XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1 Отпеел: и(х, 1) = — Ф вЂ” — Ф вЂ” , где Ф(л) = — е 1 Ис е — интеграл ошибок, 3. ~РАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИе1ЕСКОГО ТИПА 3.1. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа Потенпиаяьное движение несжимаемой жидкости. Пусть жидкость движется со скоростью е~ = е~(х, у, х, г). Рассмотрим некоторый произвольный фиксированный объем Ъ' жидкости, ограниченный поверхностью о'. Масса гп жидкости, заключенной в этом объеме, связана с плотностью р(х, у, г, 1) со- отношением ти = р(х, у, г, ~) ЫК (3.1) йп й ЯР о и' ~1~г а У Я (3.2) где М вЂ” внешняя нормаль к о.
Тогда из уравнений (3.1) и (3.2) получаем — с(у' = — р э' М Ыо'. (З.З) Преобразуя поверхностный интеграл по формуле Остроградского, запишем формулу (3.3) в виде — + 6Ы р о сЛ~ = О. Отсюда в силу произвольности выделенного объема У следует — +Йчр е~ =О. др д1 Эта масса может изменяться за счет потока жидкости через поверхность о', причем 98 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Это уравнение называют уравнением неразрывности сплошной среды.
Для несжимаемой жидкости плотность р = = сопзс, и из уравнения неразрывности следует, что 61 Н=о. (3.4) Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидкости, для которого е~ = е~(х, у, г). Если это течение безвихревое, то существует потенциал скоростей и(х, у, г), такой, что (3.5) Подставив выражение (3.5) в (3.4), получим Йу8таои = О, или т.е. потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа. Уравнение потенциала электростатического поля. Электрическое поле в среде с диэлектрической ппоницаемостью характеризуют напряженностью этого поля Ю(х, у, г). Запишем теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме (3.6) Здесь ео — электрическая постоянная в системе СИ; р(х, у, г)— объемная плотность электрических зарядов; У вЂ” некоторый объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностью о.
С помощью теоремы Остроградского соотношение (3.6) преобразуем к дифференциальной форме ЗЗ. Задачи длн уравнений эллиптического типа 99 Учитывая связь х~ = -8гас1 и напряженности поля с потенциалом и(х, у, х) этого поля, иэ (3.7) получим уравнение для потенциала электростатического поля Ьи = — У, У = Дх, у, х) = ' ' . (3.8) р(х, у, х) е0 Неоднородное уравнение (3.8), где 7"(х, у, х) — заданная функция, называют уравненпеде Пуассона. Уравнение магнитостатического поля. Если в среде с постоянной магнитной проницаемостью напряженность Й (х, у, х) магнитного поля не зависит от времени, то для этого поля имеют место следующие уравнения магнитостатики: йчХ( = О; гоСФ= у, (3.9) -+ где у (х, у, х) — плотность тока проводимости. Введем векторный потенциал А(х, у, х), связанный с напряженностью Ф(х, у, х) соотношением Ф = гоС лС с дополнительным условием калибровки векторного потенциала йу М = = О.
В этом случае первое из уравнений (3.9) выполняется тождественно, так как йч Ф = йу гоС А: — О, а из второго нахо- дим -Ф гоСгоС л = э . (3АО) ллАи — -Ь(х, у, х); или ЬАу — — — уу(х, у, х); ЬАл = — Сл(х, у, х). ~СА=-у, По известной формуле векторного анализа гоС гоС А = = 8гад йу А — слА ( И1) с учетом условия йт л( = О из (3.10) получаем уравнение для векторного потенциала 1ОО 3.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Таким образом, компоненты вектора А(Ал, Аю Ая) удовлетворяют уравнениям Пуассона, где 2л(х, у, л), уя(х, у, л), у~(х, у, г) — заданные функции. Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка и принадлежат к уравнениям эллиптического типа. К таким уравнениям приводят также задачи о стационарных тепловых состояниях однородных тел, об установившихся диффузионных процессах, о потенциале поля тяготения и др. 3.2. Фундаментальные решения уравнения Лапласа Рассмотрим уравнение Лав васа Ьи = О, где оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сфе- рической системах координат определяется соответственно д д д Ь= — + — + —; дт2 ду2 дл2' (3.11) 1дГ д1 1 д' д' — — г — + — — + —. г дг ~ дг,~ г2 д~в2 дл2' (3.12) 1 д2 (3.13) + г2 в(п2 9 дФ2 Важную роль при решении задач для уравнений Лапласа и Пуассона представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией.
Найдем решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию сферической симметрии, когда функция и зависит „р „„„„,, ~г~„й~,2„„„„с д,~д, 3.2. <Рундаменталъные решеннв урааненнл Лапласа 1О! начала координат. В этом случае уравнение Лапласа в сфери- ческой системе координат имеет вид (3.14) Интегрируя уравнение (3.14), получим ~ ди е!и С1 С1 т — = С1, — = —, и(т) = С2 — —.
с!т ' Йт т'2 ' т При С1 = — 1 и С2 = О получаем функцию и(т) = 1/т, (3.15) которая удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки т = О, где она обращается в бесконечность. Такую функцию называют фундаментпальным решением уравнения Лапласа в простпранстпве. В задаче с осевой симметрией, когда функция и в цилиндрической системе координат не зависит от р и я, уравнение Лапласа имеет вид (3.16) Интегрируя уравнение (3.16), находим ди т — = С1, дт ди С, йт т — — и(т) = С1!пт+ С~. Полагая С1 = — 1 и С2 = О, будем иметь и(т) =1п —, тфО.
