XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 21
Текст из файла (страница 21)
МОЛЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА остывающем теле: — =а Ь16 1)0, Мйй; ди 2 (М,О) =17(М), М~Й; и(Р,1)=0, РЕЕ, 1>0, (5,11) (5.12) (5.13) Задачу (5.11) — (5.13) можно решать методом Фурье (разделения переменных), представляя частное решение уравнения (5.11), удовлетворяющее граничному условию (5.13), в виде про- изведения и(М, 1) = и(М)Т(1). (5.14) Подставляя (5.14) в уравнение (5.11), после разделения переменных получим 1 Т' Ье — — = — = — Л = сопв1.
(5.15) о2Т е Отсюда находим уравнение для функции Т(л) Т'(1) + Л о Т(1) = О, (5.16) общее решение которого — Ла~$ Т(1) = Се 1 С = сопя1. -Л аяг и„(М, 1) = С„еп(М) е "а ~, и = 1, 2,..., Для функции е(М) из уравнения (5.15) с учетом однородного граничного условия (5.13) получим задачу на собственные значения Ье+ Ле = О, М Е Й; е(Р) =О, РЕ Е. (5.17) Как указано в Приложении 2, задача (5.17) имеет дискретный набор (спектр) собственных значений Л1, Л2,..., Ла,...
и собственных функций е1, е2,..., е„,... В классе функций, обращающихся в нуль на Е, система собственных функций (иа)„ образует полную ортогональную систему функций. Таким образом, можно построить набор частных решений вида (5.14) 165 5.2. Краевые эадачв оетывитя вагретых тел суперпозиция которых образует ряд и(М, 1) = ~~1 С„в„(М) е (5.18) аы1 который представляет собой решение уравнения (5.11), удовлетворяющее граничному условию (5.13). Выберем теперь постоянные С„в (5.18) так, чтобы удовлетворить начальному условию (5.12). Полагая в (5.18) 1 = О, получаем Сана(М) = 17(М)> М Е Й.
(5.19) а=1 В соответствии с теоремой Стеклова (см. Приложение 2), в этом разложении функции 1е(М) в ряд по собственным функциям задачи (5,17) коэффициенты С„могут быть найдены по формулам (5.20) С„= — У(М) в„(М) и"т', где норма собственных функций 112 )'ру„)) = е2(М) е)1~ Каждый член ряда (5.18) экспоненциально убывает со временем, причем для достаточно больших значений 1 первый член ряда преобладает над суммой остальных членов, так как собственные значения Л„растут с увеличением номера и. Поэтому для остывающего тела через некоторое время устанавливается регулярный режим, который хорошо описывается первым членом разложения (5.18).
При этом в качестве характерного времени остывания тела, характеризующего темп охлаждения, можно выбрать величину т = (Л1а ) 1, где Л1 — первое минимальное собственное значение задачи (5.17). Ниже рассмотрены примеры решения задач остывания тел правильной формы, когда задача (5,17) может быть решена точно в аналитическом виде. В этих задачах собственные значения и собственные функции зависят от нескольких целочисленных 166 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА д2е д2о д2е — + — + — +Ле= О; дх2 ду2 дя2 (5.21) о!, , = О, е1, 1, = О; .!„ , = О, .)„ *„' = О, (5.22) ч),"=О=О, .)," 1,'-0 Собственные функции этой задачи будем искать методом разделения переменных, представляя эти функции в виде произведения: е(х, у, г) = Х(х) У(у) Я(я).
(5.23) Подставляя (5.23) в уравнение (5.21), получаем Х" У" ЯЯ вЂ” + — + — = — Л = сопв$, Х У г откуда с учетом граничных условий приходим к трем задачам Штурма — Лиувилля на собственные значения: л Х" +РХ=О; /Уи+.У=О; ~гл+ г=О; Х(0) = Х(11) = 0; ~ У(0) = У(12) = 0; ~ Я(О) = Я(13) = О. Эти задачи имеют следующие нетривиальные решения: ит ~2 итх 2 11 Ри= ( — ~, Хи(х)=вш —, ))Хи)) = —, и=1,2,...; (,~, 1 /ппгхо 12 титу 1'т= ~ — ~ Ут(У)=вш —, ))Ую)) = —, ги=1,2,...; 12 12 2 (йт~ 2 2 13 м1~ ( ) Зуд(г) в)п ))ЯуИ Й 1 2 ~13 13 параметров. Поэтому суммирование в формулах (5.18) и (5.19) следует понимать как суммирование по всем этим параметрам. Пример 5.1.
