XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Приложение 1). Такая неоднородность в уравнении (1.52) соответствует заданию сосредоточенной в точке хо внешней возбуждающей силы, мгновенно действующей в момент времени 1е. Такая сила мгновенно передает струне сосредоточенный импульс, численно равный линейной плотности струны ро. Используя свойства дельта-функции (см.
Приложение 1), с помощью формулы (1.63) находим закон колебаний струны в таком режиме возбуждения в виде О, если 1(йе; й~(х, 1) = С(х, ха, 1 — 16), если 1 > 1О. 56 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Естественно поэтому функцию 0(х, С, 1 — т), определенную формулой (1.64), назвать |ринциеб источника, или функцией влияния мгновенного сосредоточенного импульса на ограниченном отрезке [О, 1).
Формула же (1.63) при этом показывает, что действие любой непрерывно распределенной вынуждающей силы, зависящей от времени, можно представить в виде суммы (интеграла) импульсных воздействий, и для нахождения закона колебания струны под действием произвольной распределенной силы з(х, 1) = рО7" (х, 1) достаточно знать воздействие мгновенной сосредоточенной силы.
Первая краевая задача в общей постановке. Рассмотрим общую постановку задачи о вынужденных колебаниях струны с заданными законами колебаний ее концов: д2и д2и — ~ — — а' —,+7(х,1), 1>0, 0<х<1; (1.65) дх2 и(~ о = д(х), д ~ = 4(х), 0 < х <1; (1.66) ди( д1~, о и~ Π— — д(1), и! 1 — — Р(й), 1 > О. (1.67) Для решения этой задачи введем вспомогательную функцию В'(х, 1) таким образом, чтобы она удовлетворяла условиям (1.67), т.е. И1(0, 1) = р(1), В" (1, 1) = иЯ, В качестве одной из таких функций можно выбрать И'(х, г) = р(1) + — (и(1) — д(1)), 0 < х < 1.
Тогда с помощью подстановки и(х, 1) = И~(х, 1) + и(х, 1) для новой неизвестной функции е(х, 1) получим следующую краевую задачу: ди 2ди — = а —. + 11 (х, 1), 1 > О, 0 < х < 1; (1.68) дх2 ди иО=о = ~1(х), — ~ = Ф1(х), 0 < х < 1; (166) д2 0~=о и( о=О, и( ~=0, С>0, (1.70) 57 1.6. Краевые задачи дяя неоднородного уравнения где новые функции Л(х, 1), р1(х) и ф1(х) определены форму- лами д2иг Л(х 1) У(х 1) 2 У(х 1) (И (1) + [Р ( ) 1а ($Н )' д12 9о1(х) = чо(х) — И'(х, О) = Ф(х) — 1И(0) + — [р(0) — 1ч(0)] ~, ф1(х) = ф(х) — — 1 = ф(х) — (1а'(О) + — [и'(О) — р'(О)) ~. Дг 0=О Таким образом, первая краевая задача для неоднородного уравнения в общей постановке сведена к изученной ранее задаче вида (1.52) — (1.54) о вынужденных колебаниях ограниченной струны с закрепленными концами.
Можно выделить класс задач со стационарными неоднородностями, когда вынуждающая сила и условия закрепления концов струны не зависят от времени: Д2и 2 Д2и — = а — + у(х), 1) О, 0 < х (1; Д12 Дх2 и(х, О) = ср(х), и1(х, О) = ф(х); (1.71) и(0, 1) = Н1, и(1, 1) = Н2. Здесь Н1 и Н2 — некоторые заданные константы. Решение задачи (1.71) можно найти, выделяя стационарную часть решения: и(х, 1) = и,(х) + и(х, 1). 2 а — +1(х) = 0; 2о ие Д.г и,(0) = Н1, и,(1) = Н2. (1.72) В модели струны функция и,(х) описывает стационарный профиль, соответствующий статическому прогибу струны под действием распределенной силы 7"(х).
