XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.10, а), а может быть даже разрывной (рис. 1.10, б). Поэтому предельный переход последовательности гладких функций и„(х, С) можно рассматривать не в смысле равномерной сходимости, а в смысле сходимости по норме в некотором классе функций. Например, в качестве нормы 0и„— и0 может быть выбрана норма в классе функций, интегрируемых с квадратом, т.е.
+00 ~~и„— и0 = (шах / (и„— и)2Нх С ЬЗ. Оооощеииые решеиие 35 х 0 б х Рис. 1.10 В этом случае сходимость последовательности функций и„ к и следует понимать как сходимость в среднем. Поэтому, определяя обобщенное решение задачи математической физики, мы должны указать класс функций, для которых вводится такое решение. С.Л. Соболев дал другое определение обобщенного решения дифференциального уравнения, которое не прибегает к помощи предельного перехода в последовательности классических решений, а использует понятие обобщенных производных функций различных классов.
Рассмотрим, например, в некоторой области Й С Я~ волновое уравнение д и 1д~и — — а — =О, (х,8) ЕЙ. д11 дх1 (1.16) и — — а~ — е(х ей = О. й (1,17) Введем в рассмотрение класс так называемых пробных функций. Функция е1(х, 1) из этого класса имеет в области Й непрерывные производные, по крайней мере, до второго порядка включительно. Кроме того, пробная функция обращается в нуль вне некоторой внутренней части а области Й. Если уравнение (1.16) умножить на пробную функцию п(х, 1) и проинтегрировать по области Й, то можно записать следующее интегральное равенство: 36 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Дифференциальное уравнение (1.16) и интегральное равенство (1.17) зквивалентны в классе функций, имеющих непрерывные производные до второго порядка включительно. Это значит, что если функция и(х, 1) является классическим решением дифференциального уравнения (1.16), то для нее выполняется интегральное равенство (1.17), и, наоборот, если для любой пробной функции н(х, 1) выполнено интегральное равенство (1.17), то это возможно только длл функции и(х, 1), являющейся решением дифференциального уравнения (1.16).
Преобразуем уравнение (1.17) двукратным интегрированием по частям по переменным х и 1. Так как пробная функция и и ее производные обращаются в нуль вне области о, то внеинтегральные члены при интегрировании обратятся в нуль и в результате получим еще одно интегральное равенство (1.18) и — в — а — 2 ахба = О. й Назовем обобщенным решением дифференциального уравнения (1.16) в области И функцию и(х, 1), удовлетворяющую интегральному равенству (1.18) для любой функции п(х, 1) из класса пробных функций. Так как в процессе преобразования выражения (1.17) в (1.18) производные от функции и "перешли" к пробной функции и, в качестве обобщенного решения дифференциального уравнения (1.16) теперь можно рассматривать также и такие функции, которые не имеют во всех точках области Й производных, предписываемых дифференциальным уравнением (1.16).
Обобщенные решения дифференциальных уравнений широко применяются при решении задач для уравнений в частных производных, тем самым расширяется класс функций, используемых в современной математической физике, Отметим, что введенное с помощью интегрального равенства (1.18) обобщенное решение дифференциального уравнения в частных производных тесно связано с понятием обоби1еииой производной, которое распространяет классическое по- 1.3. Обобщенные решения нятие производной на некоторые классы недифференцируемых в обычном смыслед~зункций. Пусть й с Я вЂ” конечная область М-мерного евклидова пространства.
Рассмотрим две бесконечно дифференцируемые в области й функции и(х) = и(х1, х2,..., х1ц) и и(х) = = и(х1, х2,..., ху). Пусть при этом функция и(х) финитна в й, т.е. эта функция равна нулю как на границе области й, так и в некоторой узкой приграничной полосе достаточно малой ширины б > О. Тогда с помощью интегрирования по частям приходим к равенству | ди 1 ди — и(х) сЛ' = — ( и(х) — НК дх .1 дх. й й где о'к' = ох)с(х2 .
с(хк1 — элемент объема пространства Я И Полученное интегральное соотношение можно использовать для определения обобщенной производной функции и(х) даже в том случае, если эта функция не дифференцируема в обычном классическом смысле. Следуя С.Л. Соболеву, рассмотрим интегрируемую в Й функцию и(х) и определим обобщенную частную производную этой функции в области Й как такую функцию и (х)ьч —, хай, ди дх ' для которой справедливо тождество и (х) о(х) сЛ/ = — ~ и(х) — о)l, | ! 1" до 1' дх й й если в качестве функции и(х) взять любую финитную бесконечно дифференцируемую в Й функцию. Замечание 1.2.
