XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Свойства решеяий уравяевиа тевлопроводвоети 77 но и(хо, 1Е) > р, так как в Ц7 справедливо очевидное неравенство э(х, 4) > и(х, 4). Отсюда следует, что точка (хо, $е) либо является точкой области Я7, либо лежит на участке границы Г4 = ((х, 8): Осх<1, й=Т). В точке (хо, йе) должны выполняться необкодимые условия максимума функции с(х, 1): дю др д 5 — >Π— =Π— <О д2 ' дх ' дх2 причем знак неравенства при оценке производной функции в по времени учитывает возможность нахождения точки (хо, 1о) на участке границы Г4, где е = Т.
Замечая, что ве = и~ — е7(2Т), а ввв = н в, получаем следующие оценки для производных в точке (хо, Фо): Е е(хо, Юо) = ве(хо, 4е) + — > О, нв*(хО ~О) = ив*(хО 2О) ( О. Следовательно, и4(хО, 20) — а~ива(хе, ~О) > О, т.е. функция и(х, 8) в точке (хе, 1О) не удовлетворяет уравнению (2.45). Это противоречие позволяет утверждать, что Мг = и. Это утверждение называют принципом максимума длл уравнения теплонроводности.
Аналогично может быть доказана вторая часть теоремы о минимальном значении функции и(х, 1), так как если функция и(х, $), указанная в условиях теоремы, в некоторой точке достигает минимума, то в втой точке достигает максимума функция — и(х, 2), также удовлетворяющая условиям теоремы. Согласно физическим законам термодинамики принцип максимума для уравнения теплопроводности соответствует свойству самопроизвольной передачи теплоты лишь от более 76 3.
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА нагретых частей тела к менее нагретым. Позтому при отсут ствии объемных тепловых источников увеличить температуру в любой точке внутри тела можно, только обеспечив ббльшую температуру на поверхности тела. Единственность решения первой краевой задачи. Доказанный принцип максимума позволяет доказать единственность классического решения первой краевой задачи для уравнения тиеплопроводности.
Теорема 2.2. Решение краевой задачи дц, 2 д2о — =а —, И дхз' и(х, 0) = ~р(х), Ф>0, 0<х<1; (2.46) 0<х<М; и(0, й) =рЯ, и(Ю, й) =и(й), й>0, непрерывное в замкнутой области ЯТ = ((х, 1): 0 < х < С, 0 < $ < Т), единственно. 4 Для доказательства теоремы рассмотрим две функции и~(х, $) н и2(х, 1), определенные н непрерывные в ЯТ и явля- юпщеся решениями задачи (2.46). Пусть ш(х, 4) = но(х, Ц— -и1(х, $).
Функция и как разность непрерывных функций не- прерывна в ЯТ. Кроме того, зта функция удовлетворяет урав- нению дш 2ди — =а „, $>0, 0<х<1, дс дхз* и однородным начальному н граничным условиям ш(х, 0) = О, 0 < х < Е; ш(0,8)=ш(Ю,4)=0, й>0. В силу принципа максимума как наибольшее, так и наименьшее значения функции ш(х, 4) равны нулю. В таком случае и(х, 1) = 0 и оба решения задачи (2.46) и1(х, 1) и ио(х, г) совпадают.
й 2.4. Неодвородвве урвввевве ввиовроводвоств 2А. Неоднородное уравнение теплопроводиости Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения тепло- проводностн дм 2дп — = а — +У(х, 1), 1>0, О< х < Е, (2.47) дх2 с начальным условием и(х, 0) = р(х), 0 < х < 1, (2.48) н граничными условиями -а1 — +До = 0; а2 — + 132и = О. (2.49) Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных фУнкЦий Х„(х) = е1п(~/Лп х + д„) заДачи на собственные значения (2.22), (2.23), т.е.
