XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кроме того, на границе области выставляют некоторые граничные условия на искомую функцию, которые учитывают взаимодействие (связь) процесса в выделенном теле (системе) с аналогичным процессом в окружающих телах. В силу разнообразия форм связи зтнх процессов на границе области могут быть заданы различные граничные условия. Принятая классификация граничных условий обычно связана с порядком производных искомой функции, которые присутствуют в граничном условии и выражают различные условия связи.
Так, однородные граничные условия первого и второго рода соответствуют равенству нулю искомой функции или ее нормальной производной на границе области, а условия третьего рода задают связь между функцией и ее нормальной производной на границе. Встречаются задачи с "косой" производной, когда в граничном условии фигурирует производная по направлению, не совпадающему с направлением нормали к границе.
'Задачи, в которых учитывают граничные условия, называют еераевыми задачами. Если на различных участках границы заданы граничные условия различных типов, то задачу называют смеиеамкой краевой задачей. Иногда„отвлекаясь от влияния на исследуемый процесс формы и размеров тел, задачу решают в безграничном пространстве.
Для эволюционных процессов такие задачи называют задачами Коши. ВЬ Задачи математической физики В линейных задачах математической физики не только дифференциальные уравнения являются линейными, но и граничные условия содержат лишь линейные соотношения между искомой функцией и ее производными. В современной математической физике при моделировании широкого класса явлений и процессов приходится решать задачи, в которых уравнения или краевые условия являются нелинейными. Нарушение принципа суперпозиции делает нелинейные задачи значительно более сложными для решения, чем линейные.
Как в краевых задачах, так и в задачах Коши для уравнений, содержащих временную переменную, необходимо задавать также начальные условия на искомую функцию и ее производные по времени. Начальные условия описывают состояние системы в момент времени, выбираемый за начало исследуемого процесса. При этом с помощью уравнения мы можем определять состояние системы и в более поздние моменты времени, т.е. изучать эволюцию системы из ее начального состояния. В специальных случаях могут рассматриваться задачи беэ начальных условий, когда характер эволюции системы постулируется при постановке задачи.
Типичным примером таких задач являются задачи об установившихся процессах колебательного типа. Итак, формулировка задачи математической физики в общем случае включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего изучаемый процесс, а также граничных и начальных условий, выделяющих единственным образом конкретный процесс из бесчисленного множества аналогичных ему. Ж. Адамаром было введено понятие корректной постановки задачи математической физики.
Задача для уравнения в частных производных в рассматриваемой области поставлена корректно, если решение этой задачи существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных. Рассмотрим более подробно каждое из перечисленных условий корректности постановки задачи математической физики. 12 Введение Существование и единственность решения задачи есть очевидное требование однозначности интерпретации решения при описании детерминированных процессов.
Следует, однако, отметить, что вопрос о существовании и единственности решения предметен только при выборе и указании класса функций, которые могут считаться решением задачи. Одна и та же задача может не иметь решения в одном классе и может иметь единственное решение в другом классе функций. Принято выделять строгое, или классическое, решение задачи, гладкость которого согласована с дифференциальным уравнением, граничными и начальными условиями. Такое решение содержит все производные, предписываемые дифференциальным уравнением, вплоть до границы и гладко примыкает к начальным данным.
Для существования классического решения на функции, фигурирующие в начальных и граничных условиях, а также на саму границу области должны быть наложены достаточно жесткие условия гладкости, которые сформулированы в соответствующих теоремах существования и единственности, доказываемых в теории уравнений в частных производных. Проверка дифференциальных свойств классических решений, записанных часто в виде бесконечных функциональных рядов, также представляет собой во многих случаях технически сложную задачу. В современной математической физике с использованием результатов теории обобщенных функций в качестве решений задач часто рассматриваются неклассические, или обобщенные, решения. Такие решения в некоторых точках области вообще могут не иметь производных в обычном смысле.
В таких точках области следует говорить лишь об обобщенных произ- водных. Кроме того, в таких задачах при записи граничных и начальных условий можно использовать недифференцируемые, разрывные и даже особые "странные" функции сосредоточенного и мгновенного воздействия, понимая сходимость решений к таким функциям не как равномерную поточечную сходимость, а как сходимость в среднем, или слабую сходимость.
В1. Задачи математической фиэики В частности, в нашем курсе мы будем широко использовать обобщенную функцию, которая была введена в математическую физику П. Дираком и получила название дельта-функции. С помощью такой функции мы будем описывать сосредоточенную передачу импульса в задачах о колебаниях тел, мгновенное сосредоточенное воздействие локального теплового источника в теории теплопроводности или распределение электрической плотности точечного заряда в теории электромагнитного поля.
