XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Эти решения (собсвпеенные функции) являются полиномами Лежандра и-го порядка, т.е. Хп(х) = Рп(х) или Ф(В) = Рп(совВ) для п = О, 1, 2,... Как собственные функции задачи Штурма — Лиувилля по- линомы Лежандра удовлетворяют следующему условию ортого- нальности: | +1 Рп(х) Рш(х) 1(х = -1 л О, пфгп; Рп(совд)Р,„,(совд) втдйд= 2 (432) О 2п+ 1' При Л = Лп = п (н+ 1) из уравнения (4.29) находим В(г) = апг + или В(р) = Апр + —, и 5п и Нп где р = г/г1; Ап, Вп = сопв1, Используя принцип суперпозиции решений для линейного уравнения (4.25), представим его решение рядом Р(Р, В) = ~~> (АпРп+ — "1) Рп(совд), рп+1/ (4.33) 1<р< у, О<В<в, где р = г(г1, у = г2/г1 > 1. Удовлетворяя при р = 1 граничному условию (4.26), получаем Ап + Вп — — О, т.е.
Р~д и = 1 А (р"' — — „) Р„( и. (4.34) п=О Теперь с учетом граничного условия (4.27) получаем соотношение ОО 2п+1 ~, АпГп Рп(сов В) = Ю(д), Гп — — . (4.35) п=0 7 Н 4.3. Расчет палл ллектростатлческого подлела Равенство (4.35) представляет собой разложение функции с1(о), заданной формулой (4.27), в ряд Фурье по полиномам Лежандра. Возможность такого разложения по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля (4.31) следует из теоремы Стеклова (см. Приложение 2). С учетом условия ортогональности (4.32) находим коэффициенты этого разложения 2п+1 АпГп = / (7(0) Р„(соед) ешВс(В = 2 О +1 (7(х) Р„(х) с(х, (4.36) — 1 где — 'ко, -1<х<0; с1(х) = + Ъ"о, 0 < х < +1. Учитывая правила изменения знака аргумента для полиномов Лежандра Р„( — х) = ( — 1)" Рп(х), иэ (4.36) для искомых коэффициентов А„разложения (4.33) получим формулы Ап —— 0 для и = 2/с; 1 2п + 1 Ап — — арго / Р„(х) Нх длЯ 7т = 2Й+ 1. Г„ / О Используя известные для полиномов Лежандра формулы Рп(1) = 1; Р„„.1(0) = — Р„1(0); 1 Рп(х) = Р„'+1(х) — Р,', 1(х) , 2п+1 можно вычислить квадратуру Р„(х) ох = Р„1(0), 1 и+1 О 4.
УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 152 Здесь Р,(0) = 1; Рг,+,(0) = 0; Ргл(0) = ( — 1), й ) 1 ь1 3 5 .(2й — 1) Таким образом, окончательно, решение краевой задачи (4.25) — (4.27), описывающее распределение потенциала в электростатическом подвесе, запишем в виде (4й + 3) Ри(0) '""-" -2(.+ )Гг„„" / г~+1 >гй+г 1 < р = т7'т1 < 'у, 0 < д < к. (4.37) Используя известную формулу электростатики с помощью решения (4.37) можно определить распределение ин- дуцированных зарядов на поверхности шара. 4.4.
Электрическое поле в плазме Рассмотрим полностью ионизированный газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т. Такой газ состоит из положительно заряженных частиц (ионов) и отрицательно заряженных частиц (электронов). Ограничимся случаем однократной ионизации атомов. Тогда в отсутствие внешних силовых полей вследствие хаотического теплового движения частиц в любой точке пространства выполняется локальное условие нейтральности газа: и+ = = и = пэ, где пе — объемная концентрация заряженных частиц.
При этом в случае однократной ионизации д~ — — +д, а д = — д, где д = 1,6 10 ~~ Кл — элементарный электрический заряд. 153 4.4. Электрическое иоле в илюме Внесем в такой ионизированный газ точечный положительный Т+ Т+ ++ заряд Я, поместив его в точку МО. + т+++ Ф ++ ++ +++ Под действием поля этого заряда вблизи точки МО нарушается уело- + »-+ Я -»+ вне нейтральности газа причем кон+»- +4- 4 -Ф >! +»-»- центрация отрицательно заряжен- +~ ных частиц в некоторой области +»»- »» + »-»=»- +»: + вблизи точки МО будет превышать -Ф + Ч-+++ -Ф. концентрацию положительно заря- д=+ ч- чженных частиц (рис. 4.8).
Рассчитаем потенциал макроскопического электрического поля в ионизированном газе, обусловленный точечным зарядом Я. Для этого запишем для потенциала у(М) уравнение Пуассона Рис. 4.8 Гир = — —, М(х, у, г) 6 Я . р(М) 3 сО (4,38) Здесь плотность электрического заряда Р(М) = Я бз(М МО) + Р+(М) + р-(М) (4 39) учитывает наличие точечного заряда Я и объемно распределенного заряда, обусловленного заряженными частицами ионизированного газа.
