XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда в новых пере- менных уравнение (В2) примет вид Амит+ 2А12ие, + А22итте+ Ф(с, тт, и, ие, ич) = О. (В5) Здесь Аы = а|1с, + 2а12(,(о + а22с„; 2 2, А12 = а116,п, + а12(6,п„+ 6„о,) + а226„п„; А22 = аЫП. + 2а12нхну + а22П„. 2 г Так как А12 — А11А22 = (а12 — ама22) 1 (х, у), то рассма- 2 2 2 триваемое преобразование независимых переменных не меняет тип уравнения. Однако функции ~р(х, у) и ф(х, у) можно выбрать такими, чтобы в новых переменных часть коэффициентов обратилась в нуль, а уравнение (В5) приняло наиболее простой вид, который называют канонической формой уравнения.
Переход к канонической форме можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения аы(йу) — 2ат2дхду+ а22(йх) = О, (Вб) ду ~р~ ах ру или ау = — — * е(х. (В7) Уу которое называют характеристическим для уравнений (В2) и (ВЗ), а его интегралы — характеристическими кривыми, или характперисктиками. Если р(х, у) = С вЂ” общий интеграл характеристического уравнения (Вб), то вдоль характеристической кривой имеем В2. Классификапия диффереипиальиык уравнений 17 Подставляя уравнение (В7) в (В6), делаем вывод о том, что функция х = у(х, у) является решением дифференциального уравнения первого порядка а11гх + 2а12г гр + а22г„ = О. 2 2 (В8) Если в некоторой области С уравнение (В2) является уравнением гиперболического шипа (л) = а12 — а11а22 > 0), то в 2 этой области характеристическое уравнение распадается на два уравнения ь = Ч'1(х~ У)1 Ц = 9'2(х> У) приходим к уравнению (В5), в котором с учетом (В8) А11 = 0 и А22 = О.
Поэтому, разделив полученное выражение на 2А12 ~ О, приводим уравнение (В5) к канонической форме для уравнений гиперболического типа: (В10) ис, —— Ф1(~, г), и, ис, и ). Замечание В1. Если новые переменные г и П имеют вид и= иь(х, у) + уз(х, у) ~р~(х, у) — у~(х, у) то для уравнения гиперболического типа можно записать вторую каноническую форму ии — и„„= ф((г, и, и, ио и„).
(В11) Если в области С уравнение (В2) принадлежит к уравнению параболического типа (О = а — а11а22 = 0), то в этой области 2 характеристическое уравнение (Вб) в виде ИУ а12 дх а11 имеет только одно семейство характеристик: р(х, у) = С, Ь архе /ь" с(х а11 которые имеют два семейства характеристик: ~р1(х, у) = С1 и у2(х, у) = С2.
Тогда с помощью преобразования независимых переменных 18 Введение 1«оо — — Ф2Ы> О, и, и~, и„), Фг = — Ф/Агг (В12) Если уравнение (В2) в области С является уравнением эллиптического тина (Р = а12 — аыагг ( О), то характеристиче- 2 ское уравнение (Вб) приводит к двум уравнениям в комплексной форме: г ду а1г аыагг — а12 — = — ~3 Йх а11 а11 а11а22 а12 > О.
2 Эти уравнения имеют два комплексно-сопряженных интеграла Р1(х, у) = С1 и рг(х, у). = С2, где р1(х, у) = 1о(х, у) + + 1Ф(х, у), а рг(х, у) = уо(х, у) — 1Ф(х, у), причем функции ~р(х, у) и Ф(х, у) являются действительными функциями своих аргументов. Функции «1 = р1(х, у) и «г = рг(х, у) являются решениями уравнения (В8) в комплексной области. Поэтому, подставляя их в уравнение (В8), получим тождество [(а11Рх + 2а124«'Ру+ агг'Ру) (а11Фх + 2а12Ф«Фу + аггФу)) + + 21 [а11Угх Фх + а12(Р«Фу + 'РуФ«) + агг У'у Фу[ = О из которого следует, что после преобразования переменных С = 1о(х, у) и и = Ф(х, у) в уравнении (В5) АЫ = Агг, а А12 = О. Поэтому после преобразования уравнение (В5) можно записать в канонической форме для эллиптического уравнения: иее + и = ФЗ((, и, и, 1е, и„), Фз = -Ф/АЫ.