В Приложении 1 приведены основные свойства дельта-функции Дирака как обобщенной функции сосредоточенного влияния. Устойчивость решения к малым изменениям исходных данных для корректности задачи по Адамару означает, что в такой задаче малые возмущения начального состояния могут приводить лишь к малым изменениям последующих состояний. Иначе говоря, решение задачи должно непрерывно зависеть от начальных данных, т е. если 0и1(0) — и2(0) 0 < е, то Ци1(й) -и2(е)Ц < Кг для всех 1 Е (О, 1о]. При этом для выражения близости элементов по нормам следует выбрать метрические пространства исходных данных (3) и решений (11). Одна и та же задача может оказаться корректной по постановке на одной паре метрических пространств 7 и 11 и некорректной на другой паре.
Требование устойчивости решения соответствует очевидному факту, что определение начального состояния системы всегда связано с процессом измерения, который имеет некоторую погрешность. Поэтому физически разумной следует признать только такую постановку задачи, когда достаточно малая погрешность в определении начального состояния системы не приводит к слишком большим ошибкам в прогнозе последующих состояний. Долгое время в математической физике считалось, что любая задача должна быть поставлена корректно.
Однако многие практически важные задачи являются некорректными по постановке. В частности, некорректными оказываются обратные задачи определения характеристик явлений по результатам измерений. К таким обратным задачам относится задача определения теплофизических характеристик материала по результатам измерения температуры в некоторых точках, а также 14 Введение задача гравиметрии по определению формы и размера аномалии плотности на основании данных измерения силы тяжести на поверхности Земли.
Школой акад. А,Н. Тихонова были разработаны специальные методы регуляризации, позволяющие решать некорректно поставленные задачи и получать из их решения важную информацию. Изложение этих методов можно найти в специальной литературе. Из всего сказанного выше, безусловно, вытекает и такой вывод: неполно, неправильно или неграмотно поставленную задачу не смогут "спасти" ни обобщенные функции, ни методы регуляризации. Поэтому одной из целей предлагаемого курса является развитие навыков правильной постановки задач математической физики.
В2. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка Большое число различных физических задач приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных, которые представляют собой соотношения между искомой функцией и, ее частными производными и независимыми переменными.
Наиболее часто в математической физике встречаются дифференциальные уравнения второго порядка. Для двух независимых переменных х и у такое дифференциальное уравнение представляют в общем случае соотношением (В1) г"(х, у, и, ив, ию иве, ивю иву) = О. Если дифференциальное уравнение линейно относительно старших производных, то его называют квазилинейным уравнением и записывают в виде аыи + 2а12и я+ ае2иуя+Г1(х, У, и, ив, ид) = О, (В2) где а11, а1е и а12 — некоторые функции независимых пере- менных.
В2. Классификации дифференциальных уравнений 15 Дифференциальное уравнение называют линейным, если оно линейно как относительно искомой функции, так и относительно ее частных производных. Такое уравнение записывают в виде а11и +2а12и р+а22ирр+Ь1и +Ь2ир+си+1(х, у) =О. (ВЗ) Если коэффициенты уравнения (ВЗ) не зависят от переменных х и у, то уравнение (ВЗ) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнениям (В2) и (ВЗ) можно поставить в соответствие квадратичную форм а111 + 2а121тн+ а22тн 2 2 и по аналогии с кривыми второго порядка дать классификацию типов уравнений по знаку дискриминанта. Выделим три типа уравнений в форме (В2) или (ВЗ), назвав их уравнениями гиперболического типа, если в некоторой точке М (или области С) .0 > О, параболического типа, если в точке М Х1 = О, и элликгкического типа, если в точке М 11 < О. Здесь ь1 = а12 — а11а22 — Дискримининат уравнения.
2 Принадлежность уравнения к одному из этих типов определяет некоторые общие свойства его решений и позволяет выбрать методы решения задач для такого уравнения. Уравнения с переменными коэффициентами могут изменять свой тип в различных точках. Примером такого уравнения смешанного типа является уравнение Трикоми ихк + хине = О, представляющее интерес для газовой динамики. Так как дискриминант этого уравнения Р = — х, то уравнение Трикоми является эллиптическим при х > О и гиперболическим при х < О. Введение В уравнении (В2) можно произвести замену независимых переменных (=~о(х,у), П=ф(х,у) (В4) с якобианом преобразования 2(х,у)= * " ~О, допускающим обратное преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