в форме разложения и(х, 1) = ~~ь У„(1) Х„(х) = ~~1 Уп(1) в1п(1~Л„х+ 0„), (2.50) 1(х, 1) =,~ Ь(1) Х (х) =,~ Ь(1) Я1п(1~~Х+ дп), в=1 в=1 у(х) = Х~~ рпХв(х) = ~ ~рпв1п(1/Лпх+ В„), (2.51) считая прн этом 1параметром. Ряд (2.50) удовлетворяет граничным условиям (2.49). Поэтому функции У,($) следует определить так, чтобы ряд (2.50) удовлетворял уравнению (2.47) и начальному условию (2.48).
Учнтывая полноту системы собственных функций, представим функции у (х, 1) н у(х) в виде следующих рядов Фурье: 80 г. урлннкнияплрлноличкского типл где ~„(г) и ~р„— коэффициенты Фурье, определяемые по фор- мулам 1 ~„,(1) = ! ~(х, 1) Хв(х)Их = 1 1!Х„1!' 1 ~(х, й) ап(~/ Л„х + В„) Их; о 1 ув = 1 у(х) Х„(х) Ых =. о ! 1 / у(х) э1п(~/ Л„х + В„) Нх. "~~ о (2.52) ~~> (Ъ~~(й) + Л„а~Ув(С) — ~в(й)) Х„(х) = О. в=1 Это соотношение, а значит, и уравнение (2.47) будут удовлетворены, если все коэффициенты разложения равны нулю, т.е. У„'(1) + Л„огУ„(1) = у„(1). (2.53) Из начального условия (2.48) с учетом (2.50) и (2.51) нахо- дим и(х, 0) = С У„(0) Х„(х) = ~) АХ„(х), 0 < х <1, в=1 откуда (2.54) У„(0) = у„. Подставляя предполагаемую форму решения (2.50) и разложение (2.51) для функции У(х, 1) в уравнение (2.47) и заменяя при этом Х,",(х) на -Л„Х„(х), получаем 81 2.4.
Неоднородное уравнение теялояроаодяоетя Таким образом, для нахождения искомой функции уа($) приходим к задаче Коши (2.53), (2.54) для обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка, Решение этой задачи может быть найдено методом Лагранжа вариации постоянной ( Ч1И]. Оно имеет вид )/ (4) ~р Е-Л„а 1+ ~ (и) Š— Л„а (1 — т) Е(т О Подставляя функции 1"а(1), и = 1, 2,..., в разложение (2.50), находим решение исходной задачи (2.47) — (2.49) в следующей форме: и(х, 1) = ~~~ 1оае Л"а 1Х„(х) + я=1 (2.55) Уас ~а~ ~ Я1П(Л/Л„Х + да) + а=1 где 1оа и Ят) определены формулами (2.52). Первое слагаемое в выражении (2.55) представляет собой решение краевой задачи для однородного уравнения ]1(х, 1):— = О].
Как было показано выше [см. формулу (2.42)], его можно представить в виде и1 (х, 1) = с (х, О, 1) ~Р(() д(, (2 55) О где функция источника С(х, С, 1) определена формулой (2.41), 82 2. УРАВНЕНИЯ ПА РА БОЛИ ЧЕСКОГО ТИПА Второе слагаемое в формуле (2.55) й 2~*, Й) = 2 (ХБ~ ~ ' '~И ) ' ~у7 ~-В ) $257~ О представляет собой решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием ~р(х) гн О. Преобразовав (2.57), подставим вместо ~„(т) их значения (2.52) и изменим в уравнении (2.57) порядок суммирования и интегрирования. В результате получим й Х и2(х, 2) = / / ~~) е л"" О ') е1п(~/Л„х+ О„) х Это решение с помощью функции источника можно записать в виде и2(х, $) = С(х, ~, 1 — т) 2(С, т) Й~Ыг.
О О Таким образом, окончательно решение краевой задачи (2.47) — (2.49) для неоднородного уравнения теплопроводности можно записать с помощью функции источника как и(х, 1) = С(х, (, 2) у(~)Ы~+ 6'(х, с, 2 — т)Дс, т)ас Йт. О О О При решении задачи (2.47) — (2.49) со стационарной неоднородностью в уравнении, когда функция 2 = 7" (х) не зависит от времени, рекомендуется сначала найти стационарное решение, т,е.такую функцию и,(х), которая удовлетворяет уравнению 2 а — +7(х) = О 2а иа Ых2 2.о. Задача Коши дли ураанениа тендонроаодности 83 и граничным условиям (2.49). Тогда, представив решение иско- мой задачи (2.47) — (2.49) в виде и(х, е) = ие(х) + и(х, е), для функции и(х, е) получим краевую задачу для однородного уравнения вида (2.17) — (2.19) с начальным условием и(х, 0) = ~р(х) — ие(х).
