XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для продольных колебаний п(х, 1) — продольное смещение в момент времени 2 элемента стержня с ксюрдинатой х от своего положения равновесия, а а =;/Е(р, где Š— модуль Юнга материала стержня, Р— плотность. Рис. 1.2 Для крутильных колебаний и(х, 2) — угол поворота поперечного сечения стержня с координатой х в момент времени 1, а а = ~(С/1. Здесь С вЂ” крутильная жесткость стержня, а 1 — момент инерции единицы длины стержня относительно его продольной оси. Для стержня кругового сечения радиуса В их д4 д4 можно рассчитать по формулам С=С вЂ”; 1=р —.
Поэтому 2 ' 2 а= ~/Стр, где С вЂ” модуль сдвига материала. 2. Плоские акустические (звуковые) волны в жидкостях и газах (рис. 1.3). В этом процессе волновому уравнению подчиняются возмущения давления р и плотности р среды или потенциал скорости. Для нээнтропических (адиабатических) течений сред с уравнением состояния р = у(р) скорость а распространения возмущений (скорость звука) определяется выражением а = — ~ = у (РО). В частности, если р = 2 р <~~ Р=Ре 26 1.
чРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Рис. 1.3 = ро(роро)э, где 7 = сг/с~ — показатель адиабаты газа, то а = = ° /~р~/д~, где ре и ре — невозмущенные значения давления и плотности среды. 3. Распространение электрических возмущений в линии (рис. 1.4) при отсутствии потерь.
Для такого процесса и(х, 8) — напряжение или сила тока в момент времени 1 на элементах проводов, имеющих координату х. Если Ь и С вЂ” распределенные индуктивность и емкость проводов на единицу длины, то а = Рис. 1.4 4. Плоские электромагнитные волны в непроводящих средах (рис. 1.5). Здесь и(х, 1) — напряженность электрического (Е) или магнитного (Н) полей; а = с~ /гр, где с — скорость света в вакууме, с и р — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно.
Рис. 1.5 ЬЗ. Задача Коши дпе гиперболического уревяепяя 27 1.2. Задача Коши длн гиперболического уравнения <Эормула Даламбера. Рассмотрим свободные колебания бесконечнойструны,т.е.достаточно длиннойструны,влиянием концов которой на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами, вызывающими такие колебания, могут являться начальные отклонения < трупы от равновесного положения или сообщенный струне начальный импульс, обусловливающий некоторое распределение скоростей частиц струны.
Поэтому, описывая свободные колебания бесконечной струны, мы должны решить однородное уравнение свободных колебаний д',д'и — = а —, 1) О, — оо < х < +ос, (1.7) д~г = дх» при начальных условиях ди( и!< о — — <р(х); — ! = 4(х), дФ~ =о (1.8) (=х — а1; Ч=х+а1. Преобразуя производные к новым переменным, находим: и< = и~~<+ ичд< = — аи~+ аич — — а(ич — и~); ии = а (ич~6+ иччЧ< — ид6 — иучу<) = а (иК вЂ” 2%у + "чч)' 2 и = и~~, +ичч = ие+ич,' иге = и1~(к + и~ Чк + и, ~~„+ иЧЧЧе = ид + 2игя + иЧЧ. где функции <р(х) и ф(х) заданы на всей числовой оси. Начальные условия (1.
8) вполне однозначно определяют колебания бесконечной струны. При этом задачу (1.7), (1,8) называют задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Решение этой задачи проведем мешодом Далам6ера. Для этого введем новые независимые переменные 28 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнение (1.7) в новых переменных запишется в виде следующего дифференциального уравнения для функции и(С, и): дги — = О.
д~д0 Непосредственной проверкой можно установить, что атому уравнению удовлетворяет функция вида и(С, О) = и1(0+ иг(0) где и1(С) и иг(0) — произвольные дважды дифференцируемые функции. Следовательно, функция и(х, о) = и1(х — ао) + иг(х + а1) (1.0) и(х, 0) = и1(х) + иг(х) = у(х), Мх О) = — 1(х)+ г( ) =Ф(х). (1.10) (1.11) Интегрируя второе равенство в пределах от хо до х, получаем 1 Г иг(х) — и1(х) = — ~ Ид) дд + С, (1.12) а хо где хе и С вЂ” постоянные.
