XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1 / 1 — х 1+ хо 1 Ответи: и = — ~агссб — + агссб— гг ео ео / 3.8. Поверхность бесконечного цилиндра радиуса а имеет потенциал 1 О<ге<и; Е'(р) = О, и < ог < 2гг. Найти поле потенциала внутри и вне цилиндра. 1 2 ч о„! гйп(2п — 1)ог Ответ: и(г, ог) = — + — ~ р ~, где р ы г/а, если О < г < а, 2,г л'-~ 2п — 1 е=! и р = а/г, если а < г < оо. 3.9. Найти потенциал скоростей жидкости, обтекагощей неподвиж- ный бесконечный цилиндр радиуса а, если на бесконечности скорость жидкости равна ио. Указание. Сделать подстановку и = ио + и, где ио — — — $ол — потенциал однородного потока жидкости, движущейся вдоль оси Ол.
Ответ: и(г, ог) = -Уо(г+а гг)севов. 2. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф~ИЗИКИ 4. х РАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 4.1. Применение конформных отображений для решения задач злектростатики Как было показано в 3.1, потенциал ~р электростатического поля в вакууме удовлетворяет уравнению Пуассона Поэтому расчет электростатического поля в общем случае приводит к решению задач для уравнения (4.1). В отсутствие объемно распределенных электрических зарядов, т.е. при р = О, расчет электростатического поля сводится к решению задач для уравнения Лапласа (4,2) При этом одной из основных задач электростатики является задача отыскания поля, создаваемого системой заряженных проводников, на поверхности которых задано значение потенциала, одинаковое по всей поверхности проводника.
Такую задачу для уравнения Лапласа на плоскости можно эффективно решить с помощью методов теории функции комплексного переменного [ Х ]. Обозначим через я = т+1у комплексное независимое переменное, где т и у — соответственно его действительная и мнимая 134 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА части. Область изменения этого переменного — вся координатная плоскость (х, у), которую кратко будем называть плоскостью з. Пусть ю = ~(з) = 4 + 4 ю — некоторая функция комплексного переменного г. Как действительная, так и мнимая части комплексного числа ю являются вещественными функциями переменных х и у, т.е.
Ф= 4(х, У); Р= Р(х, у) Комплексное число ю можно представить точкой на некоторой плоскости ю с координатными осями ф и р. Таким образом, зависимость ю = ~(з) устанавливает связь между точками плоскости з и точками плоскости ю, т.е. отображает одну плоскость (или ее часть) на другую. В дальнейшем будем рассматривать только такие преобразования, для которых функция ю =,((з) однозначна и дифференцируема в некоторой области.
В теории функций комплексного переменного такую функцию, для которой во всех точках некоторой области существует производная Йи/Иг = ~ (г), называют аналитической в этой области функцией. При этом необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции ю = Дз) являются усяовия Коши — Римана дф ддю д~р дф дх ду' дх ду' (4.3) д2ф д2ф — + — = О. дх2 дуг Покажем, что действительная и мнимая части любой аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа на плоскости. Учитывая, что для аналитической функции ее действительная ф(х, у) и мнимая у(х, у) части имеют непрерывные производные второго порядка по х и по у, продифференцируем первое условие (4.3) по х, а второе — по у. Тогда, сложив полученные выражения, найдем 43.
Применение конформных отображений 135 ф = ф(х, у), ~р = <р(х, у); х =х(ф, у), у= у(ф, р), (4.4) связанные с конформным отображением области П плоскости (х, у) на область П плоскости (ф, <р), которое осуществляется аналитической функцией ш = ~(з). Пусть ЪУ(х, у) — некоторая дважды непрерывно дифферен- цируемая функция, а Ъе'(ф, ~р) = Ъе'[х(ф, ~р), у(ф, ~р)] — соответ- ствующая функция, полученная с помощью ееоиформиых пре- образовомий (4.4). Запишем выражения для производных: Ик = ЪЪффк + Й~р~рк; Ив = Жффр + Жр~р1 ', 2 2 ЪЪ'.
= %ффф, + % ~р. + 2%~„ф.~р. + Ифф**+ И', ~рхк., 2 2 Ъу„„= Ъ7ффф + ЪЧ, „,~рр + 2ууф,рфу~рв+ Ъеффув+ ЪУ, ~р„„. Отсюда получаем +Ъу Ъу (ф2+ф2)+Ъу ( 2+ 2)+ + 2Ъуф (фкук+ 4урр) + И'ф(фкк + фув) + И'~ (рек+ <рву) (4 5) Аналогично, изменив порядок дифференцирования, из условий (4.3) получим дг дг — + — = О. дх2 ду2 Такие гармонические функции ф(х, у) и у(х, у), удовлетворяющие условиям (4.3), называют сопряженными гармоническими функциями. Пусть аналитическая функция ю = Дз) взаимно однозначно отображает область П плоскости г на область П плоскости ш, причем 1'(г) ф О всюду в области П. Такое отображение сохраняет подобие малых геометрических фигур, и его называют ееонфорлеиььи.
