XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.3. Распространение теплоты н неограниченном пространстне 173 Регулярный режим остывания для достаточно больших значений 2 описывается одним членом ряда (5.38): и1(т, х, 2) = С11,уО р1 — в1п — е ~! то! Н где т = [а2Л11) 1 (а2(я2~Н2+ р21(то2)) — 1.,и1 = 2,405; а2 коэффициент температуропроводности материала, из которого выполнен цилиндр; Н и то — геометрические размеры цилиндра.
5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве Если отвлечься от влияния на температурное поле формы и размеров тела, то можно рассмотреть задачу об эволюции температурного поля в безграничном пространстве, заполненном однородным и изотропным материалом с известным коэффициентом температуропроводности а2. Такой процесс можно описать математически, решая следующую задачу Коши длл иараболичесиого уравиеиил тпеплопроводиостаи: < 2 — =а саи, 2) О, М с Я"; и(М,О) =1о(М), Мс Я. (5.40) (5.41) 'р(М) = 95з(М Мо) Ю = Яо/(рс), (5.42) где дз(М, Мо) — трехмерная дельта-функция, свойства которой описаны в Приложении 1; Яо — количество теплоты, мгновенно сообщенное среде в начальный момент времени в точке Мо; рс — объемная теплоемкость материала.
Здесь и(х, у, х, 2) — температура в точке трехмерного евклидова пространства М = М(х, у, а) в момент времени 2; 1о(х, у, х)— заданное начальное распределение температуры во всем пространстве. Решим сначала задачу о влиянии мгновенного точечного источника теплоты, действующего в точке Мо(хо, уо, хо) в начальный момент времени. Для такой задачи 174 $. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Из физической постановки задачи для мгновенного точечного теплового источника следует, что точка Мо в любой момент времени будет соответствовать центру симметрии.
Поэтому удобно выбрать сферическую систему координат с центром в точке Мз и записать уравнение (5.40) для функции и = и(т, 2) в виде 1 ди дги 2 ди — — = — + — —, 2)0, 0<т<оо. (5.43) аг д~ дтг т дт' ди и-+ 0 и — -т 0 при т-+оо. дт (5.44) Кроме того, из закона сохранения энергии с учетом (5.42) мож- но записать следующее интегральное соотношение: | и(т, Ф)4хт Й = ф О (5.45) Из определяюшнх параметров задачи Я и аг, единицы измерения которых соответственно равны К м и мгс 1, и переменных т и 2 можно составить единственную безразмерную комбинацию т ч= ,айаг, и характерную величину, имеющую размерность температуры: О 3 (а $) ~2 Поэтому в соответствии с П-теоремой теории размерностей (см.
Приложение 3) решение задачи о влиянии мгновенного то- чечного источника теплоты следует искать в виде (т,г) = З ~(0), (аг2)З~ (5.4б) В любой момент времени 2 > 0 тепловые возмущения от мгновенного точечного источника на бесконечном расстоянии от него будут пренебрежимо малы. Это значит, что о.о. Распространение теплоты н неограниченном пространстне 175 где функция 6(е1) с учетом соотношения (5.45) удовлетворяет интеграяьному условию 4п 9(0) п~ <Щ = 1. о (5.47) Подставив (5.46) в уравнение (5.43), получим дифференциальное уравнение 3 1 И6 ~12се 2 И6 --Π— -о — = — + — —, 2 2 ф фз 0 й1' которое можно преобразовать к виду 3/ 246~ и д / 2Ю~ -- ~е+ — — ~ = — — ~о+ — — ~.
(5.48) 0 й1~ 2а0'1, 0 (0)' 2 ейЭ Если обозначить д = се+ — —, то уравнение (5.48) примет и (Ь)' од -зд = и —. Й~ Интегрируя (5.49), получаем д = С 0 3, С = сопвс. Поэтому (5.49) (5.50) сопвФ О 0З . Для функции 6(т1) с такой асимптотикой на бесконечности усло- вие (5.47) не может быть выполнено, так как интеграл в левой части (5.47) расходится. Покажем, что константу С в уравнении (5.50) следует положить равной нулю.
Действительно, так как из (5.44) следует, что ст -+ 0 при 0 — ~ оо, то нз (5.50) при С ф 0 для достаточно больших значений и получаем 176 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Полагая в уравнении (5.50) константу С равной нулю, получаем 2 (Ю 6+ — — = О. (5.51) и ИП Разделив переменные и интегрируя, находим 2 9= С1е Ъ, С1 = сопв1. (5.52) Постоянную С1 определим из условия (5.47), записав его в виде сю 2 С1(е я П й1= —. 4я (5.53) Теперь, вычислив несобственный интеграл 1= е ~ 0~Й1=8 е ~ С~с((= — 4 (И е 4 0 О О = — 4се 5 +4/ е 5 Ис=4/ е 5 И(=4 — =2~,Я~ 2 О О из (5.53) получаем 1 1 8Я~,~Я (2 ~я)3' (5.54) г о(г,2)= е 4а1.
2" (2 яо22)' (5.55) Возвращаясь к переменным х, р, л и полагая (~ = 1, из решения (5.55) получаем функцию температурного влияния мгновенного точечного источника теплоты, или фундаментальное решение Таким обрезом, с учетом формул (5.46), (5.52) и (5.54) можно записать решение задачи (5.40), (5.42) о влиянии мгновенного точечного теплового источника. Это решение имеет вид 5.3. Раснростравение таввати в неограниченном оростравстве 177 уравнения теплопроводности во всем пространстве ст(х, у, в, х', у', г', 1) = (5.56) Эта функция описывает температурное поле в различных точках пространства в любой момент времени, если в начальный момент времени в точке М'(х', у', г') мгновенно выделилось количество теплоты ЯО = рс.