Из системы уравнений (1,10) и (1.12) имеем 1 1 Г С и1(х) = — ~р(х) — — / ф(О) ад — —; 2 2а,/ 2' яо 1 1 С иг(х) = — у(х) + — / фд) ао+ —, 2 2а.l 2 хо удовлетворяет уравнению (1.7). Определим теперь и1 и иг таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (1.8), Тогда 1.2, Задача Коши дел гиперболического уравиеиии 29 Подставляя теперь функции и1 и и2 в уравнение (1.9), находим 1 1 и(х, 1) = — ~р(х — аС) — — / Ф(0) ЫО+ 2 2а / ко к+ай 1 1 + — <р(х + а1) + — / ф(В) ай, 2 2а „I хо или 2а Если функция у(х) имеет производные до второго порядка включительно, а функция Ф(х) — до первого порядка, то формула (1.13) определяет решение задачи Коши (1.7), (1.8).
При этом соотношение (1.13) называют формулой Даламбера, Из формулы Даламбера следует, что задача Коши (1.7), (1.8) для волнового уравнения имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных условий, т.е. если рр1(х)— — ~02(х)|с о1 и [ф1(х) — ф2(х)[ с о2, то [и1(х, Й) — и2(х, Й)[(ер при" чем е — ~ О при Б1 2 -> О. Это свойство непрерывной зависимости решения от начальных условий обеспечивает корректность постановки задачи Коши для гиперболического уравнения, являющуюся следствием физической детерминированности описываемого волнового процесса.
Распространение волн отклонения. Пусть в задаче Коши (1.7), (1.8) ф(х) гн О, т.е. струна колеблется только в результате ее начального отклонения, форма которого определяется функцией фх). Решение (1.13) принимает в этом случае простой внд: 1 и(х, Е) = — [~р(х — аЕ) + р(х+ аЕ)). (1.14) Зо Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА х, хо+ае~ Рис. 1.6 0 хя хз ха+а~я х Дадим физическую интерпретацию каждого слагаемого в этой формуле. Для этогорассмотрим сначала функцию и1(х, 1) = 1(х — а1).
Изобразим график этой функции в различные моменты времени 1=0, 1=11 И 1=12 (12 ) 11) (рис. 1.6). Видно, что функция и1(х, 1) представляет собой неизменный профиль 1(х), перемещающийся вправо в положительном направлении оси Ох с конечной скоростью, равной а. При этом отклонение в точке х2 повторяет отклонение в точке х1 лишь со сдвигом по времени на время запаздывания т = (хз-х1)/а. В подвижной системе координат, движущейся вправо со скоростью а, наблюдатель будет видеть все время один и тот же как бы "застывший" профиль струны.
Такой процесс распространения отклонений (возмущений) в струне представляет собой волновой процесс. При этом волну, бегущую с постоянной скоростью а вправо вдоль оси Ох, назовем прямой бегущей волной. Наглядное изображение такого волнового процесса можно получить, вводя плоскость состояний (х, 1)и описывая исследуемый процесс в верхней полуплоскости 1> 0 (рис. 1.7). Функция и1(х, 1) сохраняет постоянные значения на линиях х-а1=сопяФ плоскости (х, 1), которые являются характеристиками волнового уравнения (1.7).
Предположим теперь, что функция ((х) отлична от нуля лишь в интервале х1 < х < х~ и равна нулю вне этого интервала. 1.2. Задача Коши для гипербояического уравнения 31 х! х2 Рис. 1.7 Функцию такого вида называют ~инпгпмой, а отрезок [х1, х2] — носителем этой финитной функции. Для этого случая на плоскости состояний проведем через точки (х1, О) и (х2, О) характеристики х-а1= х1 и х — а1= х2 (см. рис.
1.7). Они разбивают полуплоскость 1> 0 на три области. В области 1 функция и1(х, 1) = 1(х — а1) отлична от нуля, причем характеристики х — а1= х1 и х-аг= х2 выделяют передний и задний фронты распространяющейся направо волны, так как на плоскости состояний они отделяют область возмущений 1 от невозмущенных областей 11 и 111, где функция и1(х, 1) равна нулю. Замечание 1.1. Функция 1(х — ае) не только является решением волнового уравнения (1.7), но и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка — +а — =О, д1 д1 д1 дх выделяющему прямые бегущие волны в волновых процессах. ф Очевидно, что функция и2(х, 1) = 1(х+а1) представляет собой волну, распространяющуюся с постоянной скоростью а влево в отрицательном направлении оси Ох. Такую волну назовем обратной бегущей волной.