Уравнение (4.38) следует решать при условии, что на бесконечности искомый потенциал обращается в нуль, т.е. (4.40) ~р-+ 0 при гмм, -» оо р». (М) = +Оп» (М), р (М) = -до (М). Ллотности электрических зарядов в ионизированном газе р+ (М) и р (М) в произвольной точке М(х, у, г) выразим через концентрации заряженных частиц: 154 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА ,~(М) — пО е-1У+((ат) Здесь И~+ = ду(М), И' = -Оу(М) — потенциальные энергии соответственно ионов н электронов, находящихся вблизи точки М; й — постоянная Больцмана. Следовательно, 4 !М1 р» (М) =+дпое тт яе(м) р (М) = — дпое+ ьт (4.41) Таким образом, задача отыскания потенциала ~р(М) электростатического поля в ионизированном газе принимает вид Д1е = — — бЗ(М, МО)+ — 1е Ят — е ет ~~; сО ео ~ ~ (4.42) У -+ О пРи тмяг -> оо.
с учетом свойств дельта-функции бз(м, мО) запишем задачу (4.42), исключив из рассмотрения точку М = МО пространства: < д 2О пО „ур(М) сО 14Т ' ' (4.43) ~р — ~ О при гмм -~ оо. Чтобы задача (4.43) была эквивалентна задаче (4.42), асимптотика решения задачи (4.43) при гм м -> О должна иметь вид 1 'р 4иео гмм, Задача (4.43) нелинейна, так как правая часть уравнения нелинейно зависит от искомой функции у(М). Однако эту задачу можно линеаризовать, если ограничиться исследованием Концентрации и+(М) и и (М) найдем, используя распределение Больцмана для концентрации частиц в силовом потенциальном поле: 4.4.
Электрическое поле в плазме случаев достаточно высоких температур, когда 7сТ» др. Это условие означает, что кинетическая энергия теплового движения частиц ионизированного газа значительно больше их потенциальной энергии электростатического взаимодействия. В этом случае др(М) ор(М) 'лТ ЛТ и линеаризованная задача (4.43) будет иметь вид ЬФ = — ор(М), М Ф Мо; 29~по со)сТ (4.44) ~р(М) — + О при тмм -+ со; (4.45) 1 1р(М) — при гмме -+ О. (4.46) 4ясо гммо Введем сферическую систему координат с центром в точке Мо. В силу центральной симметрии задачи искомый потенциал р будет зависеть только от радиальной координаты г = гммо.
Тогда уравнение (4.44) перейдет в обыкновенное дифференциальное уравнение для функции р(г) (4.47) Параметр задачи (4.48) л2~ — — — Ф = О. с1т2 [)2 имеющий размерность длины, называют дебаевским радиусом зкранирования, поскольку в 1923 г. П. Дебай впервые ввел такой параметр в теории электролитов, которую он разработал совместно с Э. Хюккелем. Сделав замену искомой функции ~ = гр, преобразуем уравнение (4.47) к виду 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 156 Общее решение этого уравнения Ф(т) = Ае ™+Ве+т1О содержит две произвольные константы А и В. Возвращаясь к функции ~о(т), находим общее решение уравнения (4.47) <Р(т) = — е ~~ + — е+"~ А В т т Из условия (4.46) убывания потенциала на бесконечности следует, что константа В равна нулю, а выражение для потенциала имеет вид А т р у(т) = — е ™. Разлагая экспоненту в ряд по степеням т/.О, получаем 2 ~р(т) = — 1 — — + — — +...
А А Ат А = — — — + — +... = — + 0(т). (4.49) 9 2В2 е р(т) = 4яс0 (4.50) При п0 -+ О, т.е, в отсутствие заряженных частиц ионизированного газа, иэ выражения (4.48) следует, что В -+ со, и из формулы (4.50) получаем формулу потенциала поля точечного Здесь и(т) представляет собой потенциал поля, создаваемого заряженными частицами ионизированного газа в точке М, находящейся на расстоянии т от точечного заряда ф Учитывая асимптотику (4.46) функции р(т) при т -> О, определяем константу А=— 4 О Таким образом, потенциал электрического поля точечного заряда ф помещенного в иониэированный гаэ, 157 4.4.
Электрическое поле в плазме заряда 14 в вакууме Р 0 ( Г ) Я (4.51) 4яеог' Зависимости (4.50) и (4.51) описывают качественно различные по характеру убывания потенциалы короткодействующего и дзльнодействующего полей (рис. 4.9). Рис. 4.9 Замечание 4.1. В теоретической физике потенциал (4.50) называют потенциалом Юкавы. С помощью такой зависимости Х.
Юкава в 1935 г. описал короткодействующие ядерные силы между составными частицами ядра — нуклонами, р Анализ решения (4.50) показывает, что электрическое поле заряда Я проникает в ионизированный гаэ лишь на расстояния порядка дебаевского радиуса экранирования Р. Такой короткодействующий характер электрического поля в ионизированном газе вызван экранированием (компенсацией) поля положительного заряда (~ "облаком" отрицательно заряженных частиц, окружающих этот заряд (см. рис.4.8). Дебаевский радиус .0 характеризует также эффективный размер пространственной области, где нарушается локальное условие нейтральности, т.е. размер области нескомпенсированных объемных зарядов, где п > и+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