Пусть тело представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами 11, 12 и 13, занимающий в пространстве область Й = ((х, у, «): 0 < х < 11, 0 < у < 12, 0 < я < 13). тогда задача (5.17) для функции о(х, у, я) примет вид 3.2.
Краевые эадачи оетывавив нагретых тех 167 В итоге для задачи (5.21), (5.22) находим собственные значения 2 /п2 тп2 7г2 Л Л = ЛеваГг = гагг+ р, +агГг = я ~ 2 + — 2+ и соответствующие им собственные функции тоху ° нхв 2 111213 игиг,В(х, Р, х) = гйп — в1п — вш —, ОО„„,В)( 13 ' ""' 8 Поскольку собственные функции зависят от трех целочисленных параметров п, гп и Й, функция и(х, р, г, 1), записанная в виде тройного тригонометрического ряда и(х, у, г, 1) = пггх, гпхгв, ггхв С ь е п™ вш — вш — вш — (5,24) йиг в=1 ге=1 Гг=1 с коэффициентами 1 1 1 С„и,в = Цх, у, г)х О О О югх, тхр .
/сггг х вш — гйп — тйп — г(х гор гЬ, (5.25) 11 12 13 в силу (5.18)-(5.20) является решением задачи остывания прямоугольного параллелепипеда (пластины) конечных размеров. Пример 5.2. Рассмотрим задачу остывания цилиндра радиуса тО и высотой Н, т.е. тела, занимающего область й = = ((т, гр, в): О < г < гО, О < гр < 2х, 0< в < Н). Предполагаем, что начальное распределение температуры У(т, в) не зависит от угловой переменной гр. Тогда в любой момент времени 1 > 0 решение задачи и(т, г, 1) будет обладать осевой симметрией, Поэтому задача (5.17) на собственные значения примет вид 02 1 Д 02 — + — — + — +ЛО=О, Дт2 т дг Дя2 0<т <то, 0<в <Н; )е(0, в)( < оо, и(то, в) = О, 0 < я < Н; и(т, 0) =О, е(г, Н) =О, 0<т<г.О.
(5.26) 168 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕКОСА Если искать ее решение в виде е(т, х) = Н(г) 2(х), то для функции 2(х) получим задачу Штурма — Лиувилля < Я' + иЛ' = О, 0 < х < Н; Я(О) = 2(Н) = О, (5.27) которая имеет дискретный набор собственных значений 2 (5.28) и собственных функций пх2 Н ~„(.) =я1п —, ))г„)! = —.
Н ' 2 (5.29) (5.31) Его общее решение у(х) = А Д~(х) + В Фе(х) (5,32) содержит амуниции Бесселя,7е(х) и Неймана Мо(х) нулевого порядка, представляющие собой фундаментальную систему линейно независимых решений уравнения Бесселя нулевого порядка, На рис. 5.1 приведены качественные графики этих функций. Для функции К(т) соответствующая задача на собственные значения примет вид йгН вЂ” + — — +шН=О, 0<г<то; с1т2 т ат ' ' (5.30) !Н(О)( <, Н(те) = О.
Здесь ш = Л вЂ” и„— некоторая пока еще неизвестная постоянная. Если ввести новое переменное х = ,/юг и обозначить у(х) = Н(х/~/м), то для определения функции у(х) получим дифференциальное уравнение Бесселя нулевого порядка р +-р +е=О. л 1 ! х 169 з.2. Краевые задачи сстываииа нагретых тат ° 7е(х) Рис. 6.1 Я(г) = А 76( Гит) + В Мо( /шт).
(5.33) Условие ограниченности функции й(т) при т = 0 дает В = О. Полагая затем в уравнении (5.33) т = ге, получаем А 7а(р) =О, р= чlмто. (5.34) Это трансцендентное уравнение при А ф 0 имеет счетное множество положительных корней р1, р2,..., р„„,: ., которые являются нулями функции Я~(х) (см. рис. 5.1). Приведем несколько первых значений п,н: р1 = 2,405, р2 = 5,520, рз = 8, 654, р4 = 11, 792. Таблицы нулей функций Бесселя можно найти в справочной литературе, Как следует из графиков, функция Бесселя ограничена при х = О, точнее 76(0) = 1, а функция Неймана неограниченно растет по модулю при х — е О.