1 (3.17) т Эту функцию называют фундаментпальным решением уравнения Лапласа на плосностпи. Дадим физическую интерпретацию фундаментальных редений уравнения Лапласа. 102 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА и(т ) = — = —. 9 4пезт т (3.18) В такой физической модели плотность о точечного сосредото- ченного заряда должна описываться дельта-функцией в про- странстве: р = доэ(М) (см. Приложение 1). Тогда из уравнения (3.8) для потенциала электростатического поля следует, что /1'1 Ь~-~ = -4з.бз(М). л,т у' Таким образом, фундаментальное решение и = 1(т уравнения Лапласа в пространстве т > О является обобияеииым ретиеиием уравнения Пуассона Ьи = — 4тгбз(М) (3.19) во всем пространстве т > О. Аналогично фундаментальное решение (3.17) описывает распределение потенциала электростатического поля в вакууме, создаваемого равномерно заряженной бесконечно протяженной нитью с линейной плотностью электрического заряда Л = 2не0.
Следовательно, функция и = (и (1/т) является обобигеиивьи ретиением уравнения Пуассона Лги = — 2тгбг(М), т ) О. Замечание 3.1. Непосредственной проверкой можно установить, что функция и(т) = —, 1 тмолт тм,м = (х-хе)т+(р — уе)в+(е — га)т С точки зрения электростатической аналогии решение (3.15) описывает распределение потенциала поля в вакууме, создаваемое точечным зарядом, помещенным в начало координат. Действительно, если точечный заряд г) = 4яео поместить в пространстве в начало координат, то потенциал электростатического поля будет определяться формулой З.З. Интегральная формула Грина 103 Ьи = -4яба(Лб, ЛХо) (3.20) во всем пространстве. 4Л 3.3. Интегральная формула Грина Применим формулу Остроградского су гуси= йч 3 Ж (3.21) к векторному полю а~(х, у, г) = интас(и — и3гас(и, (3.22) где и(х, у, г)и и(х, у, г) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными до второго порядка в замкнутой области Й.
В этом случае ди ди а~ и =и(вегас(и и() — и(вегас(и. и() =и — — и —. (3.23) дп дп Используя формулу векторного анализа йч(у.ч) = уб)ч .ч + +Магас) р (ЧП], находим, что йч и = с((ч(ибгас(и — идгас)и) = ийчдгас(и+ +вегас( и 3гас( и — и йч 3гас(и-вегас)прас(и = иЬи — иЬи. (3.24) Подставив соотношения (3.23) и (3.24) в формулу (3.21), полу- чим выражение ( и — — и — ) с(Я = (иЬи — иЬи) с(К (3.25) / ди ди1 дп дп) которое называют формулой Грина. удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки Мо(ве, ро, ло), в которой она обращается в бесконечность.
Но тогда эту функцию следует считать обобщенным решением уравнения Р34 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Пусть теперь функция и есть решение уравнения Пуассона Ьи = — 7(М), М(х, Д, з) Е Й, (3.26) а функция с = 1(гм м — фундаментальное решение уравнения Лапласа, являющееся обобщенным решением уравнения Ье = — 4ядз(М, Мо), где Ме(хо, уо, го) — некоторая точка, принадлежащая области Й.
Тогда из формулы Грина (3.25) получаем и — — — — — <Ы = -4н и(М) 63(М, Ме) + — с1р, й Р(х, у, г) Е Е, М(х, у, г) Е Й. Используя свойство дельта-функции (см. Приложение 1) и(М) 63(М, Мо) с(Р = и(Мо), преобразуем полученное соотношение к следующему виду: и(Мо) — (Л~ + й + — — — — и — — оо. (3.27) Соотношение (3.27) устанавливает связь между значением функции и в любой точке Ме Е Й и значениями функции и 105 З.а Иятегральяая формула Грива и ее нормальной производной ди/дп на поверхности Е.
Это соотношение называют интегральной формулой Грина. Если обозначить через р(Р) и 1л(Р) значения и и ди/дп на поверхности Е, то интегральной формуле Грина можно придать вид суммы трех слагаемых: и(МО) = Ю(Мо) + Ч~1 (Мо) + Л(Мо). (3 28) Здесь 4 1 1Гр(Р) Ф1 (Мо) = — я) — <Ж 4яУ гмрр ~о (Мо) = — — фр(Р) — ~ ~ <Б.
' — 4.У д. ~,„„,) и(Ме) = — Ц /(М) 1п йд+ 2 Д гмем В 2Я,) 1 гмеР дп дп ~ гмег/ С в которой функцию (М ) = — О /(М)1 — НЯ 2я д гм,м (3.30) называют логарифмическим потенциалом. Е Функции ~р(МО), ~р1 (МО), у2(МЕ) называют соответственно объемным потенциалом, потенциалом простого слом и потенциалом двойного слом.
Аналогично для решения уравнения Пуассона на плоскости в области Ю, ограниченной контуром С, имеет место интегральная формула Грина 106 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 3.4. Свойства объемного потенциала Пусть функция Щ) определена в области й, ограниченнои замкнутой поверхностью Е. Рассмотрим объемныи потенциал (3.28) с плотностью 1(Я): (3.31) Р(М) 4 — Л й где М(х, у, я) может означать любую точку пространства; 1;1(~, и, ~) — внутренняя точка области й; . Если точка М принадгмо = лежит области й, то интеграл в формуле (3.31) является несобственным, так как подынтегральная функция имеет особенность при Я = М. Определение 3.1. Пусть функция д(ф М) непрерывна всюду в области Й за исключением точки Ч = М, где она обращается в бесконечность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
