конденсатора у = 0 (рис. 4.5). Из формулы (4.13) следует, что внутри конденсатора (лф/1' <( — 1), т.е. далеко от края, Е = Ео.
Это также подтверждает вывод о том, что внутри конденсатора можно пренебречь краевым эффектом и считать поле однородным, как и для неограниченного конденсатора. 0 х Рно. 4.6 Силовая линия ф = 0 пересекает ось конденсатора у = 0 в 2 точке х = х,, где х, = — И - 0,640. В этой точке Е = О, 5Ео, 7Г т.е. напряженность электрического поля убывает вдвое.
Вне конденсатора, там где ф принимает большие положительные значения, из формул (4,12) можно найти связь между ф и х для у = 0 (у = 0) в виде е1 л х= — ек »вЂ” 144 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА С учетом этого из выражения (4.13) получаем Н е = Лев 7ГХ Это соотношение показывает, что вне конденсатора вдали от его края напряженность электрического поля по модулю убывает обратно пропорционально расстоянию до края конденсатора. 4.2, Мультипольное разложение потенциала Пусть система неподвижных электрических зарядов, т.е. некоторое заряженное тело, занимает ограниченный объем в некоторой области пространства Й, а распределение электрического заряда в теле задано объемной плотностью заряда р(Ю), Ф Е Й.
Введем систему координат с началом в точке О внутри Й и обозначим через г~ радиус-вектор точки Ф, а через г1 радиус-вектор, определяющий положение некоторой точки М вне заряженного тела (рис. 4.6). Рис. 4.6 Найдем потенциал электростатического поля в точке М, считая, что Я )) г, т.е. на достаточно большом расстоянии от заряженного тела. Как было показано в 3.4, потенциал ~р в точке М можно выразить в виде объемного потенциала: 4.2.
Мультипольпое риелогпеиие потеипиеле 145 Учитывая, что точка М выбрана так, что В >) г., представим (о(М) в виде разложения по степеням 1/В: (и) (О) (1) (2) (о(М) = ~ — + + +... (4. 15) 4яяе ~ В" +' 4ггяеВ 4яя0В2 4ггяоВЗ п=е -у — — — — — )В~+ тт — 2Втсояд~ гл =В ~(1+5~ — 25х) 1 — ~! Разложим выражение в круглых скобках в правой части этого равенства в степенной ряд по малому параметру 5: (1 — 52 — 25х) ~/2 = Е Р„(х) Р. Коэффициенты этого ряда Тейлора определяются известным соотношением Р„(х) = †, †„ (1 + 5 — 2бх) 1д" 2 1 пг д5п о=о Непосредственным вычислением устанавливаем, что Р„(х) при гг = О, 1, 2,... являются полиномами и -й степени.
В частности, Р1(х) = х, Р2(х) = -х — —. (4.16) 3 2 1 2 2 Ре(х) = 11 Такое разложение потенциала назовем разложением по мультиполям, а каждый коэффициент г((п) этого разложения— электрическим моментом гг-го порядка данной системы зарядов заряженного тела. Физически такое разложение соответствует воэможности представления электрического поля любого заряженного тела на больших расстояниях от него в виде поля точечного заряда, описываемого первым членом в разложении (4.15).
Определим коэффициенты д(п) разложения (4.15). Для этого введем угол д = (т', 2) между векторами т~ и т( и малый параметр задачи Б = т/В. Если обозначить х = соя(1, то по теореме косинусов можно записать 146 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА Таким образом, 00 и 1 ° и = — ~~> Ри(х) Б~ = — ~ Ри(сов В) 1 — ~ (4.17) и, используя уравнения (4.14), для мнльгпинольноео раэ.ао- жени* потенциала получаем д(0) д(1) д(2) д(и) 4ясоВ 4яеоВ~ 4иеоВэ 4яеойи+' Здесь д(О) = рду — полныи заряд системы; о (1) й — р г сов В нУ вЂ” дипольный момент системы зарядов; д (2) й г „2 / — (3 сов~  — 1) Л' — квадрупольный момент системы !~ 2 й зарядов; д(") = рси Ри(соя В) <Л' — электрический момент й и -го порядка.