Определяя обобщенную производную функции н(л) я-го порядка, финитную функцию е(я) можно считать непрерывно диффереицируемой в й лишь 1с раз. 1Р Можно показать, что если функция и(х) непрерывна в й вместе со своими производными (обычными классическими) 38 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Г Ии 1 Й) )х( — Нх = — ~ х — Ых Ых 1 Их Ии + / х — пх. Ых 0 Интегрируя по частям, получаем 0 0 +1 х — Их = — е(х) Их; х пе — Ых = — и(х) Нх. Ых 0 Поэтому О +1 (х! — пх = е(х) Их — и(х) Пх. Их до к-го порядка включительно, то существуют и ее обобщенные производные й-го порядка, которые совпадают при этом с обычными. Однако в общем случае из существования у Функции и(х) обобщенных производных й-го порядка не следует существование у этой функции обобщенных производных более низкого порядка.
Обобщенная производная в отличие от классической производной имеет некий "интегральный характер," так как в ее определение входит область Й. Правда, если и'(х) есть обобщенная производная функции и(х) в области Й, то и' (х) является также обобщенной производной функции и(х) в любой подобласти Й' области Й. В качестве примера нахождения обобщенной производной покажем, что на интервале ( — 1, +1) функция и(х) = (х~ имеет обобщенную производную и'(х) = еяп х. Действительно, пусть е(х) — произвольная непрерывно дифференцируемая на отрезке [ — 1, +11 функция, причем и( — 1) = = е(+1) = О.
Тогда 39 1.4. Коееоаыыы ыолуограыычеыыой етруыы Это соотношение можно записать как интегральное равенство еЬ (х! — е(х = — з9пх и(х) дх, Нх из которого следует, что обобщенной производной функции и(х) = ф на интервале ( — 1, +1) является функция и'(х) = зр~х. В этом примере интервал (-1, +1) включает в себя точку х = О, в которой функция и(х) = ~х( не имеет обычной классической производной.
1.4. Колебания полуограниченной струны Если при описании процесса колебаний струны учесть влияние одного из ее концов (х = 0), то можно проанализировать колебания в полуограниченной струне, вызванные граничным возмущением, и изучить процесс отражения волн от конца струны.
Сформулируем следующую начально-краевую задачу для полуограниченной прямой: он Д2н — =а —, 1>0, х>0 Д12 Дх2 — уравнение, и(0,1) =р(1), 1>0 (1. 19) — граничное условие и и(х,О) =у(х), х>0; и1(х, 0) = р(х), х > 0 — начальные условия. Здесь заданная функция р(1) описывает закон движения конца струны.
В частном случае она может быть периодической функцией времени. Учитывая линейность задачи (1.19), найдем ее решение в виде суммы и = ел + о решений двух вспомогательных задач, 40 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА одна из которых соответствует нулевым начальным данным, а другая - однородному граничному условию: (1.20) о(х, 0) = ~р(х); ы(х, 0)=0; нл(х, 0) = 0 о~(х, 0) = ф(х). Решение первой задачи (1.20) найдем с помощью применения преобразования Лапласа [Х1] по временной переменной 1 > О, После такого преобразования ш(х, 1)Ф ш(х, р), р(1)=;,и(р) и первая из задач (1.20) сводится к простой задаче для нахождения изображения 2~ ш 2- а — =р ~и, ~~2 х>0; (1.21) 0(0, р) = Й(р).
Общее решение уравнения (1.21) имеет вид й(х, р) = С1е а '+ С2е+а (1.22) Константу С2 следует положить равной нулю, чтобы для Вер > 0 исключить неограниченно растущие при х — > +со решения. Выполнял граничное условие в точке х = О, получаем (1.23) ти(0, р) = С1 = й(р). ш(х, р) = р(р) е (1,24) Из выражения (1.24) по теореме запаздывания [ Х1) можно найти оригинал (1.25) ( О, х>а1, который и является решением первой задачи (1.20).
дг 2д — =а —; дР дх2 ' в(0, 1) = р(1); Тогда решение (1.22) примет вид д',д' — =а —; д12 дх' и(0,$) =0; 1 ли Колебания оолуограни нонной струны 41 Такое решение имеет простой физический смысл. Так как возмущения в струне распространяются в виде волн с конечной скоростью, равной а, то колебания в точке с абсциссой х повторяют колебания струны в точке х = 0 с запаздыванием по времени на величину т = х/а. Кроме того, в любой момент времени 1 > 0 существует область х > а1, куда возмущения от конца струны еще не дошли. Решение второй задачи (1.20) проведем методом распространяющихся волн с продолжением начальных данных на всю прямую -оо < х < +со.
Для этого докажем сначала, что если в задаче (1.7), (1.8) о колебаниях на неограниченной прямой начальные данные являются нечетными функциями относительно точки х = О, то в этой точке в любой момент времени решение равно нулю. Действительно, если в задаче (1.7), (1.8) ~р(-х) = -~р(х) и ф( — и) = -4(х), то по формуле Даламбера (1.13) получим и(0,1) = + — Г ф(В)ЙР=О, 2 2а,/ и(х, 0) = 1о'(х) = ( -ф(-х), х < О, (1.2б) то ее решение, найденное по формуле Даламбера, х+аВ (1. 27) поскольку интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах равен нулю.