XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Опишем теперь свойства решения (2.66) задачи (2.58), (2.59) о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника. 1. График функции и(х, 2) при любом фиксированном 2 > 0 соответствует кривой Гаусса. Он симметричен относительно прямой х = 0 (рис. 2.4) и при х = 0 достигает максимума, равного Я 2 / а2с 2. Площадь под кривыми и(х, 2ь) одинакова и равна Я. 2.о. Задача Коши дат урааиеииа теплопроаодиоети 87 Рис. 2.В дС 2д2С вЂ” =а —, 1)0, хЕ И; д~ дх2 ' (2.67) С(х, хе, О) = Ю(х — хо).
С учетом формулы (2.66) решение задачи (2,67) запишем в виде 1 (а-» ) т С(х, хо, ~) = е 4 а~! 2/ б (2.68) Эту функцию называют также фрнгсе4ией Грина для одномерного уравнения теплопроводности. Отметим следующие свой- 3. В каждой фиксированной точке х ф 0 функция и(х, $) как функция времени сначала возрастает от нуля при 1 = 0 до значения и„, = (~/2тге ~х~) ~ при ~ = Ц„= х2/(2а2), а затем монотонно убывает, стремясь к нулю при 1 — ~ +со (рис.
2.5), Фундаментальное решение. Фундаментальным решением С(х, хе, 1) уравнения теплопроводности на бесконечной прямой назовем решение следующей задачи Коши: 66 г. урлвнения пдрдволичкокого тип/с ства этой функции: С(х,~,С) =С(~, х, С); С(х, (, 0) = б(х — ~); а(х, 6 С) сСх = 1; дС С/, — -> 0 при )х( -+ со; дх дС С, — -> 0 при )() -+ оо. ' д( формула Пуассона. Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности: гдн 1, — =а —, С>0, хЕ Я; дС дхг и(х,О) =1о(х), хЕ Я . (2.69) (2.70) и(х, С) = ср(~) С(х, ~, С) сС(.
(2.71) Сначала установим, что несобственный интеграл в формуле (2.71) сходится. Пусть (~р(х)) < М. Произведем в интес — х граве (2.71) замену переменного интегрирования з = 2ъ/агС ' сС~ ~Сз = . Тогда ЫогС 1 Г и(х, С) = — / ~р(х+21/огС я)е Я с(я. ,л/ Покажем, что для любой ограниченной функции ~р(х) решение задачи (2.69), (2.70) с помощью функции Грина представимо в виде +со 2.о. Задача Коши для ураапеиия теплопроаодиости 89 Отсюда М Г аа (и(х, с)( < — / е сЬ = М.
Таким образом, интеграл (2.71) сходится, притом равномерно для 1 > Ои-оо < х < +со. При 2 = О функция и(х, $), определяемая соотношением (2.71), удовлетворяет начальному условию (2. 70). Действительно, и(х, 0) = у(~) С(х, с, 0) Н~ = ~р(~) Б(с — х) Нс = у(х), При выводе формулы (2.71) заменим в задаче Коши (2.69), (2.70) переменные х и 1 на с и т и введем в рассмотрение функцию С' = С(х, с, ~ — т). Тогда функции и(с, т) и С' будут удовлетворять уравнениям в частных производных ит=а иц, т>0, сй Я; 2 С.'=-а С~~, 0<т<2, (бЯ.
Умножим первое уравнение на С", а второе на и и сложим их. Получим равенство д, 2 У, д2и д2С''ч — (иС)=а ~С вЂ” — и — ). дт 1, д~2 д~2 )' Проинтегрируем это равенство по ( в пределах от -со до +со и по т в пределах от 0 до ~. Тогда после интегрирования по частям получим +оо Ф (иС И~ осК = С' — — и — с1т, (2,72) -оо 0 90 2 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Если предполагать, что функция и(С, т) и ее производная ди — ограничены при ф — ~ оо, то в силу свойств функции Грина ас интеграл в правой части равен нулю.
Отсюда и(с, й) С(х, с, О) сК = и(с, О) С(х, с, С) ас. (2.73) Заменив в (2.73) С(х, с, О) = С(с, х, О) на б(с — х), а и(с, О) на ~р(~), получим соотношение и(4, ~) б(с — х) ос = у(с) С(х,с, ~) вч, или и(х, 1) = у(~) С(х,с, 1) Н~.