Заменяя х на г, запишем общее решение уравнения (5.32) как 170 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Отметим, что с возрастанием номера гп разность значений двух соседних корней (пе1+1 — п,в) стремится к х. Действительно, например, д7 — ИЕ = 3, 1405. Это свойство корней функции Бесселя Д~(х) вытекает из асимптотической формулы .70(х) — сов ж + О Таким образом, задача (5.30) имеет бесчисленное множество собственных значений 2 ы=ющ — — —, то=1,2,..., которым соответствуют собственные функции В ()=Л И вЂ” 1. ге/ Докажем, что зти функции ортогональны на отрезке [О, го] с некоторым весом р(г) = г. Для зтого запишем уравнения, которым удовлетворяют две собственные функции Ве|(г) и Вь(г): ~~~я4 ~ 2 2 2 2 — — + ~;„гВ,„ = О, а,„ = И,„/го, дг <~(Ж1 г 2 2 2 — ~г — ~ + аьгВь = О, аь — — рь/го.
Йт ~, Й.,~ Умножим первое из уравнений на Вь(г), а второе — на В,в(г). Тогда после вычитания второго соотношения из первого получим Вь — ~г — ) —  — ~г — ) +(а — а~)гВ Вл =О. Иг ~ Йг ) -<Ь-~ Йг) Интегрируя зто равенство по г в пределах от 0 до г, будем иметь ЫВп, (И~ тВ Вью=с "ИГ2 2 дт 171 5.2. Краевые ввдвчи остыввиив иагретык тел Так как В~(г) = Я~(аат), а В ,Я = ,70(атит), то по свойствУ бесселевых функций ~Ы~ — = аь. 4(айг) = -аа г1(аат).
Йт гЖ,„ = ат Х~(атпт) = ат А(атт), йт где,71(х) = -ЛО(х) — функция Бесселя первого порядка. Следовательно, .В„,В, (г= 0 ат 70(а/сг) 71(атг) — аа 70(атат) у1(ау,т)) =т 2 2 (5.35) ат ав Если верхний предел интегрирования выбрать равным гО, то, учитывая, что Я(аьтО) = Я>(агитО) = О, из уравнения (5.35) при а„, ф ав получаем условие ортогональности ге Г т В,„(г) Вь(г) е)г = О, тп ~ к, 0 которое согласуется с выводами теории задачи Штурма — Лиувилля (см.
Приложение 2). Совершим теперь в уравнении (5.35) предельный переход атв -~ ав. Правая часть равенства (5.35) при этом дает неопределенность О/О. Раскрывая ее дифференцированием по ага и последующей подстановкой аь = аи,, получаем гВгв(т) йт = — 70(атг) 71(атвт) + 2ати ( 0 + атвт УО(атвт) У1 (атвт) + агат фагвт) . (5.36) 172 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Так как Я~(араго) = О, то, положив в уравнении (5.36) г = г0, получаем выражение для квадрата нормы г г0 )(Вуд(( = / гВ;д(г)ЙГ= — Я~(отсо) = —.7~(~йод).
(5.37) 0 Таким образом, доказано, что нетривиальные решения задачи (5.26) существуют только при (ПИ Рт ~12 2 А Адтд ид+ыш ( ) + 2 д>ш 1 2 ° . И го Этим собственым значениям соответствуют собственные функ- ции г ~, пкэ 2 Ого 2 ед (г, з) = 70 Н„, — ~ ьйп —, ~~едш(~ = — А(магд) 4 и = 1, 2,..., гд = 1, 2, В итоге с учетом соотношений (5.18) и (5.20) получим решение задачи об остывании ограниченного цилиндра в виде двойного ряда — Л„~да 1 (,*,~) = 2 2 с Уо(Ф вЂ” ) Й вЂ”. д.38) РО д=1 та=1 с коэффициентами Нш 4 Г / г1 . пяз / /У(г, з) Я~~р~д — ~ з(п — гйгНг, (5.39) О гете(Рт) т0 О 0 0 которые определяются заданным начальным распределением температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