На плоскости состояний процесс распространения обратной волны для финитной функции 1" 1х) можно проиллюстрировать с помощью рис. 1.8. Функция п2(х, 1) = 1" 1х+а1) постоянна 32 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА х, хх х Рис. 1.8 вдоль характеристик из семейства, описываемого уравнением х+а$ = сопв1. Две характеристики х+ а1 = х1 и х+а1 = хэ, проходящие через точки (х1, 0) и (хэ, О), выделяют фронты обратной волны. Таким образом, решение (1.14) задачи о распространении волн отклонения представляет собой суперпозицию (наложение) прямой и обратной бегущих волн, профиль которых с точностью до множителя, равного 1/2, совпадает с профилем начального распределения отклонений струны. Распространение волн импульса. Пусть теперь в задаче Коши (1.7), (1.8) р(х) ь— е О, а струна колеблется в результате сообщения ее частицам в начальный момент времени импульса (скорости).
Решение Даламбера (1.13) в этом случае запишется в виде х+аС и(х, й) = — / ф(0) ЫО. 1 Г 2а / (1.15) х — ш Ф( ) = — /Г Ф(В) ДВ, 1 а/ хо являющуюся с точностью до постоянного множителя перво- образной для начального распределения скоростей ф(т). Покажем, что и это решение представляет собой суперпознцию двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях со скоростью а. Для этого введем функ- цию К2. Задача Коши длл гиперболического ураеиеиил 33 Тогда формуле (1.15) можно придать вид 1 и(х, 8) = — (Ф(х+ а1) — Ф(х — аФ)].
2 Такая форма решения показывает, что и в случае сообщения частицам струны начального импульса колебания распространяются в виде прямых и обратных бегущих волн. Метод характеристик. Каким образом рассчитать возмущение п(хо, 19) в некоторой точке струны с координатой хО в момент времени $9 в общем случае распространения волн отклонения и волн импульса? Для этого на плоскости состояний (х, Ф) построим треугольник (рис. 1.9), проведя через точку МО(хе, 19) две характеристики х~а1 =сопяФ, которые пересекут ось Ох в точках М1 и М2 с абсциссами х1 = хо-а$0 и х2 = хо+а19. Такой треугольник М1 МоМ2 назовем характеристическим треугольником. О ху 'еа пГо лл хо+оба Рис.
1.9 Из формулы Даламбера (1.13) следует, что возмущение точки струны с координатой хб в момент времени 89 определяется только значениями начального отклонения в вершинах М1 и М2 характеристического треугольника и значениями начальной скорости частиц струны, расположенных на основании М1 М2 этого треугольника. Действительно, формула (1.13) при х = хе и 1 = 19 дает (Мо) = -Ы(М )+д(М2)]+ — ~' ив) 1е. 1 1 2 2о Му ие и уу ВИБЛИО".'Чиг а колол за ф суре уио и ил асс 34 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Это свойство решения задачи Коши (1.7), (1.8) обусловлено конечной скоростью распространения возмущений в процессах, описываемых волновым уравнением гиперболического типа.
1.3. Обобщенные решения Формула Даламбера (1.13) определяет единственное решение задачи Коши и в том случае, когда начальный профиль струны задается кусочно-гладкой функцией ~р(х), а начальные скорости частиц струны описываются кусочно-непрерывной функцией ф(х). Такое решение уже не будет классическим решением, так как формально функция и(х, С) из уравнения (1.13) при этом может не удовлетворять уравнению (1.7) в некоторых точках плоскости состояний (х, С), где соответствующие частные производные функции и(х, С) не определены. Такое решение задачи математической физики, которое в некоторых точках не имеет всех производных, предписываемых дифференциальным уравнением, называют обоби4енным решением.
Определение 1.1. Функцию и(х, С) назовем обобисеннььк решением задачи Коши (1.7), (1,8), если существует последовательность и1(х, С), ит(х, С),..., и„(х, С),... гладких классических решений этой задачи, такая, что Ци„— иЦ -+ 0 при и-+00. ф Предельная функция и для последовательности (и„) уже не обязательно всюду дифференцируема (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
