Главная » Просмотр файлов » XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики

XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 15

Файл №1081414 XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 15 страницаXII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414) страница 152018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пусть дана область Й, ограниченная замкнутой поверхностью Е, на которой задана непрерывная функция 5(Р). Сформулируем внутреннюю задачу Дирихле. Найти такую функцию и(М), которая непрерывна в замкнутой области Й = Й+ Е, удовлетворяет в области Й уравнению Лапласа и принимает на поверхности Е заданные значе- З.б. Краевые задачи для уравнения Лапласа 115 ния л(Р), т.е. Ли=О, М(х,у,л)ЕЙ; и~~ — — 3(Р), Р(х, у, г) Е Е.

(3.44) Ли=О, М(х,у,г)еЙ, (3.45) непрерывное в замкнутой области Й = Й+Е и удовлетворяющее на поверхности Е условию дп — = д(Р), Р(х, у, я) Е Е. (3.46) дп ~ Покажем, что решение задачи (3.45), (3.46) определяется с точностью до произвольной постоянной.

Доказательство проведем при дополнительном условии непрерывности производных функции и первого порядка в области Й. Пусть две непрерывно дифференцируемые функции и~ и и2 в области Й = Й+ Е удовлетворяют уравнению (3.45) в области Й и условию (3.46) на Е. Тогда для функции и = и1 — и2 будем иметь Ьо=О в Й, — =О. дп (3.47) дп ~ Положим в формуле Остроградского (3.21) а~ = е8гас(о. Так как а~ . п1 = п(8гас(е с7) = и(ди/дп), йч(е8габе) = (8гае(е) + еЬо, то эта формула примет вид ((йети и) + и Ьо) «Ь' = о — дд. (3,48) Теорема 3.1. Решение внутренней задачи Дирихле (3.44), непрерывное в замкнутой области Й = Й + Е, единственно. М Пусть две функции из и и2 являются решением этой задачи. Тогда их разность и = и~ — и2 удовлетворяет уравнению Лапласа в области Й, а на границе Е принимает значение, равное нулю.

В силу свойства 5 гармонической функции имеем, что и = О всюду в Й. и» Внутренняя задача Неймана формулируется следующим образом: найти внутри области Й решение и(М) уравнения Ла- пласа 116 3. УРА ВПЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Учитывая теперь (3.47), из уравнения (3.48) находим (8гас(е) с(У = О.

Отсюда ягас( е = О всюду в 11. Но тогда в силу непрерывности функции е и ее частных производных следует, что до де де — = — = — =О, дх ду дл т,е, е = и1 — и3 = сопв1. Замечание 3.3. Задача Неймана может иметь решение не при всякой непрерывной функции д(Р). Из свойства 1 для гармонической функции и граничного условия (Зяб) вытекает условие разрешимости задачи Неймана (3,49) Для единственности внешних краевых задач необходимо потребовать дополнительного условия его поведения на бесконечности, а именно и(М) равномерно стремится к нулю при М -~ оо. 4 3.7. Метод функции Грина Функцией Грина для задачи Дирихле (3.44) назовем функцию С(М, Мб), которая является обобщенным решением следующей краевой задачи: < ЬС = — 4хбз(М, МО), МО(хО, уО, аб) Е (); (3.50) Так как функция Грина С(М, Мб) имеет особенность вида 1 —, то ее можно представить в виде ' мом сз(М, Мб) = — + е(М), 1 гмо м 3.7.

Метод функции Грина 117 где ц(М) — гармоническая функция, являющаяся решением кра- евой задачи Ье = О, М(х, у, х) Е Й; 1 о(~ — — — —, Р(х, у, г) Е Е. "маг Запишем формулу Грина (3.25), в которой функция и есть искомое решение задачи Дирихле (3.44), а функция е = = С(М Ме): / дС ди'~ ~и — — С вЂ” ) ЫЯ = (иЬС вЂ” СЬп) аК (3.51) дп дп) Учитывая, что С(~ — — О, и)Š— — 3(Р), а в области 11 Ьи = 0 и ЬС = — 4яцз(М, Мо), из формулы (3.51) получаем Отсюда, используя свойство дельта-функции, находим Ф 1 Е дС и(Мо) = — — $5(Р) — Ж (3.52) 4яЯ дп Эта формула дает решение задачи Дирихле (3.34) в любой точке Мо Е И, если известна функция Грина С(М, Ме) для этой задачи.

Используя определение функции Грина (3.50), дадим следующую электростатическую интерпретацию функции Грина для задачи Дирихле. Пусть точечный заряд д помещен в точку Мо внутри проводящей заземленной поверхности Е (рис. 3.1). Функцию Грина С(М, Ме) можно интерпретировать как потенциал поля, создаваемого точечным зарядом 7 = 4ясо, помещенным в точку Ме внутри поверхности Е. Потенциал этого поля складывается из потенциала поля точечного заряда д и потенциала поля, 11В 3. чРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Рис.

3.1 < Ьи = О, — оо < х, у < +ос, х > 0; и(х, у, О) = У(х, у), -оо < х, у < +со. (3.53) В этой задаче поверхность Е представляет собой плоскость х = О, которую можно замкнуть в бесконечности. Для нахождения функции Грина воспользуемся электростатической аналогией. Если вблизи заземленной проводящей плоскости г = 0 расположен заряд Ч, то потенциал электростатического поля в области х > 0 можно найти, поместив в точку М~о(хо, ув, — х0) отрицательный заряд — а.