(В13) Тогда, полагая с = у(х, у) и и = Ф(х, у), где Ф вЂ” произвольная функция, линейно независимая с функцией р, приходим к преобразованному уравнению (В5), в котором Аы = О. Но так как для уравнения параболического типа А12 — А11Агг = О, то, г следовательно, и А12 = О. Поэтому после перехода к новым независимым переменным уравнение (В5) примет каноническую форму для уравнений параболического типа: В2. Классификация Лнфференцнаяьных уравнений 19 Линейное уравнение (ВЗ) с постоянными коэффициентами имеет одинаковый тип в любой области О. Такому уравнению соответствует характеристическое уравнение (Вб) также с постоянными коэффициентами. Поэтому яаракп»ерисп»икая»и линейного уравнения с постоянными коэффициентами являются прямые у = Ьх+6, а12 ~ Ю где й = ~ Р = а12 о11а22 аы С помощью указанных выше преобразований переменных уравнение (ВЗ) гиперболического типа (Р > 0) приводится к одной из снедующих форм: и~, + Ь»и~ + 62и, + си+ у (~, В) = 0 или и~~ — и „+ 6»иа + 62и, + си + Я, »») = О.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами параболического (Р = 0) и эллиптического (Р ( 0) типов имеют соответственно канонические формы: ип„+ 6»па+ 62иц+ си+ 1(~, »») = 0; и(( + и„о + 61 ия + 62и„+ си + Д~, »») = О. Если теперь ввести новую неизвестную функцию»»(~, »») по правилу и(~, »») = е"~ ни», »»), где»» и р — некоторые постоянные, то с помощью подбора значений этих постоянных канонические формы для линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно привести к виду »»д — ицц + 7и + 21((, »») = 0' ипц+ Ьця+ у»(С, »») = 0; ,д+, +» +У~,О) =0 го Введение Ьи — иц + ри = Дх1, х2, хз, 2); (В14) и2 = У(х1~ х2) х31 1)~ Ьи + ри = ) (х1, х2, хЗ). (В15) (В16) д2 д2 Здесь Ь = — + — + дх2 дх2 ственным переменным. д2 — — оператор Лапласа по простран- дхз~ для гиперболического, параболического и эллиптического типов уравнения соответственно.
Аналогичным образом может быть дана классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для случая более двух независимых переменных. Обычно в задачах математической физики число независимых переменных не превышает четырех, причем одно из них — время, а три других — пространственные переменные.
Поэтому в достаточно общем случае линейные дифференциальные уравнения второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов с постоянными коэффициентами можно свести к следующим каноническим формам соответственно: 1, ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1.УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1.1. Уравнение колебаний струны 2 1+ ди — = 1яа - в1п а - а Рассмотрим процесс колебаний тонкой упругой нити, которая может свободно изгибаться, не оказывая сопротивления изменению ее формы. В этом случае напряжения (силы натяжения), возникающие в упругой нити, направлены по касательной к ее мгновенному профилю.
Такую нить в дальнейшем будем называть струной. Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль оси Ох. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, считая, что перемещение частиц струны происходит в одной плоскости и все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох. Обозначим через и(х, 1) отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени 1. При фиксированном значении 1 график функции и(х, $) представляет собой форму струны в момент времени 1 (рис. 1.1). Далее будем рассматривать только малые поперечные колебания струны, когда смещения и и производные ди/дх столь малы, что их квадратами и произведениями можно пренебречь по сравнению с значениями самих величин. В этом случае ~г Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Рис.
