XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(3.63) д/дЯ~ г — ~г — ) — ЛВ(г) =О, д ~ д) (3.64) Подставляя предполагаемую форму решения (3.63) в уравнение (3.61) и разделяя переменные, получаем д ( дИз~ — — — Л = сопв1. В(т) Ф(Ю) Отсюда следует, что функция В(т) должна быть найдена из решения уравнения 124 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА а для функции Ф(у) получаем задачу на собственные значения с Ф" +ЛФ=О, Ф(ср) = Ф(~р+ 2н).
(3.65) Здесь условие периодичности функции Ф(~р) является следствием периодичности искомого решения и(т,~р) по угловой переменной с периодом 2я. Задача (3.65) имеет нетривиальные периодические решения только при Л = Л„= п, и = О, 1, 2,... Эти решения имеют 2 вид Ф„(у) = А„совп~р+ В„е1ппу, (3.66) где А„и „— произвольные постоянные. Из (3.64) для функции В(т) при Л = п2 получаем уравнение 2~( В с(В 2 т — +т — — и В=О.
т(т2 Ыт (3.67) Будем искать частные решения этого уравнения в виде степен- ной функции Щт.) = т~, Й = сопяФ. Подставив эту функцию в уравнение (3.67): т2Й(Й вЂ” 1)тЙ 2+тйтй 1 — п2тй = О, ип(т, у) = т" (А„сов пу + В„в(п шр), п = О, 1, 2, устанавливаем, что показатель степени Й определяется из уравнения Й2 — п2 = О, т е. Й = Йп.
Следовательно, уравнение (3.67) имеет следующие два линейно независимых решения: т" и т ". Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограничено в центре круга при т = О. Поэтому иэ двух найденных решений следует взять лишь Вп(т) = т", п = О, 1, 2,... Таким образом, согласно (3.63) частные решения уравнения (3.61) можно записать так: 3.8.
Метод реодееенид переменных 125 и(г, гР) = ~~т ии(г, гд) = ~~» ги (А„совитд+ В„вшпгд) (3,68) и=О иееО также будет удовлетворять этому уравнению. Выполняя граничные условия (3.62), получаем гт ~~» пап 1(Аи совтид+ Ви в(птиР) + и=О + В ~~» аи (Аи сов пгр+ Ви вш ттгр) = у(гр) или + ч~» (тепаи + Ваи) 24АО 2 и=1 х (Аи совтир+ Вивтппгр) = 7(~р). (369) Разложим функцию у(гр) в интервале (О, 2я) в тригонометрический ряд Фурье: се — + у (си сов пгр+ г1и вштир); и=1 2тг ~фр) совпгр<(гр, п = О, 1, 2, ...; О 2гг у(у) вгппгргггр, п = 1, 2,... О (3.70) Приравняв коэффициенты в рядах Фурье (3.69) и (3.70), находим со си АО= —; Аи= 2В' тепаи 1+ чаи' (3.71) Ви = тепаи — 1 „1 В пи В силу линейности и однородности уравнения (3.61) суперпгхги- ция частных решений 126 3.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА е(п Вп ел ап' А0= —; Апял —; С0 сп 2' ап' Это решение можно записать в форме и(г, ~р) = — +7 рп(сп сонтир+д н1ппр), р= — (1. (3.72) а Ф а п=1 Если же в задаче (3.60) положить се = 1, /3 = О, то получим задачу Неймана для круга, В этом случае поп сп Ап = и ап-1 а формула (3.71) для коэффициента А0 устанавливает условие (ЗА9) разрешимости задачи Неймана 2х 1 0 = — / Ч(Р) ейР = О. 0 Поэтому решение задачи Неймана имеет вид п(г, ~р) = ~~~ — рп (сп сонно+ Ип 3)впар) + сопв1.
