XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Определим коэффициенты С„так, чтобы выполнялось начальное условие. Подставляя ряд (2.26) в (2.18), получаем и(х, 0) = ~ Ся а1п(1/Лях+В„) = сР(х). (2.27) Это соотношение по теореме Стеклова (см. Приложение 2) представляет собой разложение функции у(х) в ряд Фурье по системе ортогональных на отрезке 0 < х < 1 собственных функций Хя(х) = а1п(1/Ля х + Вя), и = 1, 2,..., а коэффициенты С„являются коэффициентами Фурье и определяются по формуле 1 Ся — — 1 <р(х) Хя(х) Ых. ИХ„О2 1 (2.28) — — а Со Ля е Л о'1 а1п( 1/Ля х + Вя); д1 о=1 о=1 ㄠ— = —,~, СяЛяе "" а1п(~IЛпх+Вя) ах2 я=1 я=1 (2.29) сходятся равномерно на отрезке (О, 1] при 2 > Т > О. Рассмотрим числовой ряд Е -Л о~Т МЛ„е Л"о М = сопа1 я=1 (2.30) Покажем, что если функция <р(х) кусочно-непрерывная на отрезке (О, 1), то ряд (2.26) с коэффициентами С„, определяемыми по формуле (2.28), удовлетворяет уравнению (2.17) в области 0 < х < 1, 1 > О, т.е.
этот ряд сходится и его можно дифференцировать почленно дважды по х и один раз по $. Для этого достаточно установить, что ряды 70 2. УРАБНЕИИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА который согласно признаку Даламбера сходится. Так как для ограниченной кусочно-непрерывной функции <р(х) коэффициенты Фурье ограничены по модулю, то для общих членов рядов (2.29) справедливы оценки ! <а2~~ ~Л с-Лаа 1 <М Л -Лаа Т 1>Т> д1 а а 1 и <)~ ~Л е — Лаан <М ~ е — Лаа Т 1>Т>0 Это означает, что при М > М1, М > М2 ряд (2.30) является мажорантным для рядов (2.29).
Позтому зти ряды сходятся равномерно при 1 > Т > О. Так как Т вЂ” произвольное число, то равномерная сходимость рядов (2.29) имеет место при любом 1 > О. Таким образом, на основании принципа суперпозиции частных решений иа(х, 1) заключаем, что функция и(х, 1), опреде-, ляемая рядом (2.26), удовлетворяет уравнению (2.17) в области 0<х<1,$>0.
Рассмотрим теперь частные случаи задачи (2.17) — (2.19). 1. При значениях параметров а~ = а2 = О, Д = ~32 = 1 граничные условия принимают вид и(0,1) =О, и(1,1) =0 (2.31) и краевая задача (2.17), (2.18), (2.31) описывает процесс остывания плоского слоя конечной толщиной 1 (илн стержня конечной длиной 1 с идеально теплоизолированной боковой поверхностью), с температурным профилем Р(х) в начальный момент времени, если граничные плоскости х = 0 и х = 1 (торцы стержня) поддерживаются при постоянной нулевой температуре. с'тигЛ 2 В зтом случае собственные значения Л„= ~ — ~ и = ! = 1, 2, ..., а соответствующие собственные функции Х„(х) = е1п —, ~1Х„~! = 1/2. 2.2. Краевые задачи длл ураеиелил теллолроеодиоети 71 Поэтому решение первой краевой задачи (2.17), (2.18), (2.31) принимает вид и(х, 1) = ~ Си е 7 в!и —, (2.32) (ил), зг иях и=1 где 2 Г .
югх С„= — / ~р(х) вш — Нх. -!/ (2.33) О Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [О, Ц и имеет кусочно-непрерывную производную. Кроме того, пусть гр(О) = = у(1) = О, т.е. имеет место согласование начальных и граничных условий. Тогда коэффициенты С„тригонометрического ряда Фурье, определяемые выражением (2.33), имеют порядок /11 оо малости 0 ~ — ) . В этом случае числовой ряд ~~г !С„! сходится 2)' и=1 и является мажорантным для ряда (2.32) при 1 > О и О < х <1. Следовательно, ряд (2.32) сходится к функции и(х, $) равномерно при 1 > О, О < х < 1, и из непрерывности членов этого ряда вытекает непрерывность суммы и(х, 1).
2. Если сг1 = сг2 = 1, а д1 = д2 = О, то граничные условия (2.19) принимают вид однородных условий второго рада ди! ди! (2.34) *1.= = ' Ф.== Краевая задача (2.17), (2.18), (2.34) описывает процесс выравнивания температуры в плоском слое (стержне), в котором в начальный момент времени задан температурный профиль <р(х), а граничные плоскости х = О и х = 1 (торцы стержня) идеально теплоизолированы.
Для этого случая ,г ггях 2 1 1.и=О 1 1/2, ггФО. 2, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 72 Поэтому решение второй краевой задачи имеет вид сО и(х, !) = ~~) С„е ( Г) ~ !соя —, (2.35) в=О где ! ! 1Г 2Г пях Со = — / ~р(х) е!х; С„= — ~ у(х) соя — е!х. (2.36) -!/ О О Отметим, что при ! -+ оо температура всех слоев выравнивается и стремится к стационарному распределению ие(х) = = Со = сопвФ. 3. Пусть а! = О, !У! = а2 = 1, !32 = Ь ) О. В этом случае получаем граничные условия и(О, !) =О, — +М =О.