1.1 Иэ предположения о малости колебаний следует, что длина выделенного участка струны в любой момент времени равна: Е =/ 1+~ — ) дх х2 — х1=Х (,ах) Это означает, что в процессе малых колебаний удлинением участков струны можно пренебречь. В этом случае, согласно закону Гука, натяжение Т в каждой точке струны не будет изменяться. Покажем, что натяжение Т можно считать не зависящим от точки приложения х. Действительно, для поперечных колебаний струны сумма проекций на ось Ох сил натяжения, действующих на концах участка струны М1М2, равна нулю: — Т(х1) сов о(х1) + Т(хз) сов о(хэ) = О, где а(х) — угол между касательной к струне и осью Ох в некоторый момент времени. Так как для малых колебаний сов а(х1) = сов а(х2) = 1, то Т(х1) = Т(хэ).
Таким образом, можно считать, что Т = Те = = сопвФ для всех значений х и 1. В случае вынужденных колебаний на струну действует внешняя распределенная сила з(х, 1), направление которой будем считать перпендикулярным оси Ох. 1.1. Ураакеяке колебаний струны Распределение масс в струне будем характеризовать линейной плотностью р(х), которая в общем случае изменяется вдоль струны. Для однородной струны постоянного сечения Р = ре = сопвС, Перейдем к построению математической модели процесса малых поперечных колебаний струны. В основе втой модели лежит закон динамики поступательного движения (закон Ньютона), который для механической системы имеет вид (1.1) — + где Р— импульс системы, равный сумме импульсов всех ее частиц; à — результирующая внешняя сила.
В качестве такой механической системы рассмотрим выделенный участок струны х1<х<х2. Учитывая, что движение зтой системы происходит в направлении, перпендикулярном оси Ох, запишем уравнение (1.1) в проекции на ось Ои: (1.2) Так как проекция суммарного импульса системы Х2 ди Р = р(х) — Их, дс то а2 ха еСР сС С' дп С' д2и — = — 1 р(х) — дх = 1 р(х) — с(х.
дС / д2 Проекция внешних сил состоит из двух слагаемых. Одно из них учитывает действие сил натяжения на концах выделенного участка струны, а другое — суммарную вынуждающую силу, Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА действующую на частицы этого участка струны. Эти проекции определяются (см.
рис. 1.1) следующими соотношениями: хг Г д2и = То / — ~Ьх; / дх2 /и( и Р1 = ТО вгп сг2 — ТО 81п о1 - ТО ~- х=хг ~х=х1/ г2 = У(х, х) Нх. х1 Подставляя полученные выражения в формулу (1.2), запишем ее в виде следующего интегрального равенства: хг | д2п д2п р(х) — — То в — У(х, 1) дх = О. д12 дх2 (1.3) х1 В силу произвольности выбора отрезка [х1, х2] из уравнения (1.3) следует, что в любой точке струны в любой момент времени 1 подынтегральное выражение должно обращаться в нуль, т.е. дги дги р(х) — = То — + 3(х, 1).
дР дх2 (1.4) дп 2дп =а2 — +Пх,1), д12 дх2 (1,5) где а= ~/Т~/р~; Дх, 1) = 3(х, 1)~ро. Полученное соотношение представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно искомой функции и(х, 2). Оно описывает процесс малых поперечных колебаний струны, и его называют неоднородным одномерным полное ы.и уравнением, или уравнением плоских волн.
Это уравнение гиперболического типа. В случае постоянной линейной плотности р = ро = сопяг уравнение колебаний однородной струны принимает вид 1.1. Уравнение нолебяний струям 25 Если 1(х, 1) жО, то однородное уравнение д2и г д2н — =а— д22 дх2 (1.6) описывает свободные колебания струны без воздействия вынуждающей силы. Уравнения вида (1.4) — (1.6) описывают не только колебания струны, но и ряд других физических процессов, которые называют волновыми. К ним, в частности, относят следующие: 1. Продольные или крутильные колебания стержня постоянного поперечного сеченвя (рис. 1.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
