XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Будем называть несобственныи интеграл д(Я, М) (Л,1 й равномерно сходящимся в б-окрестности точки Ме, если для любого е > О можно указать такое е(е) > О, что для всякои области ы~ С Й, содержащей точку Ме и имеющей диаметр Н < б, справедливо неравенство д(Я, М) сЛ'О < е для всех точек М, отстоящих от точки Ме на расстоянии гмем < е 1г Рассмотрим простейшие свойства объемного потенциала. 1. Если 1Я) непрерывна и ограничена в Й, то объемныи потенциал у(М) непрерывен во всем пространстве. 3.4, Свойства объемного нотенцнааа В случае, когда точка ка М не принадлежит области й, интеграл 1р(МО) не является несобственным, и непрерывностыр(М) в точке МО вытекает из н р епрерывности в этой точке подынтегральной функции. Пусть теперь точка МО Е й.
Обозцачим через 1об окрест- М, й — шаровую область с центром в ность точки МО, а через точке МО радиуса, ц М Ю вциком содержащую область а1б. Для непрерывности у(1М) в точке О М достаточно установить в ней равномерную сходимость интеграла (3.32) Так как функция ~(Я) ограничена в й, т.е. ЩЯ)~ < А, то справедлива оценка ПЯ) < !УМ)~~р, < <А — <А Ш вЂ” ша радиуса 26 с центром в точке М.
Переидем в где 2б — шар а с ент ом в последнем интеграле к с але к сферическим координатам с ц р точке М, полагаЯ пРи этом тме = 1". 2л л 2б Л" =,йр $1пда г Ыг = 8лР. Шм О О Поэтому 108 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА т бр , р б < / 7гг А) — Жд (г, т.е. интеграл (3.32) сходится равномерно.
2. Если г'(Я) непрерывна и ограничена в й, то объемный потенциал ~р( ) имеет н (М) епрерывные частные производные первого порядка во всем пространстве. Продифференцируем формально интеграл (3.31) по переменным х, у, я под знаком интеграла: дх 4я дя 4т (3.33) Ы вЂ” х) УЮ) „ (3.34) Если точка Мо не принадлежит области й, то интеграл тегральная функция в уравнении (3.31) как функция точки М(х, у, г) имеет в точке Мо непрерывные частные производные первого порядка.
Позтому инте р ~р( ) точке 0 непр р ке М неп ерывные частные производные первого порядка, причем эти производные вычисляются путем дифференцирования под знаком интеграла. В случае, когда точка М0 Е Й, требуется доказать равномерную сходимость несобственных и р нтег алов в правых частях формул (З.ЗЗ) в окрестности точки Мо. Рассмотрим несобственный интеграл 2.4. Свойства объемного цотенцнввв В силу того, что ЩЯ)) < А, )( — х) < гмс6, справедлива оценка ~~~3 <А 2 <А 2в' н 2б = А сйр в1пдс(о Ыг = 8хАб. О О О Отсюда при 3 < (с/8хА) '"6 т.е. интеграл (, ) сходится (3.34) равномерно в окрестности точки МО и, следовательно, существует непрер ывная п оизводная Р д /дх в точке МО.
Ф/ Аналогично можно доказать непреры . р вность и оизводных ду/ду и д<р/дг. на в области й, то вне 3. Если ~(с4) непрерывна и ограничена в области, т в области й объемный потенциал (3,31) удовлетворяет уравнению ласа Лап л9Р(М) = О, а внутри области й — уравнению Пуассона Ьу(М) = -ДМ). Действительно, формально находим Ь~о(М) = Ь вЂ” — АУ вЂ” ~(Я) Ь вЂ” ~П~3. (3.35) й ио 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Если М к й, то интеграл (3.31) не является несобственным, но тогда при 9 ~ М Следовательно, из уравнения (3.35) вытекает са~р(М) = О, М(х, у, «) ф й. (3.3б) Если М е й, то при Я = М интеграл (3.31) имеет особенность.
Но согласно (3.20) в этом случае Позтому из формулы (3.35) получаем лр(М) = — у(а) 63(в М) лЪ й Отсюда в силу свойств дельта-функции следует слр(М) = -~(М), М(«, у, «) Е й. (3.37) Замечание 3.2. В любой внутренней точке области й объемный потенциал (3.31) является частным решением уравнения (3.37). а Рассмотрим неоднородное уравнение сам = — у(М), М Е й. (3.38) Введем новую неизвестную функцию и(М), такую, что где ~р(М) — объемный потенциал (3.31).
Тогда функция е(М) должна удовлетворять в области й уравнению Лапласа З.о. Свойства гармонических функций 111 ~р(х, у) = — 1(~, о) 1п В с1~ сй~ (3.39) удовлетворяет внутри области Р уравнению Пуассона дг,р — + — = -1(х, у), дх2 ду~ а вне области Р— уравнению Лапласа д~у д~1о — + — = О. дх2 ду2 3.5. Свойства гармонических функций Функцию, непрерывную в некоторой области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармонической.