(3.73) п=1 Замечание 3.4. Если в формулах (3.72) и (3.73) значение р считать равным и/г, то онн будут определять решения внешних для круга задач Дирихле и Неймана. й Таким образом, решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в круге представимо в виде ряда (3.68) с коэффициентами, определяемыми формулами (3.71).
Задачи Дирихле и Неймана в круге. Из найденного решения третьей краевой задачи могут быть получены решения задач Дирихле и Неймана. Если положить се = О, а )3 = 1, то краевая задача (3.60) переходит в задачу Дирихле, а ее решение представимо рядом (3.68) с коэффициентами 3.8.
Метод разделения переменных 127 2н и(г, гр) = — ~ 7(рр) ~-+ х/ '12 О + К рч ° .р ..е+ -р -а1 рр = п=1 2т = — ) р(Р)~-Р1,р" (р — Р)1РФ. (3.74) х,г' ~2 О Замечая,что соягг(рр — гр) = — ~е'"(гог') +е 'п(гр гр') 1Г. 2 ~ находим 1 1 еэ — + ~~р р соя гг(ф — гр)— 2 п=1 е'гг(И гГ') + гп(1Р Ф) 2 2~ п=1 =- '(1Р 2 (р,РР-Р)) .«~( -РР-Р)) п=1 п=1 Так как ~ре~'(1Р ')')~ = р ( 1, то, вычислив суммы геометриче- ских прогрессий, получим ре г(Р-)) 1 ( ре'("' гг') 7= — 1+ . + 2 1 1 — р ег(Рд РгР) 1 1 1 — р 2 — ре-г(~ -4) а 2 1 — 2р соя(гр — г))) + р2 2 а2 — 2а г соя(рр — гр) + г2 Интеграл Пуассона.
Получим иную форму записи решения задачи Дирихле для круга. Для этого преобразуем решение (3.72), подставляя в него значения коэффициентов с„и Нп, 128 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Подставляя найденное значение 1 в уравнение (3.74), получаем решение задачи Дирихле для круга в форме 1 Г а2 т2 о Интеграл в правой части формулы (3.75) называют интпегралом Пуассона длл нруга.
Задача Дирихле в кольце. Приведем теперь решение задачи Дирихле в кольце, внутренняя граница которого есть окружность радиуса а, а внешняя — окружность радиуса 6. Эту задачу можно записать следующим образом: 1 д / ди'1 1 дзи — — <т — )+ — — =О,а<т<6,0<у<2х; (376) т дт <, дт) т2 д~р2 и(а, у) = з1(у), и(6, ~р) = т2(у), 0 < ~р < 2х. (3.77) < Во(т) = Ао+Во1пт при и = О, Нп(т) = Апта+ Впт " при п = 1, 2, (3.78) Здесь в отличие от задачи для круга нужно сохранить оба слагаемых, так как точка т = 0 находится вне кольца. Поэтому с учетом формул (3.66) и (3.78) частные решения уравнения (3.76) можно записать в виде иО(т Р) =ВО(т)Фо(Р) =-4о +Во 1пт ип(т1 'Р) — Вп(т) Фп(Ф)— = (А+та+ Вйт п) совпр+ + (Ап тп + Вп т и) в1п тиР, и=О; и=1,2, Представляя решение уравнения (3.76) в форме (3.63), придем к задаче на собственные значения (3.65) для функции Ф(у) и к решению в интервале а < т < 6 уравнения (3.67).
