XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 9
Текст из файла (страница 9)
К ним, в частности, относятся следующие. 1. Диффузионный процесс переноса массы. В таком процессе функция и(х, 2) описывает нестационарное поле объемной концентрации диффундирующего вещества в неподвижной среде, с — коэффициент пористости, а 7с — коэффициент диффузии. Параметр р в этом случае следует формально считать равным единице. 2. Диффузия частиц (например, нейтронов) в веществе. При описании такого процесса и(х, 2) — концентрация частиц в точке среды с координатой х в момент времени 2, я — коэффициент диффузии частиц, а рс = 1. Для такого процесса удельная мощность источников 8' обычно зависит от концентрации ча- где а2 = 7с7'(рс) — постоянная, которую называют козффициен- 1 том температуропроводности материала; 7'(х, 1) = — У(х, 2).
рс Уравнения (2.7) и (2,8) являются дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Они лежат в основе математических моделей, описывающих процесс передачи теплоты в неоднородных и однородных телах с одномерным температурным полем. Будем называть эти уравнения уравнениями тпеззлоззроводмоспзи. 64 г. уркннкния плрлволи чиокото типА стиц, причем У(и) = аи — ди, где а — коэффициент размножения частиц, а д — коэФфициент поглощения.
3. Проникновение (диффузия) магнитного поля в проводящую среду, когда можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости. Для такого процесса и(х, 1) — напряженность магнитного поля, аг = (арро) о — удельная злектропроводность материала, р — его магнитная проницаемость, ио — магнитная постоянная в СИ. Начальные и граничные условия. Чтобы с помощью уравнения теплопроводности описать эволюцию температурного поля в теле, необходимо знать распределение температуры в начальный момент времени, т.е. задать начальное условие. Для рассматриваемого одномерного процесса начальное условие и(х, 0) = ~р(х), 0 < х < 1, (2.9) и(6 — — ЯР, 1), Р Е Я, й > О. (2.10) Здесь ЯР, С) — известная функция точки Р поверхности Я и времени 1.
2. Граничное условие второго рода, когда на поверхности Я тела задают тепловой поток д„= ~. М, где 9~ — вектор плотности теплового потока, а М вЂ” единичная внешняя нормаль к ди поверхности Я. По закону Фурье д„= — /с(бтас)и М) = — Й вЂ”. дп задается в виде известной зависимости ~р(х). Кроме того, требуется знать тепловой режим на поверхности тела 5, т.е. задать граничные условия во всех точках поверхности тела в любой момент времени. В одномерном процессе соответствующие граничные условия задаются на граничных поверхностях слоя х = 0 и х = 1. Граничные условия в задачах теплопроводности могут быть заданы различными способами.
1. Граничное условие первого рода, когда в каждой точке поверхности тела задают температуру Н1. Одномерный процесс распространения теплоты 65 Следовательно, граничное условие второго рода задает на по- верхности Я нормальную производную температуры и может быть записано в виде % — -е(Р 1), Р~Я, 1)О, д~ (2.11) где В(Р, $) = -ди(Ь вЂ” известная функция. В случае теплоизолированной поверхности ЩР, с) = О и дп мы имеем однородное условие — = О на всей поверхности Я, дп 3. Граничное условие третьего рода описывает тепловой режим на поверхности тела, соответствующий конвективному теплообмену по закону Ньютона с окружающей внешней средой, имеющей температуру и'(Р, ~).
По закону Ньютона плотность теплового потока на границе тела пронорционэльна разности температур тела и окружающей среды, т.е. д„ = 01 г1 = пт(п — и ). Коэффициент теплообмена (теплоотдачи) сет зависит от свойств среды, а в общем случае и от разности температур (и — ье). В большинстве задач, однако, мы будем считать коэффициент сет постоянным, не зависящим от температуры и одинаковым на всей поверхности тела. Итак, граничное условие третьего рода дает связь между . дп температурой и и ее нормальной производной — в любой точке дп поверхности тела — + Ьи = Ьпв(Р, $), Р Е Я, 8 ) О, (2.12) дп где Ь = свт/й. а — +ли= у(Р,Ф), РЕЯ, Ф>0, дв (2.13) где а и 13 — некоторые константы; Ч(Р, 1) — заданная на поверхности тела функция.
ф Замечание л.л. условия первого, второго и третьего рода можно формально объединить в виде обобщенного граничного условия 66 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА -Л вЂ” = свози, Р Н Я, 1 > О. ди (2.14) Здесь сз — степень черноты материала, которая в общем случае зависит от температуры; сто — постоянная Стефана- Больцмана. Правая часть условия (2.14) степенным образом, т.е. нелинейно, зависит от температуры. 5.
При описании температурных полей в многослойных телах и оболочках на поверхности контакта двух тел используют граничные условия сопряжения, или, как их иногда называют, граничные условия четвертого рода. Для идеального теплового контакта зти условия и1(Р, 1) = иг(Р, 1), Р Е Е, 1) 0; ди1 ди2 л1 — =л2 —, РеЕ, 1)0, (2.15) означают равенство температур и тепловых потоков на контактной поверхности Е. Для неидеального теплового контакта с термическим сопротивлением В на поверхности контакта тел имеет место равенство тепловых потоков, но появляется пропорциональная им разность температур тел, т.е. выполняется условие 1 ди1 ди2 — (иЗ вЂ” и1) = Й1 — = ЙЗ вЂ”, Р Е Е, 1 > О, (2.16) В ди дц ' где М вЂ” внешнял нормаль относительно первого тела к контактной поверхности Е.
Полагая в условии (2.13) а = О, ~9 = 1, а 7(Р, Ц = ЯР, 1), получим условие первого рода (2.10). Если же а = 1, д = О, а у(Р, 1) = 8(Р, 1), то условие (2,13) переходит в условие второго рода (2.11). И наконец, полагая сс = 1, д = Ь, а "1(Р, 1) = = Ьи'(Р, 1), имеем граничное условие третьего рода (2.12). 4. Нелинейное граничное условие. Если основным механизмом уноса знергии с поверхности тела является излучение, то по закону Стефана- Больцмана 2.2.
Крмвые задачи для уравнеяия теалопроеоляостя 67 2.2. Краевые задачи для уравнения теплопроводности Решение краевых задач методом Фурье. Сформулируем задачу об отыскании нестационарного температурного поля и(х, 1) в плоском слое конечной толщины 1, имеющем в началь-' ный момент времени температуру <р(х), Если на поверхностях х = 0 и х = 1 этого слоя происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей нулевую температуру. Требуется найти решение линейного однородного параболического уравнения ди д~и — =а —, 0<х<1, 1>0, а дхз' (2.17) удовлетворяющее при 1 = 0 начальному условию и(х, 0) = у(х), О < х < 1, (2.18) и однородным граничным условиям третьего рода ди — а1 — +д1и =О, 1>0; аг — +13ги =О, 1>0.
(2.19) Следуя методу Фурье разделения переменных, нетривиальные решения уравнения (2.17), удовлетворяющие граничным условиям (2.19), будем искать в виде и(х, 1) = Х(х) Т(1) ф О. (2.20) Подставив предполагаемую форму решения (2.20) в уравнение (2.17) и разделив переменные, получим 1 Т'(1) Х" (*) = — Л = сопя1. аз Т(1) Х(х) Поэтому функции Т(1) и Х(х) должны быть определены как решения дифференциальных уравнений Т~(1) + Ла Т(1) = 0; (2.21) Х" (х) + ЛХ(х) = О. (2.22) 68 г.
урлннкния нлрлнолнчкокого типк Граничные условия (2.19) с учетом (2.20) дают условия для функции Х(х) в виде — а1 Х'(0) + 131 Х(0) = 0; агХ~(1) + ~32Х(1) = О. (2.23) Как показано в Приложении 2, задача Штурма- Лиувилля (2,22), (2.23) имеет нетривиальные решения только при опреде,г ленных, собственных значениях Л„= ~ — ), п = 1, 2,..., кото~Ив рые можно выразить через неотрицательные корни п„трансцендентного уравнения св 2 (2.24) (аФ21 + гРАИ' а соответствующие им собственные функции Х„(х) имеют вид а1~/Л Х„(х) = в)п(~/Л„х+ 9„), д„= агсгб А Квадраты норм зтих функций .
г 1 ~ (с гс И4+Рпб211) ~МЫ+ ~2А1) ( „2 „2 + 3212) ( „2 2 + 3212) При Л = Л„для выражения (2.21) запишем общее решение -Л агВ Тя(г) = Се е ~"~ ~, Сп = сопвг. (2.25) Подставив найденные функции Х„(х) и Т„(г) в выражение (2.20), получим частные решения уравнения (2.17), удовлетворяющие граничным условиям (2.19): Л ага и„(х, г) =Те(г)Хп(х) = С„е "~ в1п(/Л„х+д„). Составим формально ряд, членами которого являются функции и„(х, г): и(х, в) = ~г С„е ~"~ ~в1п(~/Л„х+В„). (2.26) ажг 2.2. Краевые задачи длл уравяеяял теилоироводиоети 69 Функция и(х, 1) удовлетворяет граничным условиям (2.19), так как этим условиям удовлетворяет каждый член ряда (2.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