На основе интегральных формул Грина установим некоторые свойства гармонических функций. 1. Если функция и(х, у, г) — гармоническая в области й, то — сБ = 0 ди дп (3.40) где Š— замкнутая поверхность, ограничивающая область 11; с~ — внешняя нормаль к Е. Действительно,так как и гармоническая в 11,то Ьи = О. Пусть функция и н 1. Тогда из формулы Грина (3.25) следует утверждение (3.40). Следовательно, решение краевой задачи для неоднородного уравнения (3.38) можно свести к решению аналогичной задачи для уравнения Лапласа. Аналогично можно установить, что если функция Дх, у) непрерывна и ограничена в области Р, то логарифмический потенциал (3.30) с плотностью ('(х, у) 112 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 2.
Формула среднего значения. Запишем интегральную формулу Грина (3.27) для гармонической в области Й функции и(х, у, г). Полагая в уравнении (3.27) ~ = О, получаем о) 4 д и — «5. (3.41) Пусть поверхность Е = ЕН представляет собой поверхность шара Йл радиуса В с центром в точке Мо(хо, уо, го). Введем сферическую систему координат с центром в точке Мо и положим гм,м — — т. Тогда на сфере будем иметь г=В В этом случае формула (3.41) принимает вид 1 Пди 1 д и(Мо) = — $ — ~Б+ — яи(Р) сБ. 4хЯ„В( дп 4яЯ2уУ Отсюда с учетом свойства (3.40) для гармонической функции получаем о(МО) п(Р) «д 1 В" 4яВ2 У (3.42) Правая часть формулы (3.42) представляет собой среднее значение функции и(х, р, г) на сфере ЕН.
Из формулы (3.42) следует, что это среднее значение равно значению гармонической функции в центре шаровой области ЙН. Формулу (3.42) называют формулой среднего значения гармонической функции. 3. Принцип максимального значения Если функция и(х, у, х) непрерывна в замкнутой области Й = Й + Е н гармоническая внутри Й, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на поверхности Е. В случае, когда и = сопв1, зто утверждение очевидно. З.Б. Свойства гармонических функций 113 и(Р) ИЯ < тджх = 4ха т, (3.43) а с другой — для гармонической функции из формулы (3.42) имеем и(Р) с1В = 4яа и(Мо) = 4ха т, Ев что противоречит (3.43), откуда вытекает справедливость принципа максимального значения.
Доказательство этого принципа для наименьшего значения следует из того, что гармоническая функция — и достигает своего наибольшего значения там, где функция и достигает своего наименьшего значения. Отсюда вытекают еще три свойства гармонической функции. 4.
Если гармоническая в области Й функция и удовлетворяет на границе области условию А < и < В, то она удовлетворяет этому условию и внутри области Й. Пусть теперь и не равна тождественно постоянной. Н силу свойств непрерывных функций в замкнутой области функция и достигает своего наибольшего значения внутри области Й либо на поверхности Е. Предположим противное утверждение, а именно, что наибольшего значения т эта функция достигает во внутренней точке области Й.
Обозначим через через м множество всех точек области Й, для которых и = т. Так как и ф сопвФ, то множество ы не совпадает с Й и, следовательно, в ы существует граничная точка Мо, являющаяся внутренней для Й. Тогда из непрерывности функции и следует, что и(Мо) = т. Построим сферу Ео с центром в точке Мо радиуса а, такую, чтобы на этой сфере имелась хотя бы одна точка Р, не принадлежащая множеству ы. Поэтому и(Р) < и(Мо) = т, а из непрерывности функции и следует, что существует часть сферы Е, в точках которой и < т. Но тогда, с одной стороны, 114 3.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 5. Если гармоническая в области Й функция и принимает на границе области постоянное значение, то она постоянна и во всей области Й. В частности, если и(Š— — О, то и = О в Й. 6. Если функции и и е гармоничны в области Й, то выполнимость на границе области неравенства и < е, влечет за собой выполнимость этого неравенства и внутри области Й. 3.6. Краевые задачи для уравнения Лапласа Как было показано ранее, различные физические процессы описываются уравнениями Лапласа и Пуассона. В каждой задаче, связанной с этими уравнениями, искомое решение должно удовлетворять уравнению в области Й, а также некоторому дополнительному условию на границе Е области Й.
В зависимости от вида граничного условия будем различать следующие основные виды граничных задач: — первая краевая задача; — вторая краевая задача; < дн а — + ~3 и ) ~ = -~(Р) — третья краевая задача. Здесь з(Р), д(Р) и 7(Р) — определенные на поверхности Е функции; 7(' — внешняя нормаль к Е; а~ + 11~ Ф О. Если решение задачи ищут в области Й, внутренней (внешней) по отношению к поверхности Е, то соответствующую задачу называют внутренней (внешней) краевой задачей. Первую краевую задачу для уравнения Лапласа называют задачей Дприхле, вторую — задачей Неймана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