Функция (5.56) является фундаментальным решением, так как с помощью нее можно построить решения других задач для уравнения (5.40). В частности, решение задачи Коши (5.40), (5.41) с помощью функции 0 может быть записано в виде и(х,у,г,с)= +ос р(х', у', л') сч(х, у, л, х', у', л', Ф) сЬ' Ыу' сЬ' = — р(х', у, г') х сЬ' ссу' «Ь'. (5.57) хе Действительно, чтобы при 1 = 0 мгновенно увеличить температуру в объеме Нх'сну'сЬ' вблизи точки М' от нуля до у(х', у', г'), необходимо в этот объем подвести количество теплоты й~о = рср(х', у', г') Ых'Ыу'сЬ'.
По смыслу функции с такое тепловое воздействие создаст в точке М(х, у, л) в момент времени 1 > 0 температурное возмущение с(се'з с с с — с'(х, у, л, х, у, г, 1) = = ср(х', у', г') с (х, у, г, х', у', «') с(х' ду' сЬ'. Суммируя в точке М воздействия от всех источников, связанных с начальным температурным полем, т.е. интегрируя по переменным х', у', л', получим для температуры в точке М(х, у, г) в момент времени 1 ) 0 выражение (5,57). 178 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА С помощью функции влияния мгновенного точечного источника можно также построить решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности < — г а Ли+У(М,1), 1>0, Мб Я~; (5.58) и(М,О) =О, МЕ Я~.
В такой задаче количество теплоты, выделяющееся в момент времени 1 = т в элементе объема <Ь' Иу' сЬ' эа время йт и равное й~ = рсЯх', у', г', т) Нх'Йу'сЬ'Йт, вызовет в точке М(х, у, г) в момент времени 1 ) т темпера- турное возмущение — С(х, у, г, х, у, г, 1 — т) = г рс = У(х', у', г', т) 6(х, у, г1 х', у', г', 1 — т) ~(х' ф' <(г'((т. Суммируя возмущения, вызванные такими элементарными тепловыми источниками, расположенными в различных точках пространства, и действующие в различные моменты времени, получаем решение задачи (5.58) в виде С +оо и(х, у, г, 1) = 7(х', у', г', т) х Π— оо х 0(х, у, г, х', у', г', 1 — т) Ых' с~у' <Ь' йт.
(5.59) Суперпозиция решений (5.57) и (5.59) и(х,у,г,1)= ~р(х', у', г') С(х, у, г, х', у', г', 1) с(х'Иу', с(г'+ + 1'(х', у, г, т) С(х, у, г, х', у', г', $ — т) <Ь'Ну <Ь'Йт О -оо 5.3, Распространеппс теплоты в паограппчеппом пространстве 179 является решением задачи Коши для неоднородного уравнения в общей постановке: — а а Ьп+~(М,8), 1)0, МЕЖ'; (5.60) п(М, 0) = ср(М), М Е Я~, С помощью фундаментального решения (5.56) можно определить температурное поле от непрерывно действующего точечного источника теплоты постоянной мощностью д, который начинает действовать в момент времени 1 = 0 и движется с постоянной скоростью е, например, в направлении оси Ох.
Такое решение находит приложение в теории сварочных процессов. Тепловое воздействие непрерывно действующего движущегося источника эквивалентно суммарному воздействию бесчисленного множества мгновенных точечных источников мощно- стью д, расположенных в тех точках пространства, где в текущий момент времени находился движущийся источник. Выделим один нз таких элементарных тепловых источников, который действовал в течение промежутка времени от т до т + Йт, находясь в точке с координатами х' = е т, у' = О, г' = О.
Этот источник выделил количество теплоты сК) = д Йт и вызвал температурное возмущение в точке М(х, у, я) в момент времени 1 ) т, которое можно рассчитать по формуле (5.55). Имеем Й~ ~ (х — ет) +у2+я~~ пи = ~.(г,/'зГ- ю' ~ м'а — ) Суммируя возмущения от всех элементарных тепловых источников,получаем и(х, у, я, с) = (х — ит) +у +г з/ з рс(2,/яп2) 3 (1 т) ~2 О 180 Л. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА При описании температурного поля в рассматриваемой задаче удобнее перейти в систему отсчета, связанную с движущимся источником, т.е.
перейти к новым координатам х, = х — и1, у, = р, я, = ю В новой системе координат рассматриваемая задача трансформируется в задачу о неподвижном непрерывно действующем с момента времени 2 = 0 точечном тепловом источнике, помещенном в движущуюся с постоянной скоростью и в отрицательном направлении оси Ох, среду. Переходя в систему координат х„у„я„запишем выражение (5.61) в следующем виде: и(х„у,, г„Ф) = (2 — т) Ь Обозначив В~ = х2 + и~ + х~~ и сделав замену В Яйт 2аЯ- т 4а(2 — т) Ь. после преобразований (5.62) получим и(х„у„х„1) = з екр 2 екр ~ 4 2 К. (5.63) 2 азФ Здесь к = рса — коэффициент теплопроводности среды. При 1-+ оо интеграл в уравнении (5.63) можно вычислить точно: 42 с~ Р 2 О о.з.
Распространение теплоты в неограниченном пространстве 181 и мы приходим к формуле д ( п(В+х )1 й(х„у„я„) = ехр ~ — ' ~, (5.64) 4я1сЛ ~ 2а2 описывающей стационарное (в системе координат, движущейся вместе с тепловым источником) температурное поле вокруг источника постоянной мощности д, которое устанавливается по истечении достаточно большого промежутка времени. Качественный вид этого стационарного температурного поля представлен на рис. 5.2, где в плоскости (х„у„) по уравнению (5.64) при я, = О построены изотермы п(х„у„О) = сопз1. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