(2.37) Смешанная краевая задача (2.17), (2.18), (2.37) описывает эволюцию температурного поля в плоском слое 0 ( х < ! материала, начальное распределение температуры в котором задано функцией у(х), если на поверхности х = 0 слоя поддерживается постоянная нулевая температура, а на другой поверхности х = ! происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей нулевую температуру. Для этого случая находим собственные функции в виде Х„(х) = в1п —, ~4вх квадрат нормы которых 2 е."в + При этом значения рв являются действительными положительными корнями трансцендентного уравнения !я р = -р!'(Ы). Это 2.2. Краеяые эадачи длл урааяеяял теолоярояодлостя 73 Ряс.
2.2 уравнение имеет бесчисленное множество вещественных положительных корней, в чем нетрудно убедиться, построив графики кривых р = 18р и у = — и/р, где р = И (рис. 2.2). На рисунке видно, что положительные корни ря лежат в интервалах [(2п — 1) и/2, пя], и = 1, 2,..., и при возрастании и приближаютсл к значениям, равным (2п — 1) и/2. Таким образом, решение смешанной краевой задачи (2.17), (2.18), (2.37) можно представить в виде 2 и(х, 1) = ~~1 С„е (лг ) о1гйп —, (2.38) я=1 где 1( „'+ ( +1)1/ О Функция источника.
Преобразуем полученное решение (2.26) задачи (2.17) — (2.19), заменив в нем коэффициенты С„ по формуле (2.28): и(х, 1) = 1 г ~ р(() в1п(1/Ля (+Оя) й~~~ е """ 1а1п(~/Л„~+8„). „,Ьх.!!'l 74 2. УРА ВНЕНИЯ ПАРА БОЛИ ЧЕСКОГО ТИПА Изменив порядок суммирования и интегрирования, получим Г~„, 11х„11' й (ут ~.Р-В„~ ~ (ут *.Р-и ~] фей~. (240~ 0(х,Ч,8)= е "л е1п(1/Л„~+ д„) язп(1/Л„х+ Вп) = , ИХ„П2 Хя(0 Хп( ) — Л,~а 1 2 41) ~~Х.П' Тогда решение задачи (2.17) — (2.19) можно представить в виде и(х, 1) = С(х, ~, Ф)Щ)Н(. О (2.42) Выясним физический смысл функции С(х, С, 1). Пусть начальное распределение температуры у(х) создано сосредоточенным тепловым источником, т.е. ~р(х) = — 4(х — хо), хо Е (О, 1).
Яо РС Такая операция справедлива, так как ряд в квадратных скобках при фиксированном х сходится равномерно в области Ф ) ) Т ) О, О < ~ < 1. Действительно, числовой сходящийся -Л аът ряд ~ М е "~ является мажорантным для ряда, стоящего п=1 в квадратных скобках в формуле (2.40). Обсоначим сумму этого ряда через 2.3.
Свойства рошелей уравяевпв теплопроводвоетп 75 В этом случае по свойству дельта-функции из формулы (2.42) следует и(х, 1) = — ~ С(х, С, 1) Б(( — хе) Щ = — С(х, хе, Ф). Яо Г 4~о ,ос рс О Это означает, что функция С(х, ~, $) определяет температуру в любой точке х в момент времени Ф, вызванную действием сосредоточенного в плоскости х = ( теплового источника, выделяющего в начальный момент времени мгновенно количество теплоты на единицу площади, равное Яо = рс. Поэтому функцию С(х, С, Ф), определяемую формулой (2.41), называют функцией мгновенного сосредоточенного источника (функцией источника) для общей задачи (2.17) — (2.19).
В частных случаях для первой и второй краевых задач функции источника соответственно имеют вид 2 г 1'оаг . пях . ггя~ С1(х, 6 с) = — у е ' Г) яш — ьйп —; (2.43) о=1 1 2 Гоп 12,2, тИГХ ЮГ( С2(х> С,1) = — + — ~ е ' Г) сов — сов —. (2.44) Решения этих задач с помощью функций источника С1(х, ~, 1) и С2(х, ~, 1) также можно представить в виде (2.42).
2.3. Свойства решений краевых задач для уравнения теплопроводности Принцип максимального значения. Пусть ф7 = ((х, 1); О < х < 1, О < 1 < Т) — прямоугольная область на плоскости состояний (х, 1) (рис. 2.3). Обозначим через Г1, Г2, Гз и Г4 участки границы этой области и выделим часть границы Г = Г1ОГ2(.)ГЗ. 76 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Т Рнс. 2.3 Теорема2.1. Если функция и(х, 4) определена и непрерывна в замкнутой области ЯТ и удовлетворяет уравнению теплопроводности дп 2д~ — =а— д~ дх2 (2.45) в точках области Яу ( ) Г4, то максимальное (минимальное) значение фукция п(х, 4) принимает на Г, т.е. в начальный момент времени, или в граничных точках х = 0 и х = 1.
~ Пусть Мà — наибольшее значение функции и(х, 4) на участке Г границы области Цт, а р — наибольшее значение функции п(х, $) в области Ъ4. Очевидно, что МГ < р. Утверждение теоремы состоит в том, что МГ = р. Допустим противное: пусть МГ < р, причем р = МГ+ е, где е = сопв$ > О. Построим вспомогательную функцию и(х, 4) = п(х, 4) + — (Т вЂ” 1). Эта функция непрерывна в замкнутой области Ъ4, поэтому она в этой области достигает наибольшего значения в некоторой точке (хс, $6) Е Ъс. Покажем, что эта точка не может принадлежать Г. Действительно, е е и(х, 0) = п(х, 0) + — < МГ + — < а; е е и(0, 1) = и(0, 4) + — (Т вЂ” 1) < МГ + — < а; е и(1,4) и((, ~)+ (Т 4) <МГ+ «р, 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