Определим теперь дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет полипом Ри(х). Для этого используем тот факт, что 1 1 (1Г- Рэ( гмн является фундаментальным решением уравнения Лапласа, тль (4.19) "~,ДГ:=:~~~ где Ьн — оператор Лапласа по координатам точки Ж. -1 Подставив выражение для ф — г'( из уравнения (4.17) в (4.19), запишем полученное выражение в виде СО Е 1 Лх(ри(Соя В) ги]) = О. (4.20) и=о 4,2. Мультиполеное разложение потеыпиеле 147 Так как это равенство справедливо для любых значений В, то из него следует сь~ь7(Рп(сов В) г"] = О. (4,21) Выбрав сферическую систему координат с центром в точке О и направив полярную ось в направлении ть, запишем уравнение (4.21) в этой системе координат — — — в)+ Учитывая, что 2 е(~ и — 2 — — ~г — ~ = ть (и+ 1) т" ,2 ь(, (~ преобразуем (4.22) к виду ( +1)Р.(-~в)+ 1 ь( /, ь(Рьь(сов В) 'ь + —, — ~е1ььВ ' ) = О.
(4.23) в1пВ ььВ ~, ь1В Это уравнение должно выполняться для любого т ~ О. Поэтому, возвращаясь к обозначениям х = сов В, 1 — х = е1п В, ььх = — е1пВььВ, запишем уравнение (4.23) для переменного х Е ( — 1, +1) в дифференциальном виде — ~(1 — х ) ~ +п(ть+ 1) Рп(х) = О. (4.24) ььР„(х) Их ~ ь1х Это уравнение называют нрпвненнеле Льезьсандра, а его решения Р„(х) для и = О, 1, 2,... — полиномами Лежандра. Для полиномов Лежандра справедлива рекуррентная формула (и+ 1) Рп+ь(х) — (2и+ 1) хР„(х) +иРп 2(х) = О, 148 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА которая связывает три последовательных полинома Лежандра.
По этой формуле можно вычислить полипом Лежандра любой степени по первым двум, которые определены формулами (4.16). 4.3. Расчет поля электростатического подвеса Одним из возможных технических решений проблемы уменьшения трения в гироскопических системах является использование электростатического поля для компенсации силы тяжести. Такие системы называют гироскопами с электростатическим подвесом. Простейшая модель такого гироскопа представляет собой проводящий шар радиуса т1 (ротор гироскопа), который находится в поле двух полусферических электродов радиусов г2, разделенных между собой узким промежутком и имеющих потенциалы +):е и -Ц> (рис. 4.7).
Рис. 4.7 Расчет электростатического поля в зазоре между шаром и электродами г1 < г < г2 проведем для случая, когда центры шара и электродов совпадают и потенциал шара равен нулю (незаряженный шар). В этом случае нахождение потенциала 4.3. Расчет поля электростатического подаеса 149 ~о = ~р(т, В) электростатического поля в зазоре сводится к решению краевой задачи для уравнения Лапласа, которая с учетом осевой симметрии поля может быть записана в следующем виде: т1<т<т2, 0<В<я; р(т, в) = о; (4.26) + 1'о, О < В < 2' р(т2, В) = цВ) = 2 (4.27) — к, — '<в< .
2 Используя метод разделения переменных, когда у(т, В) = В(т) Ф(В), получаем тс(т) Ф(В) Отсюда для нахождения функций В(т) и Ф(В) получаем уравне- ния 1 Н /, дФ'1 — — ~я1п — ~+ЛФ=О. в1пВ НВ 1, дВ,~ (4.29) (4.3о) Если в уравнении (4.30) сделать замену переменного сов В = х и положить Ф(В) = Х(х), то оно примет вид 2 — — ~(1 — х ) — ~ = ЛХ, — 1 < х <+1. (4.31) дх ~ пх ~ Задача отыскания ограниченного решения уравнения (4.31), удовлетворяющего условиям (Х(~1)) < оо, соответствует задаче Штурма — Лиуеиллц рассмотренной в Приложении 2. Эта 150 4 УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА задача имеет нетривиальные решения Хп(х) лишь при Л = Лп = = и (п+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