Стационарное решение и,(х) находим из решения задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 58 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Интегрируя уравнение (1.72) и выполняя граничные условия, получаем х цс(х) = гГ1 + Ф2 О1) + + — и( Г(1)) с(г) — — с(~ ~(т)) йт). (1.73) О О О О С учетом соотношений (1.71) и (1.72) находим, что функция е(х, 1) удовлетворяет однородному волновому уравнени1о д2п 2 д2п — =о2 —, 1)0, Осхс(, д12 дх2 с начальными условиями е(х, О) = у(х) — ис(х); О1(х, О) = ф(х). Поэтому эту функцию можно найти по формулам (1.47) н (1.49), заменив в формуле (1.49) (р(х) на щ(х) — пс(х).
Вопросы и задачи 1.2. Найти продольные смещения частиц полуограниченного стержня со свободным концом х = О, если в начальный момент времени частицам стержня сообщается скорость, заданная функцией В(х). Ото еик я+ ! — 1 В(в)вв, Г 2а / ы- à — ~ ф(в)вв+ а / е х ) а1; и(х, 1) = яье — / В(В)аВ, х С ае 2а / 1 1.1. Привести уравнение и„+ р и„„+ -и„= О к канонической форме 2 в области его гиперболичности. Ответ: В области р С О уравнение приводится к виду ися = О Вопросы и задачи 1.3. Решить задачу о свободных колебаниях ограниченной струны длиной ! с закрепленными концами, если в начальный момент времени частицам струны, находящимся в интервале хе — е < х < хе + е, сообщается постоянная скорость ое. Начальное отклонение струны равно нулю.
Рассмотреть предельный случай, когда е -1 О, а 2регое = 12 = сопя!, где 1о переданный струне импульс. 4ео! ч- 1 пяа! плхо . пхе . плх Отпоет: и(х, !) = — 2 — юп — в!п — Юп — в!а —. =„за2. пт п=1 1.4. Решить предыдущую задачу в предельном случае е -1 О, используя 10 дельта-функцию сосредоточенного влияния, т.е. считая т(!(х) = — б(х). ре 21о ч 1, тига! . птгхо плх Ответи; и(х, !) = — 2 — вгп — вш — вш тгроа и =1 1.б.
Закрепленная на концах струна оттянута в точке х = хо на величину Н. Считая профиль струны слева и справа от точки х = хо линейным, найти колебания струны, вызванные таким начальным отклонением, На- чальнвя скорость равна нулю. 1 пп 2Н! ~п 1 тига! . пл:ео, пхх Отвели и(х, !) = — СОВ ВШ вЂ” 81П ,гтхо(! — хо) 2-- и' ! п=! 1.6. Решить задачу о продольных колебанилх стержне длиной 1, один конец х = О которого жестко закреплен, если стержень был подвергнут растяжению действиел! постоянной силы Ео, приложенной к концу х = !. В начальный момент времени действие силы Ро мгновенно прекращается и конец стержня х = ! остается свободным. Модуль Юнга стержня равен Е, а площадь поперечного сечения — Я.
ОРо! тч ( — 1)п+' (2а — 1) ла! (2п — 1) тгх Ответ, и(х, !) = 2 2 2 сов в!и кто 2 ~ (2п — 1)2 2! и=! 1.7. Горизонтальная струна длиной 1 с закрепленными концами находится в поле силы тяжести. В начальный момент времени струну отпускают, не сообщая скорости ее частицам. Описать закон колебаний струны под действием силы тяжести. Скорость распространения возмущений в струне равна а. Определить статический прогиб струны. Ответл: и(х, !) = — — х (! — х)+ 9 2а2 (2 (2п — 1) ла! (2п — 1) !гх + — 2 сов Вгц лзаз 2-~ (2п — 1)2 ! п=1 2.
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИх1ЕСКОГО ТИПА 2.1. Одномерный нестационарный процесс распространения теплоты с и коэффициент теплопроводности х в общем случае неоднородной среды будем считать также зависящими только от одной пространственной координаты х. При построении математической модели процесса будем предполагать, что среда неподвижна, а изменение объема материала, связанное с изменением температуры, пренебрежимо мало. В этом случае можно считать, что про- л л У й л, л цесс теплопроводности не связан Рис.
2,1 с совершением механической работы. В рассматриваемом слое материала в качестве некоторой термодинамической системы выделим объем Р в виде цилиндра с площадью основания ЬЯ и осью, параллельной координатной оси Ох (см. рис. 2.1). Уравнение теплопроводности. Процесс передачи теплоты от более нагретых частей тела к менее нагретым связан с изменением температуры и в различных частях тела.