При конформном отображении пересекающиеся на плоскости х кривые после отображения пересекаются на плоскости и под таким же углом, а элементарный треугольник с вершиной в точке го отображается в подобный треугольник с вершиной в точке шз = ~(ге). Рассмотрим преобразования 136 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА Так как функции ф(х, у) и ~р(х, у) являются сопряженными гармоническими, то из условий Коши — Римана легко получить следующие соотношения: ф . + фу = ф . + фх = фу + ф . = )~ (я)( Р*1а*+ Ф„Р„= О, ГДЕ 1'(Х) = Фх + 4 <Рх, ПРИЧЕМ ),)'(Х)) ~ О.
Поэтому формула (4.5) принимает вид Нг + Нг (1ь. + Й ) ~уг( )~2 Отсюда, 'в частности, следует, что если функция И'(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа в области П, то в результате конформного преобразования ш = 1'(х) функция Й(ф, ~р) будет также удовлетворять уравнению Лапласа в области П. Поэтому с помощью конформного отображения простое по структуре плоское электростатическое поле, например поле плоского или цилиндрического конденсатора, можно преобразовать в сложное по структуре электростатическое поле, получив при этом аналитическое выражение для распределения потенциала.
Действительно, пусть требуется определить потенциал ~р = у(х, у) плоского электростатического поля, создаваемого системой двух бесконечно протяженных проводников (электродов), перпендикулярных плоскости (х, у) и имеющих потенциалы ~р1 и ~р2. На плоскости (х, у) электродам соответствуют две зквипотенциальные линии С1 и С2 (рис. 4.1, а), уравнения которых у(х, у) = у1 = сопе1 и ~р(х, у) = у2 = сопз1. Если найти такое конформное преобразование 1(я) = 4~(х, у) + 1~р(х, у), при котором линии С1 и С2 на плоскости (х, у) перейдут в прямые линии С1( р = <р1) и С2(у = ~р2) на плоскости (ф, ~р) (рис. 4.1, б), то распределение потенциала в плоскости (х, у) можно записать так: (4.6) у = 1а(х, у) = 1ш )(х).
137 4П, Применение конформных отображений ео У(г) Ф-Ф Рис. 4.1 При этом семейство зквипонтецивльных линий на плоскости (х, у) можно задать уравнениями ~р(х, у) = А, где ~р1 ( А ( р2 — некоторая константа, принимающая различные значения для различных зквипотенциальных линий.
Зная потенциал, можно определить вектор напряженности Е(Ек, Ев) электростатического поля с компонентами др д~ Е,= — —, Еу — — —— дх' ду и модулем Š— Е2+ Е2 к у = — + — = ~У(.)! дер др) дх дх е(х ф или ~рх ру Так как иэ условий Коши — Римана у = — ф„, а <р„= фк, то вдоль силовой линии фкох + фуйу = Нер = О. Следовательно, на плоскости (х, у) линии, удовлетворяющие условию При этом уравнение силовой вид Ых йу Е Е„' линии на плоскости (х, у) имеет 138 4.
УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА ф(х, у) = сопе1, ортогональны зквипотенциалям и являются силовыми линиями электростатического поля. На рисунках электростатических полей эти линии изображаются штриховыми линиями. Комплексную функцию ) (з) = ф(х, у) +1у(х, у), = ео )~'(л)~ (4.7) 1ло Сгя )ст! = еоЕ = со Так же просто можно рассчитать заряд д на электроде между двумя точками а и Ь. Так как на электроде р = сопе1, то вдоль электрода изменяется только действительная часть ф комплекс- ного потенциала Дл). Поэтому на электроде )~'(л)( = д4/д(, -+ где ( — единичный орт в направлении касательной к линии С1 (или С~) в сторону возрастания ф, Поэтому д = !а! Й = ео !~'(л)! ИЕ = й а 1 д4 = ео у — а( = ео (Ф(Ь) — 4(а)1.
(4.8) /а л позволяющую аналитически описать электростатическое поле на плоскости (х, у), называют комплексным потенциалом. Можно отметить, что комплексный потенциал описывает также сопряженное электростатическое поле, для которого уравнение эквипотенциальных линий имеет вид 4~(х, у) = сопе1, а уравнение силовых линий ~р(х, у) = сопе1. Используя комплексный потенциал, можно определить плотность а электрических зарядов на электродах, так как по формуле электростатики 4. К Применение нонформнын отображений Пример 4.1. Исследуем конформное преобразование 139 и = агсЬ— й' или н = йсЬю, (4.9) где й > 0 — некоторая постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