Формулу +ОЭ 2 1 Г (~ — О и(х, й) = / ср(~)е 4 ~~ ас, (2.74) 2ъЯа~й ./ определяющую решение задачи Коши (2.б9), (2,70) для уравнения теплопроводности, называют формулой (интвегралом) Пуассона. Из формулы Пуассона, в частности, следует, что если функция у(х) финитна, т.е. равна нулю вне некоторого отрезка [а, 6], что соответствует локализованному тепловому возмущению в начальный момент времени, то в любой сколь угодно отдаленной от отрезка [а, 6] точке с координатой х функция и будет отлична от нуля для сколь угодно малых моментов времени. Этот вывод линейной теории теплопроводности следует интерпретировать как бесконечную скорость распространения тепловых (температурных) возмущений. 2.5.
Задача Кошм Лля ураамеммя темлопроаодмоетм 91 Неоднородное уравнение теплопроводности. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием — =а — +Дх,1), 1>0, ди 2 д~и д1 дхт хЕ Я; (2.75) и(х, 0) = О, и(х, 1)4 й(Л, $) = — и(~, 1) е ' ч И~; ~/2я .г У(х, 1)=: У(Л, 1) = — Г У((, 1) е '~~ еК. ~/2я .г (2.7б) Тогда с учетом того, что иях(х, 1) =: — Л й(Л, г), из уравнения 2 (2.75) для изображения й(Л, 1) получаем задачу +Л а й(Л,1) =ДЛ,1); г(1 й(Л,О) =О, решение которой имеет вид й(Л, 1) = Г'(Л, т) е Л а (à — т)И О Применяя обратное преобразование Фурье, получаем +оо 1 Г— з и(х 1) = Йт — ДЛ т)е о ( т)е' ~гИ.
~/2~г считая функцию Дх, 1) при ~ > 0 абсолютно интегрируемой в интервале — оо < х < +оо. Применим к и(х, 1) и Г'(х, 1) преобразование Фурье [ Х1): Ог 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Подставим вместо функции Г(Л, т) ее выражение из (2.76). Тогда и(х, 1) = в +оо — — 6т,)'(ч, т) сК е о ( т) е'"(~ ~) сКЛ. (2.77) 2я Π— оо На основании формулы Эйлера е'Л(* ~) = сов Л(х — () +лз)пЛ(х — 0 соотношение (2.77) можно представить в виде и(х, Х) = Неи(хй) + ъ'1ти(х, С). Так как решение задачи (2.75) мы ищем в классе вещественных функций, то 1т и(х, 1) = О, и уравнение (2.77) принимает вид и(х, 1) = В +оо +оо 1 Г -Лва В-т = — / йт / Г'(~, т)с)~ / е (в т) созЛ(х — С)ИЛ.
(2.78) 2я/ Π— оо Вычислим внутренний интеграл в выражении (2.78). Для этого рассмотрим функцию 1(о, р) для двух параметров а и ~3, определив ее как вЛв 1(а, П) = е '* Л сов)уЛс)Л. Дифференцируя этот несобственный интеграл по параметру ~9, получаем +оо ( -'л' . 43 .) — — — 1 Ле ~ в)п~УЛИЛ, 2.5. Задача Коши для уравнения теплопроаодноети или — — вгп)ЗЛИ е ~ +оо — вгв)ЗЛе ~ " ) — — 2 / е ~ сов)ЗЛо(Л = 2ег~ ,~ Л 2аг / +ОО гЛг = — — / е ~ сов,9ЛЫЛ = — — 1(а,,9). Р 2,„2 / 2сг2 Ы 9 — = — — 1. 49 2аг (2.79) Кроме того, функция 1(ег, ~9) удовлетворяет условию -о Л 1(се, О) = е ~ е(Л = ~/н/сг. (2.80) Интегрируя уравнение (2.79) с учетом условия (2.80), получаем 1(сг, ~3) = ! е " Л сов,ВЛИЛ = — е аа — г Следовательно, ,-Л (г-т) „,Л( Ц,~Л тл г г г е ая ('-'> = 2и С(х, 1, г — т).
ш а2(г — т) Таким образом, для функции 1(сг, ~3) получено дифференциальное соотношение 94 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Подставляя значение этого интеграла в формулу (2.78), получаем решение задачи в виде и(х, 1) = Щ, т) С(х, (, 1 — т)ЙРЙт. (2.81) 0 -ао Используя свойство линейности, теперь можно утверждать, что суперпозиция решений (2.71) и (2.81) и(х, 1) = ьо(о С(х, ~, 1) дС+ 1 +со + У(~, т) С(х, (, 1 — т) с)~ с6т (2.82) 0 -со является решением задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием Е до 2д~ 2 1. В1 Вх2 э( ' )' ' ' (2.88) и(х, О) = у(х), х Е Я .
Вопросы и задачи 2.1. Привести к канонической форме уравнение с постоянными коэффициентами д и дэи дхи ди а — + 2а — + а — — с — + и = О, дх' дхду ду' ду д'и с де 11„ Ответ: — =- —,ему — х,у=х, и(с,у) =е "и(с, 0). дпэ а дс' 2.2. Найти иестационариое распределение температуры в слое 0 с х (1, первоначально нагретом ло температуры Пв = сопли если начиная с момента времени 1 = 0 температура граничных поверхностей х = О и х = 1 поддерживается равной нулю. Вопросы и задачи 95 4Уа ч 1 ) (2Л+ 1)~лез~1) . (2Л+ 1)ггх Огпеепх и(х, 1) = — гз — ехр~- гг 2 ° 2Л+1 ~ Н ) ) з1п ь-о 2.3.
Описать процесс выравнивания концентрации вещества в растворе, заключенном в плоскую кювету, ограниченную плоскостями х = 0 и х = 1, непроницаемыми длн вещества. В начальный момент времени все вещество равномерно распределено в слое 0 < х < Л, Л < 1 с концентрацией Со = гопак Коэффициент диффузии вещества равен О.
пггЛ Олгеепк и(х, 1) = Со ~ — + — 7 е ! "1" г ' соз— (1 л~ г и л=! 2.4. Найти нестационарное температурное поле в плоском слое конечной толщиной 1, есчи начальное распределение тем!!ературы в слое описывается функцией ж У!=сопл!, 0<х<Л; и(х, 0) = У2 сопл!! Л < х < 1. Рассмотреть два случая граничных условий: а) граничные плоскости х = 0 и х = 1 при 1 > 0 поддерживаются при нулевой температуре; б) граничные плоскости теплоизолированы. Оглеепк а) и(х, 1) = плЛ 1 2ч~! ! (и! — (-Ц" О,] — (и, — и,) с е ( ) ейп —; гг и 1 б) и(х, 1) = пяЛ ( 2 Е!)зг! ( ! г лх = и, + (О, — Ог) -+ -' Т л с-~ 2.5, Дан тонкий однородный стержень с теплоизолированной боковой поверхностью длиной 1, начальная температура которого равна и(х, 0) = = Ах/1 для 0 < х < 1.
На конце стержня х = 0 температура поддерживается равной нулю, а температура конца стержня х = 1 изменяется по закону и(1, 1) = .4е ', А = сопл!. Найти нестационарное распределение температуры в стержне. 96 г. урлннкнин плрлноличкското типл „( 1).~,-('~)" Отпеепи и(х, 1) = — е + — ~ -(- -" — ) а1п —. 1 «=! 2.6. Описать процесс разогрева неограниченной пластины толщиной 21 одинаковыми постоянными тепловыми потоками, поступающими через граничные поверхности х = -1 и х = +1. Начальную температуру пласти- ны принять равной нулю.
Указание. Учитывая симметрию задачи, рассмотреть ее в области О ( х ( 1, записав условие отсутствия теплового потока через плоскость х=б, Отпеепи г!ат1 г!! ! Зхт 1т 2 ч ( 1)гг / тгттгтгтт1 ~ птгх1 и(х, 1) = — + — ~ — — ~ — ехр~ — соз— —,! й~ 61 .з2..т (, ! ) =1 где !г — козффициент теплопроводности материала; о — плотность тепловых потоков на граничных поверхностях.
2.Т. Неограниченная пластина толщиной 1 нагревается постоянным тепловым потоком плотностью гт, поступающим через плоскость х = 1. Плоскость х = О поддерживается при нулевой температуре. Найти неста- ционарвое температурное поле в пластине. Опгеепс Ох 621 ч-- (-!)" Г (гп + 1)'Я'о*11 . (2п + Ц * и(х, 1) = — — — ~ ехр— еш Ь, 2- (гп+1)з ~ 41з ~ 21 тг=е 2.8. Поверхность неограниченного тонкого стержня теплоизолнрована. В начальный момент времени температура стержня отлична от нуля лишь в области — 1 < х < +1, где она постоянна н равна !!о = сопвц Найти распределение температуры в стержне в любой момент времени 1 > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