Поскольку потенциал искомого поля будет равен сумме потенциалов, создаваемых этими двумя зарядами, функцию Грина определим как (3.54) создаваемого индуцированными (наведенными) на поверхности Е зарядами противоположного знака. Такая электростатическая аналогия позволяет построить функцию Грина для областей простой формы (полупространство, шар, слой), используя решение задач электростатики.

Приведем примеры решения задачи Дирихле метподо.и амуниции Грина. Задача Дирихле для полупространства. Найти решение краевой задачи 3.7. Метод функции Грина 119 Рис. 2.2 где т = умом = мо™ )2 (у уо)2+ ( + хо)2. ОчевиДно, что г1 = т на поверхности Е, а поэтому С~~ = О. Найдем производную функции С(М, МО) по внешней нормали к поверхности Е (рис. 3.2.): дС дС 2хо 23и Е а=о ((х — хо)2+ (у — уо)2+ хо) ' Тогда согласно (3.52) решение задачи Дирихле для полупрос- транства примет вин ( ) = О 1 (.

У)~*~У (355) [(х — хО)2+ (у — уо) + х~] ~2 Интеграл в правой части уравнения (3.55) называют интегралом Пуассона длл полупростпранстеа. Задача Дирихле для шара. Рассмотрим краевую задачу Е 1"1п = О~ М Е Йа~ п)~ = 3(Р) Р Г Ео. (3.56) Здесь йо — шар радиуса а с центром в начале координат; Е„ поверхность этого шара. 120 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Рис. 3.3 Для построения функции Грина воспользуемся известным решением задачи злектростатики о потенциале поля, созданном точечным зарядом д, помещенным внутрь заземленной проводящей сферической оболочки в точке МО 1рис.

3.3), находящейся на расстоянии рО от центра шара. Для вычисления потенциала внутри проводящей сферы с центром в начале координат поместим в сопряженную точку М*, находящуюся на расстоянии рО от центра шара 1рорΠ— — а2), отрицательный заряд оа д* = — —.

Такие два заряда д и д* создают злектростатиче- РО ское поле, потенциал которого на поверхности Е равен нулю. Поэтому функцию Грина в этой задаче следует представить в виде 13.57) где т = гц,м, т1 = тм;и. Совместим теперь точку М с точкой Р на поверхности сферы 1рис. 3.4). Так как на поверхности сферы С(Р, МО) = О, а то для точки Р справедливо равенство т1 = — г. РО Найдем производную функции С по внешней нормали к поверхности Ел: 3.7. Метод функции Г)окна 121 Рис. 3.4 Далее определим Поэтому дС т' н' а т1' М сова1 а сова2 — — — — + — —— + дп тЗ рв тЗ т2 ре т2 где а1 = ( ту, 'Р); а2 = (тГВ). По теореме косинусов иэ треугольников ОМоР и ОМоР вычисляем Тогда дС а2 + т2 — р2 а а2 + т1 — ро 2 н2 дп ~ 2атЗ ро 2атЗ а2+ 2 — р2 сова1 = 2ат ' +т1-РО 2 2 «2 сова2 = 2а т1 122 3.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА аг а Таккакг1 = — ~рд = — ~ с= РО РО , то ВО 2 2 р~о — а Еа ~~ а (аг + р~ — 2аро сов 4) ~2 1 17 а2 Р2 ( М р ) ~ ~ 3 ( Р ) о И Я ( 3 5 8 ) (аг+ рвг — 2аро сову) ~2 Введем сферическую систему координат: х = рз1пВ сову; у = рзшВ япу; з = рсовВ.

Тогда Мо(ре, Ве, уе), а на сфере Ее будем иметь Р = Р(а, О, у); У(Р) = л(О, у); ао = агз1пОВВйр. Выразим сов ф через сферические координаты точек Мр и Р: ОМв /хо цо за~ — —.~- — — 1 —, —, — ) = (з1пВе сов уз, з1пВо з1пуз, соз Вв), !ОМо) ~рв' Рв' Ре) ОФ (хр рр зр 1 —:=х- = 1 —, —, — ) = (яп В сов у, в(п В яп у, соз В), !ОГ! ~а' а' а) совф = соз(ОМв, 01 ) = =~-=~- = !ОМ,~ !ОГ~ = япВо з(пВ соз(у — уе) + совдс совВ.

Итак, после преобразования координат решение (3.58) задачи Дирихле для шара будет иметь вид а 1" 1",7(В, у)(аг — рг) в1пВйВйу О В (Рг~+ аг 2арвсозФ Окончательно в соответствии с формулой (3.52) получаем решение задачи Дирихле (3.56) в виде 3.8. Метод разделения переменныя 123 Интеграл в правой части формулы (3.59) называют интпегра- лоле Пуассона для шара. 3.8. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом разделения переменных Третья краевая задача.

Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием третьего рода < Ь~и=О, МеР; а — +ди = г(Р), РЕС, (3.60) где а, Д = сопвС ) 0; ав + ф ф О. Пусть область Р представляет собой круг радиуса а, ограниченный окружностью С. Тогда задача (3.60) в полярных координатах будет иметь вид 1 д / ди~ 1 д2н — — ~т — ) + — — = О, 0 < т < а, 0 < 1р < 2я; (3.61) г дт ~ дт) г2 д~р2 < дн а — +фи)( = у(~р), 0 < у<2я. у от=и Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде и(г, у) = В(г) Ф(~р) ~ О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6502
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее