XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, только при собственных значениях ~г (1.43) задача (1.40), (1.41) имеет в качестве нетривиальных решений систему собственных функций пях Хн(х) = вш —, и = 1, 2,..., (1.44) ортогональных на отрезке [О, 1). Каждому собственному значению Л„будет соответствовать функция Ти(1), которую находим нз решения уравнения Т„",(1) + — а Т„(1) = О, Общее решение этого уравнения имеет вид /пяа 1 .
/пяа 1 Т„,Я = а„сов ~ — 1~ + 6„в1п~ — ~), (1.45) где а„и 6„— произвольные постоянные. Подставив выражения (1.44) и (1.45) в формулу (1,37), найдем частные решения уравнения (1.34), удовлетворяющие граничным условиям (1.36). При этом каждому и = 1, 2,... будет отвечать решение /пка ~ . /пяа '11, пях и„(х, 1) = а„сов1 — 1) +бнвш~ — 1~~ ейп —.
(1.46) 1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения 49 Суперпозиция всех решений вида (1.46) г'пха 1, г пха г) . пхх и(х, 1) = ~~т а„сов ~ — 1~ + б„в(п~ — 1(~ сбп — (1.47) ом1 (1,48) будет также решением (1.34), удовлетворяющим граничным условиям (1.36), если ряд (1.47) для любого х Е (О, 1) при 1 > О является сходящимся рядом и его можно дважды почленно дифференцировать. В этом случае можно подобрать постоянные а„и (т„в уравнении (1.47) так, чтобы функция, представленная рядом (1.47), удовлетворяла начальным условиям (1.35).
Для этого продифференцируем почленно ряд (1.47) по 1: — =1' — (- ы ( — ~) ~-ь м( — ~)~ я и=1 и при 1 = О удовлетворим начальным условиям И)à Π— — ~~1 а„етн — = гр(Х), О < Х <1; и=1 ди! тига . птгх — = ~~т — б„вш — = ф(х), О < х < 1.
Равенства (1.48) представляют собой разложение заданных функций 1о(х) и ф(х) в ряды Фурье [1Х] по ортогональной в интервале (О, 1) системе тригонометрических функций ( пях1оо птга вш — ~ . Поэтому коэффициенты а„и — 6о этих разложений являются коэффициентами Фурье 1о,„и т1т„функций 1о(х) и тр(х), Определяя эти коэффициенты по формулам Эйлера — Фурье, получаем 2 ао — гри = 1 (1.49) пях гр(х) вш — г1х; О 2 1', пих = — / т1т(х) в1п — г1х.
птга г' О 50 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИ ЧЕСКОГО ТИПА Таким образом, ряд (1.47) с коэффициентами а„и 6„, вычисленными по формулам (1.49), окончательно определяет решение исходной краевой задачи (1.34) — (1.36). Решение (1.47) можно преобразовать к следующему виду: пях и(х, 1) = ~~~ ии(х, 1) = ~> а„сов(ш„,$ — б„) эш —, (1.50) к=1 к=1 где а„=,/а~ + 6к; ш„= ппа/1; 15 Б„= 6„/а„. Каждое из слагаемых и„(х, 1) в уравнении (1.50) описывает движение струны в виде стоячей волны, которая образуется в результате наложения прямой и обратной бегущих волн при отражении нх от концов струны. Зтн стоячие волны называют простыми тонами, или гармониками.
В стоячей волне все частицы струцы колеблются с одинаковой частотой на я ГТо шк = пш1, «~1 = — =— (1.51) Рб Зти частоты ш„, и = 1, 2,..., называют собственными частотами колебаний ограниченной струны. Самая низкая частота а1 соответствует основному тону струны, а более высокие частоты, кратные ш1, соответствуют обертонам. Изменяя длину струны или силу ее натяжения То, можно изменять частоты колебаний ю„. Для и-й стоячей волны точки струны с координатами хт = т1/п, т = О, 1, ..., и, в которых эш(пях,„/() = О, остаются все время неподвижными. Их называют узлами стоячей волны (рис. 1.11, темные точки). Точки струны с координатами 2т — 11 х, = —, т = 1, 2,...
и, совершают колебания с макси- и мальной амплитудой, равной ак. Такие точки носят названия пучностей стоячей волны (рис. 1.11, светлые точки). Установим теперь ограничения на функции у(х) и 16(х), при выполнении которых возможно двукратное почленное дифференцирование ряда (1.47) для функции и(х, 1). 1.5. Краевые задачи для гиперболического уравиеиил 51 пл Рис. 1.11 1. Пусть функция ~р(х) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно, а третья производная кусочно-непрерывна на отрезке [О, 1] и, кроме того, р(О) = р(1) = О, рп(О) = рп(1) = О. Заметим, что эти требования предполагают, в частности, согласование начальных и граничных условий, когда и начальное распределение отклонений в струне учитывает отсутствие смещений закрепленных концов струны. 2.
Функция 15(х) непрерывна вместе со своей первой производной и имеет кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того, 1р(0) = 1р(1) = О. Тогда при выполнении этих условий из теории рядов Фурье, согласно формулам (1.49), следует, что коэффициенты а„ и б„имеют порядок малости 0(1/п ) по индексу п. Поэтому 4 числовой ряд А ~ и ((ао) + (Ьи!) и=1 сходится и с некоторой константой А является мажорантным рядом для функциональных рядов 2 оо — '",=-Я 2 '[... ("— "'~) +ьа ("— ''~)]в — ""; о=1 —,=-( — ) ~' '(. ( — ~) ~ье ( — ~)). и=1 52 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Следовательно, эти ряды при 1 > 0 и х 6 [О, 1] равномерно сходятся и ряд (1.47) с коэффициентами (1.49) при выполнении условий 1 и 2 определяет классическое решение краевой задачи (1. 34) — (1.
