XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 23
Текст из файла (страница 23)
о.2 Для неподвижного источника е = О и формула (5.63) упрощается: н(х„у„е„1) = — 1 — Ф / ехр( — ~~) с1с. (5.65) 2н ~йВ я 2н ат1 Здесь Ф(с) — специальная функция, которую называют иктпегралом ошибок. Из уравнения (5.65) при 1 — ~ оо приходим к простой формуле й(х„у„я,) =, В = х, + у, + х„(5.66) 2 2 2 182 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА описывающей установившееся температурное поле вокруг неподвижного непрерывно действующего теплового источника. Этому температурному полю соответствуют сферические изотермические поверхности В = сопяс.
Формула (5.66) с точностью до размерной постоянной соответствует фундаментальному решению уравнения Лапласа (см. 3.2). Этот результат является естественным следствием уравнения (5.7), из которого вытекает, что стационарное с ди — = 0 распределение температуры удовлетворяет уравнед1 нию Лапласа во всех точках пространства, где отсутствуют тепловые источники. 5.4.
Диффузионный процесс в активной среде с размножением Большой интерес представляют процессы, в которых возможна объемная генерация диффундирующего вещества (частиц) со скоростью, пропорциональной концентрации. В частности, такой процесс с размножением наблюдается при протекании реакции деления тяжелых ядер (2Э50, 2Э~Рц и др.), когда при взаимодействии с нейтронами некоторые тяжелые ядра атомов могут испытывать деления на более легкие ядра с испусканием нескольких новых нейтронов и выделением значительной ядерной энергии. При наличии такого процесса количество нейтронов будет увеличиваться, и при некоторых условиях можно ожидать протекание процесса в виде цепной реакции взрывного типа, Большой вклад в развитие теории цепных реакций внесли работы Н.Н.
Семенова, Я.Б. Зельдовича и Ю.Б, Харитона. В диффузионном приближении процесс распространения нейтронов в активной среде описывается уравнением вида (5.10), в котором и(М, 1) — концентрация нейтронов, Π— эффективный коэффициент диффузии нейтронов, Г = аи — ди = уи, где а — коэффициент рождения,,9 — коэффициент поглощения, у = о — д — коэффициент размножения нейтронов, Если у ) О, 5.4.
Диффузионный процесс в аитивной среде с раэмноисением 183 1> 0 0 < т < то' (568) и(т, 0) = ио(т), 0 < т < то; и(то,1) =О, 1>0. (5.69) (5.70) Граничное условие (5.70) соответствует предположению о быстром уходе нейтронов, вылетевших с поверхности шара, что позволяет считать концентрацию нейтронов на этой поверхности практически равной нулю в любой момент времени.
Для решения задачи (5.68) — (5,70) сделаем подстановку и(т, 1) = и(т, 1) еч . (5.71) Тогда, учитывая, что ди ди 4 — = — еЗ4+ диез, дс дс после подстановки (5.71) в уравнения (5.68) — (5.70) получим краевую задачу для функции тл 1 д„ дг„ 2 д — — = — + — —, 1>0, 0<т<то; Р д4 д.г ° д.' и(т, 0) = ио(т), 0 < т < то, (5.72) и(то, 1) = О, 1 > О. то процесс объемной генерации нейтронов преобладает над их поглощением, и именно в этом случае можно ожидать возникновения цепной реакции. Таким образом, в основе математической модели цепной реакции лежит диффузионное уравнение.
ди — = Рйи+чи, у > О. дс (5.67) Используя уравнение (5.67), опишем процесс эволюции нейтронов в активной среде (7 ф 0), представляющей собой шар радиуса то, если начальное распределение нейтронов в этом шаре задано сферически симметричной функцией ио(т). Тогда для определения концентрации нейтронов и(т, 1) в любой момент времени получаем задачу 184 о. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Введем теперь в рассмотрение функцию ю = ти. Замечал, что запишем для определения функции ю(т, Ф) следующую задачу: дю д2ю — =Ю вЂ” 1>0 0<т<то д1 дт2 ' ! ю(т, О) = т ие(т), 0 < т < то; ю(0, 4) = ю(те, 1) = О, 1 > О.
(5.73) (ггя1гПг ггтт ю(т, 2) = ~ аве 'то ' Я)п —, п=1 О (5.74) где то 2 Г тгят а = — / тип(т) ягп — оЬ'. тО тО О (5.75) Возвращаясь к функции и, запишем решение исходной задачи (5.68) — (5.70) в виде пят оо „„г и(т, $) = ~ апе(з (то) ) 0 т гг=1 (5.76) 2т1 Анализ (5.76) показывает, что если у < —, то при любом О чачэльном распределении концентрации нейтронов в шаре гге(т) число нейтронов в любой точке будет уменьшаться, стремясь к нулю при 1 — + оо.
Цепная реакция в этом случае не протекает при любом начальном фоне нейтронов. Дополнительное краевое условие для функции ю в точке т = 0 является следствием ограниченности функции е при т = О. Задача (5.73) уже была нами решена 1см. (2.32)). Ее решение имеет вид 5.4 Ди4нйуэионный процесс в ективной среде с рввмножением 185 Однако для достаточно больших значений коэффициента „212 размножения, когда у ) —, хотя бы один из показателей го ' экспонент в разложении (5.76) становится положительным. Это означает, что концентрация нейтронов начинает очень быстро по зкспоненциальному закону нарастать с течением времени, реализуя режим цепной реакции.