Эта задача была решена в 2.2. 2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводностн Задача о влиянии мгновенного сосредоточенного источника. Пусть в безграничной теплопроводящей среде в плоскости х = 0 в начальный момент времени 1 = 0 мгновенно выделяется количество теплоты Яе на единицу площади. Задача о нахождении нестационарного температурного поля и(х, 1) во всем пространстве от такого источника имеет вид ди д2и — = а —, 1 ) О, -оо < х < +со; (2.58) д~ дх2 ' (2.59) и(х, 0) = Я Б(х), где Я = Яо/(рс); 5(х) — дельта-функция, описывающая влияние сосредоточенного источника теплоты.
Из физической постановки задачи следует, что на достаточно большом удалении от теплового источника температура и тепловой поток будут пренебрежимо малы, т.е. ди и -+ О, — -+ 0 при (х! -+ оо. (2.60) дх Интегрируя уравнение (2.58) по х в пределах от -оо до +ос, с учетом (2.60) получаем — и(х, 1) пх = а — — — = О. 84 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Отсюда для любого 1 > О и(х, 1) дх = Я.
(2.61) и(х, $) = — с1(т~), ,/а21 (2.62) где 0(П) — новая неизвестная функция, такая, что 9(я) — ~ О и сЮ/о9 -+ О при )9) — ~ оо. Из (2.62) находим ди Ю ~8Ж) х И01 Я )с Я я Н01 д1 Д2~3 ~ 2 9~/ 21 Пл1! тД2~3 ~ 2 2 Й~)' д2и Я о20 д' а2~/213 ~ 2' Подставив найденные значения производных в уравнение (2.58), получим для функции 0(9) линейное дифференциальное урав- нение второго порядка ,120 „10 1 — + — — + — И=О, д92 2 й1 2 или так как при ~ = О постоянная интегрирования из начального условия (2.59) равна Я. Формула (2.61) определяет закон сохранения тепловой (внутренней) знергии среды в любой момент времени, и решение задачи (2.58), (2.59) должно удовлетворять условию (2.61).
Введем безразмерную переменную 9 = и в соответ- ,/ 21 стени с теорией размерности (см. Приложение 3) будем искать решение задачи (2.58), (2.59) в следующей форме: 2.5. Задача Коши дяя уравнения тепяонроводнооти 65 Интегрируя это уравнение, находим Ж 21 — + — О = О. 4й1 2 (2.63) При этом постоянную интегрирования полагаем равной нулю в силу условий (2.60). Общее решение уравнения (2.63) имеет вид г 9(0) = Ае (2.64) Подставляя решение 12.64) в уравнение 12.62) и переходя к пе- ременным х и 1, получаем 2 24(х> 1) = А — е 4аг4. ~/а~1 Постоянную А найдем иэ интегрального условия (2.61), которое приводит к соотношению +00 +00 ш ш 241х, 1) дх = А / е 4 ~4 Нх = Я. 12.65) а Г -*2 Д24 2 2А е 4 се=1. Отсюда с учетом эначения интеграла Пуассона находим А = 1/(2~/я ). х Сделаем эамену переменного С =, 41х = 2ч/агг 4Щ.
Тогда 2~/а2~ 12.65) примет вид +оо 86 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Таким образом, функция и(х,г)= е 421 2 1/яа21 (2.66) Рис. 2.4 является решением уравнения (2.58) при $ > 0 и -оо < х < +со. Кроме того, и(х, О) = Яб(х) при 2 = О, так как, устремляя 1 к нулю по последовательности 1„= — 2-2, получаем последо- 1 4а и ахх вательность функций и„(х) = Я вЂ” е " *, слабо сходящуюся (см. Приложение 1) к функции Я б(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