Поэтому описание такого процесса в макроскопической теории в общем случае сводится к определению нестационарного температурного поля в теле. Рассмотрим одномерный процесс передачи теплоты теплопроводностью в плоском слое изотропного материала (рис. 2.1), считая, что температура и = и(х, 1) является функцией лишь одного пространственного переменного х. Плотность р материала, его удельную массовую теплоемкость л.1.
Одномерный процесс распространения теплоты 61 Иэ первого закона термодинамики, записанного для выделенного объема И, следует, что ИУ вЂ” = -Ю1+ Яг с(1 (2.1) где У вЂ” внутренняя энергия системы, которая может быть найдена интегрированием объемной плотности внутренней энергии с(х, 1) по объему цилиндра, т.е. хе У = еЛ'= ЬЯ еИх.
Ъ' х1 Поэтому изменение внутренней энергии системы за единицу времени хх Л1 1 де — = саЯ ( — «1х. Й / д1 (2.2) — ~МеБ, Е где М вЂ” единичная внешняя нормаль к Е. Согласно физическому закону Фурье, при передаче теплоты теплопроводностью ~ = — 1сигас(и, Так как в рассматриваемом случае вектор плотности теплового потока 6~ имеет лишь дп одну составляющую дх = — Й вЂ”, то тепловой поток от выделендх ного объема проходит лишь через основания цилиндра, причем 1~1=ЛЯ й — ' -ЬЯ й —" х2 1 д l ди1 = — саЯ/ — (и — ) дх.
(2.3) дх дх х1 х1 Тепловой поток Я1 через всю замкнутую поверхность Е выделенного цилиндра, т.е. количество теплоты, отдаваемое через зту поверхность за единицу времени, можно найти, интегрируя по поверхности Е нормальную составляющую плотности теплового потока ф Поэтому 62 г. урлннкния плрлколичкского типл х2 Яг = Уй)'' = ЬЯ У(х, 1) с(х. (2.4) х1 Подставив выражения (2.2) — (2.4) в уравнение (2.1), получим Г ~де д / ди'1 ЬЯ~ ~ — — — 1/с — ( — У(х, 1) Их = О, (2.5) / ~Ю дх1, дх( В силу произвольности выбора координат х1 и хг оснований цилиндра равенство нулю интеграла в уравнении (2.5) возможно лишь при равенстве нулю подынтегральной функции.
Таким образом, в описываемом процессе передачи теплоты локально, т.е. в каждой точке пространства, должно выполняться следующее дифференциальное соотношение: де д / ди1 — = — ~й — ~+ У(., 1). а д(, д*~ (2.6) Заметим, что объемная плотность внутренней энергии рассматриваемой несжимаемой среды е = е(и) зависит от темпе- Й ратуры, а производная = = с, определяет объемную теплоемй~ кость с = рс материала. Поэтому де с1е ди ди — = — — = рс —. д1 ди д1 д1' Тогда из выражения (2.6) получаем дифференциальное уравне- ние ди д / ди 1 ~(+ -(., ). 'д1 дх 1, дх,l (2.7) Внутри выделенного объема вследствие протекания эндо- или экзотермических реакций, прохождения электрического тока, испарения влаги в пористом материале и других причин может выделяться или поглощаться теплота. Если под У(х, 1) понимать объемную плотность (удельную мощность) тепловых источников, то за единицу времени в рассматриваемом объеме выделится (У ) О) или поглотится (У < О) количество теплоты 2.1.
Одномерный процесс распространения теплоты бЗ Для однородного материала с независящими от температуры теплофизическими характеристиками р, с и 7с уравнение (2. 7) можно записать в виде В Д2 — = а — + 7" (х, 1), д2 дх2 (2.8) Замечание 2.1. Уравнения (2.7) и (2.8) описывают эволюцию температурного поля в стержне постоянного поперечного сечения, выполненном из неоднородного или однородного материала, если боковая поверхность стержня теплоизолироваиа, площадь поперечного сечения достаточно мала и можно пренебречь распределением температуры по сечению, считая ее зависящей только от осевой координаты. 4 Уравнения вида (2.7) и (2.8) описывают не только процесс теплопроводности, но и ряд других физических процессов диффузионного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