Следовательно, для заданных значений Р и 'у существуют критический радиус шара и соответствующая критическая масса активного вещества, которые можно рассчитать по фор- мулам Б 4 гкр = я ~ упкр = Р я~к ~(7 Б (5.77) (5.78) 7>Л,В, В шаре из активной среды с размножением, масса которой меньше критической, цепная реакция не возникает. Если же масса активного вещества с размножением нейтронов превышает критическую, то самопроизвольно начинает развиваться процесс лавинообразного нарастания концентрации нейтронов и выделяется значительная энергия от деления тяжелых ядер. Происходит ядерный (атомный) взрыв.
Первые расчеты физиков с учетом экспериментальных данных для обогащенного урана (.у = 10б с 1, В = 6,5 102 м2/с, р = 18, 7 10 кг/м ) дали значения гкр = 8.10 м и упкр = 40 кг. 3 3 — 2 Можно рекомендовать читателю самостоятельно решить задачу о цепной реакции в общем случае, когда активное вещество занимает некоторую произвольную по форме область й, ограниченную поверхностью Е. Решение этой задачи может быть записано в виде и(М, 1) = ~~~ пие(" " ) ьи(М), М Е Й, п=1 где Лп и си(М) — соответственно собственные значения и собственные функции задачи (5.17). Условие, определяющее протекание цепной реакции, в этом случае будет таким: 186 а мОделиРОВАние пРОцессОВ пеРенОсА где Л1 — первое (минимальное) собственное значение задачи (5.17), определяемое формой и размером области П.
Согласно теории размерности (см. Приложение 3) из условия (5.78) следует формула для определения характерного критического размера области ܄Р— — б ~/Ъ,~~, где б — некоторый числовой коэффициент, зависящий от формы области Й. 5.5. Задача экологического прогнозирования Расчет загрязнений среды продуктами деятельности промышленных предприятий является важной задачей охраны окружающей среды. Рассмотрим задачу экологического прогнозирования, в основе математической модели которой лежит уравнение диффузии в движущейся среде (5.9). Пусть в некоторой области ю С Я расположены источники вещества, загрязняющего окружающую среду.
Мощиость таких распределенных источников будем характеризовать для М б ш и 1 ) О заданной функцией Я(М, 1). В частном случае Ф локальных сосредоточенных источников, расположенных в точках М = М (х., у-), у' = 1, 2,... Ф, имеют мощность Я(М 1) = ~~' 'Ру(1) 52(М Му)1 где ~р (1) — мощность выброса загрязняющего вещества от 1-го источника, заданная для 1 > О как функция времени; б2(М, М ) = б(х — х ) 5(у — у;) — двумерная дельта-функция, характеризующая влияние сосредоточенного источника загрязняющей субстанции (см. Приложение 1).
Будем считать, что перенос вещества в среде осуществляется как диффузией, так и конвективным механизмом переноса, о.о. Задача экологического прогыоэыроааиил 187 ди — + в~ 8гас( и = Рамзи — ри + Я(М, ~), д1 $>0, Мей; и(М,О)=0, МЕЙ; и(Р,1)=0, Редй, 1>0. (5.79) Здесь Р— коэффициент турбулентной диффузии; р > 0 — некоторая константа, определяющая интенсивность поглощения вещества в процессе его распространения, обусловленного протеканием химических реакций, осаждением и уносом вещества в другие слои. Полагая и(М, $) = ш(М, 1) е ,'Й1Р (5.80) получим для функции чо(М, $) задачу дчп = ~-~~2иэ йш+ г(М1 ~)~ дс иэ(М,О)=0, МЕЙ; чи(Р,й)=0, Рбдй, й>0, 1>0, М ЕЙ; (5.81) о1к+езу где к = Р+ ио2/(4В); Р(М, ~) = Я(М, 1) е ЛУ связанным с движением несжимаемой среды, скорость которой Ф(и1, ич) задана и не зависит от времени и пространственных координат, причем о1 = ое соя Д, а о7 = ое аш д.
Введем в рассмотрение область экологического прогнозирования Й = ((х, у): 0 < х < Ь, 0 < у < Ц, такую, что ы С Й. Будем при этом полагать, что размер Х области Й достаточно велик, и поэтому на ее границе дЙ, удаленной от источников загрязнения, концентрацию загрязняющего вещества практически можно положить равной нулю. В диффузионном приближении нестационарное распределение концентрации и(М, с) загрязняющего вещества определим из решения следующей краевой задачи: 188 5.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Теперь с помощью подстановки ш(М, 1) = д(М, $) е (5.82) приходим к следующей задаче: дд д1 — = ВЛ2д+ у(М, 1), 1> 0, М ~ а; д(М,О)=0, МЕЙ; д(Р,1)=0, Рбдй, $>0, (5.83) где у (М, 1) = Р(М, 1) е" 1. Решение задачи (5.83) будем искать в форме разложения в двойной тригонометрический ряд Фурье: пях „ппгхо д(х, у, 1) = ~~~ ~~) дпт($) зш — яп —. (5.84) п=1 т=1 1(х, У, 1) = ~ ~~) ~пт($) з1п — зш пях .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