Общее решение уравнения (3.67) имеет вид 3.8. Метод рвэделеммя перемеммыя 129 Ь,е)=-Ьль+ь.вь'ь Ьь2 '((л„',"ьв„+;"),,еь 2 п=1 + А„г" +В г " 81ппьр, (3.79) будет удовлетворять линейному однородному уравнению (3.76). Подставив (3.79) в граничные условия (3.77), получим 1 -Щ-ьвь'ь Ьь2 ((л~ ".ьв„+ -") дь п=1 + А„а" + В„а " я)ппьр = 91(ьр); 1 — Ьл+ьв+ь ьЬь2 ((л~ь" ьв„+ь ") еь о=1 + А„Ь" +В,,Ь " я)ппьр = У2(ьр); (3.80) Эти соотношения представляют собой разложения заданных функций 9'1 (ьр) и т2(ьр) в тригонометрические ряды Фурье Вычислим коэффициенты Фурье этих функций: (1,2) 1 с ' = — ( 712(ьр) совтирдьр, О 2п Е(ьь ' = — / 9'1,2(ьР) 81ППьРЕ(ьР, (1,2) 1 Г О п = О, 1, 2,...; п = О, 1, 2, Здесь А+ = А„Ап; В+ = ВпА„; А,, = АпВ„; Вп — — В„Вп— произвольные постоянные.
Функция и(г, ьр), определенная как суперпозиция этих частных решений: 130 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Тогда из уравнений (3.80) находим (1), с, (2), со (1) = сп; < Ао +Во )па = А+ + В+ 1п 6 = 0 0 А+а +В+а " А+Ьп+ В+6 " А оп+В а и А,, 6п + Вп Ь " (2) = сп; ((2) (2) (1) В+ О 0 0 Ь !ив а апЬп(сй)а" — с(, Ьп) В+ = а2п 62п ам Ьп 7(с1п( ) ап — с((п ) Ьп) и а2п 62п + со 1пЬ вЂ” сю )па (1) (2) Ао О 1п— (1) и (2) Ьп ~+ сп а сп а2п 62п 1П) п 1(2)Ьп ~2п 62п Подставляя значения этих коэффициентов в уравнение (3.79), получаем решение задачи Дирихле в кольце. Вопросы и задачи 3.1. В области аллнптнчностн привести уравнение + яр ил„= 0 к канонической форме.
1 1 Отпеепк ип + и „+ — ие — — и„м О. Так как 1пЬ вЂ” 1па ф О и (а/6)п — (Ца)п ф О, то эти системы однозначно разрешимы: Вопросы н задачи 131 3.2. Внутри круга 0 ~< т < а найти гармоническую функцию и(т, гр), принимающую па границе круга значения 2егп р+ вш2уг. э О!пеева и(т, !е) = 1 — (-) (сов2р — в!п2!р). а З.З. Найти ограниченное решение внешней задачи Дирихле !ли=О, а<т<оо, О(!в(2л; ! и(а, гв) = егп -, О (» !е (2гг, чг 2' е °: !.,г!= — ''(-' — 2 ('-) «=! 3.4.
Найти значение параметра о, прн котором разрешима внутренняя задача Неймана г1и = О, О ( т < а, О ( р ( 2л ди) р — а — — 0 < р < 2гг дт~ 2 и решить эту задачу е ч и!п игр /т 1 Огавеш! и(т, !р) = сопвс — а ~ ~- / и! ~а/ е=! 3.5. Решить третью краевую задачу < г.'!и и О, О ( т < а, О ( гр ( 2л; с ди — + и/! = — !е(2л — !в) . дт / лэ ОР 2 4а ч /т '! совпр Огпвегп: и(т, уг) = — — — ез 3 л! 2-г~ а/ пэ(п+ а) ' л=! 3.6.
Решить задачу Дирихле в кольце а < т < Ь, если искомая функция и(т, !в) на внутренней границе равна нулю, а на внешней принимает значения 1 + сов р. аЬ / т а 1 1п(т/а) Ответ: и(т, гв) = — — — — сов!р+ Ьэ — аэ 1,а т) 1п(Ь/а) 132 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 3.7. Найти стационарнуго температуру и(хо, уо, во) в однородном полупространстве е > О, если на границе е = 0 полупространства распредо ление температуры равно 1е 1, (х( < 1, -оо < у < оо; т(*, )=~ ' ~ О, )х) > 1, -оо < у < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