36). Условия 1 и 2 могут быть ослаблены. В этом случае ряд (1 47) является обобщенным решением краевой задачи и сходимость ряда и его производньгх следует понимать в более широком смысле, например как сходимость в среднем или слабую сходимость. Решения задач о свободных колебаниях ограниченной струны или стержня с однородными граничными условиями второго или третьего рода могут быть также построены в виде бесконечных функциональных рядов аналогичной структуры, отличающихся лишь собственными значениями и собственными функциями соответствующей задачи Штурма — Лиувилля.
В Приложении 2 приведены примеры решения задач на собственные значения для уравнения (1.40) с различными условиями в граничных точках х = 0 и х = 1, 1.6, Краевые задачи для неоднородного уравнения дги г дги — = а — +Дх, г), д~г дхг г > О, 0 < х < 1; (1.52) (1.53) 0<х<Е; и) . О = О, и! 1 = О, 1 > О. (1.54) Рассматривая в искомом решении и(х, 1) этой задачи переменное г как неотрицательный параметр, будем искать это Вынужденные колебания струны.
Изложенный выше метод Фурье (разделения переменных) позволяет также решать краевые задачи для неоднородного волнового уравнения. Сформулируем, например, задачу о вынужденных колебаниях струны, закрепленной на концах: 1.б. Краевые задачи дяя веодвородвого уравнения 53 решение в форме разложения в ряд Фурье по ортогональной на птгх1 оо отрезке (О, 1) системе собственных функций (яп — ~, найденных в задаче о свободных колебаниях ограниченной струны и удовлетворяющих граничным условиям (1.54). Тогда тигх тг(х, 1) = ~ Уа(1) вш а=1 (1.55) где коэффициенты разложения Уа(1) следует определять как функции времени 1 так, чтобы ряд (1.55) удовлетворял уравнению (1.52) и начальным условиям (1.53).
Для этого представим функции Дх, 1), 1о(х) и тр(х) в виде следующих тригонометрических рядов грурье: 7"(х,г) = ~ та(1)яп —, а=1 тигх го(х) = у гоа в1п —, п=1 тр(х) = ~~» травгп —, а=1 Подставив ряды (1.55) и (1.56) в уравнение (1.52) и начальные условия (1.53), получим следующие соотношения: 00 птгх т пях — = у уавш а=1 (1.57) птгх ч . птгх — = у тр„яп —. а=1 1 (У„'е) .. а=1 У„(0) яп «=1 ~1, Уа(0)яп и,= /' К и,.1. 2 г . тиг( 1/ О 2 Г", туг( гра = — ( ~р(~) вш — И~; (1.56) О 2 1, пя~ т11а = — ( тР(() вш — И(. 1/ О < пяа 1 ), пах пях — ~ Уа(1)~ вш — = ~ ~а(1)яп —; п=1 54 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ~г 1;Я(1)+ "— ",'~ ~;(1) =У.(1); (1.58) )l (О) = Ф, У„'(О) = Ф„.
(1.59) Общее решение уравнения (1.58) может быть найдено методом Лагранжа вариации постоянных [1г'П1]. Удовлетворяя начальным условиям (1.59), представим решение задачи (1.58), (1.59) в виде Гпяа 1 1, Гпяа '1 $'„(1) = у„сов ~ — 1~ + — гд„вш ~ — 1~+ Г, пяа (1 — т) + — / 1„,(т)вгп г1т. пяа „г 0 (1.60) Тогда, подставив найденное выражение для 1'г,(г) в ряд (1.55), получим решение исходной задачи (1.52) — (1.54) в следующей форме: /пяа '1 1, /пяа '11, пях =~['- ( — ) — '"( — ))" —. ) - ~ Л а=1 оо пха (1 — т) ), пях + ~~> — ~/ Г„(т)в!и Йт в1п —. (1.61) пяа '1/ а=1 О <Функция источника. При нулевых начальных условиях, когда ~р(х) =- 0 и ф(х) вв О, первое слагаемое в (1.61) равно нулю.
В этом случае функция г ( Г, пяа(1 — т) ), пях и1(х, 1) = ~~» — ~/,Г„(т) вгп г1т~ вш — (1.62) пяа 1.г в=1 р С учетом полноты ортогональной системы собственных функций (см. Приложение 2) приравняем в разложениях (1.57) коэффициенты прн одинаковых собственных функциях.
Тогда получим следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: Ьб. Краевые задачи длв неоднородного уравнения 55 описывает вынужденные колебания ограниченной струны., которые совершаются только под действием внешней распределенной по струне вынуждающей силы при отсутствии начальных возмущений струны.
Преобразуем формулу (1.62), заменяя в ней Ят) выражением из (1.56) и меняя порядок суммирования и интегрирования. После этих преобразований получим и1(х, 1) = С(х, (, 1 — т) Д(, т)е((йт, (1.63) 0 0 где С(х, ~, 1 — т) = 2 1, пях пя( . пяа (1 — т) — — нш — в1п — вш . (1.64) яа п Выясним смысл функции С. Для этого положим функцию Дх, 1) равной ~(х, 1) = 5(х — хе) д(1 — 1Е), хо Е (О, 1), 1Е > О, где б(~ — (Е) — обобщенная дельтпа-функция, описывающая сосредоточенное воздействие при 4 = Яе (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
