XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 37
Текст из файла (страница 37)
9.2. Ъ"равнение Бюргерса Волновые процессы являются эффективным средством передачи энергии и информации. Они широко используются в науке и технике. Поэтому исследование закономерностей распространения волн различной природы является важной и актуальной задачей. При изучении процесса распространения плоских волн различной природы в качестве исходного соотношения выберем закон сохранения, записанный в универсальной форме ди дд — + — = О. д1 дх (9.11) Здесь и(х, 1) — некоторая характеристика состояния среды, например плотность массы, импульса или энергии, а д — плотность потока, связанная с и и ил некоторым функциональным соотношением д = д(и, ия), конкретный вид которого зависит от выбора физического механизма переноса массы, импульса или энергии, 9.2.
Уравнение Бюргереа В случае линейного конвективного механизма переноса а = аи, где а — некоторая постоянная, При зтом уравнение (9.11) приводится к линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка ди ди — +а — =О, д1 дх (9.12) решение которого и(х, г) = ~(х — аг) (9.13) описывает волну неизменного профиля, распространяющуюся со скоростью а в положительном направлении оси Ох. Если же 9 = д(и), то мы переходим в область нелинейных волн, причем в первом приближении нелинейность конвективного механизма переноса можно учесть, считая д = аи+ — Ьи а, 6 = сопвФ. 2 2 (9.14) Подставив выражение (9.14) в (9.11), получим обобщенное урав- нение (9.12) в виде ди ди ди — + а — + Ьи — = О.
д1 дх дх (9.15) Переходя к новым переменным х' = х — а1 и $' = 6$, преобразуя производные дх' ди дг' ди ди д~ д1' И дх~ д~и дх' ди дх дх" ди ди д~ дх' ди ди дх дх' ди ди — + и — = О. д1 дх (9.16) н опуская штрихи у новых переменных, получаем нелинейное уравнение Римана 304 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ЛРОЦЕССОВ Это уравнение имеет решение, по форме аналогичное решению (9.13), если константу а в нем формально заменить на и.
Такое решение и(х, 1) = 1(х — и1) (9.17) описывает эволюцию нелинейной волны, профиль которой в начальный момент времени задан в виде и(х, 0) = 1 (х). Доказательство того, что формула (9.17) определяет решение нелинейного уравнения (9.16), можно провести прямыми вычислениями производных Поэтому ди ди — +и — = д1 дх ди , , ди , ,7'ди ди'1 = — иу' — 1 — 7' + и( — и1 — 7' = -17' ~ — + и — /.
дг д 1а д/ Отсюда или ди ди — + и — = О. д1 дх Формула (9.17) представляет собой неявное выражение для и. Анализ этой формулы позволяет выявить характерные свойства нелинейной волны, одним из которых является изменение формы волны при ее распространении. Действительно, как следует из (9.17), точки профиля волны, имеющие большие значения ординаты, движутся с большими скоростями (рис.
9.4, а). Поэтому "вершина" волны начинает обгонять остальные участки. В результате профиль нелинейной волны при распространении искажается так, что крутизна правого "склона " увеличивается (рис. 9.4, б). Наконец, наступает такой момент времени, когда происходит "опрокидывание " волны. После этого момента времени профиль волны, описываемый формулой (9.17), 305 9,2, Урааиеиие Бюргерса становится многозначным, когда некоторым значениям коор- динаты соответствуют три значения функции и 1рис. 9.4, е). Рис.
9,4 Такая многозначность функции и в большинстве физических моделей не может быть обоснована. Чтобы придать такому решению физический смысл, можно поступить следующим образом. Многозначный непрерывный профиль нелинейной волны заменим профилем с разрывом (рис. 9.5), определяя его положение х = 5(С) так, чтобы разрыв отсекал области с равными площадями (заштрихованы на рисунке). х=591 Х=5(С) Х Рис. 9.5 Такое разрывное решение моделирует ударную волну, распространяющуюся в сплошной среде, если под п понимать, например, плотность среды. При переходе через фронт ударной волны в направлении его движения плотность среды изменяется скачком от и2 до и1.
Здесь и далее с учетом направления движения разрыва будем обозначать индексом а1и величины до точки разрыва, а индексом '2" — после точки разрыва. Будем считать также, что вне точки разрыва х = 5(С) функция и(х, С) непрерывна вместе со своими первыми производными. 306 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ з(г) хг — и(х, г) ох + и(х, 1) Их хг х(г) 1 = — (и~(х2, 2) — и2(х|, 2)]. (9.19) Проведя в уравнении (9.19) дифференцирование интегралов с переменными пределами, получим г(й) хг Г ди + Гди и(з, 1) Ъ' + ~ — дх — и(з, 1) Р' + ~ — дх = ./ д( д( хг г(1) = — ')и (х2, 1) — и (х1, г)), (9.20) где и(з, 1) = и2 и и(з+, 1) = и| — предельные значения функции и слева и справа от точки разрыва; Р' = дз/Ж вЂ” скорость распространения разрыва.
Устремим теперь точки х2 и х1 слева и справа к точке разрыва х = в(г). Поскольку производная ди/дх ограничена в каждом из интервалов непрерывности, то при х2 -~ з и х) -~ з+ интегралы в (9,20) обратятся в нуль. Тогда из уравнения (9.20) получим (и2 — и1) Р = - (и2 — и1), или 2 2 1 р = — (и2 + и1).
2 (9.21) Формула (9.21) определяет скорость распространения разрыва в некоторых относительных единицах измерения через значения плотности и слева и справа от точки разрыва. Проинтегрируем уравнение (9.13) по х от точки х2 до точки х1 (х2 ( х1). Тогда после интегрирования получим хг — ~ и(х, () дх+ — ~и (х1, () — и (х2, 1)~ = О. (9,18) (1,( ' 2 ! хг Если точка разрыва х = з(2) попадает в интервал (х2, х1), то уравнение (9.18) следует записать, выделив точку разрыва. В этом случае 9.2. Уравнение Бюргерса 397 х рв б Рис. 9.6 Распространяющийся с конечной скоростью разрыв можно рассматривать как фронт ударной волны. Простейшим разрывным решением уравнения (9.16) является ударная волна сжатия (и2 > и1), имеющал форму прямоугольной ступеньки (рис.
9.6, а) и1 = сопв$, х > У1; и(х, 1) = и2 = сопвФ, х ( Ъ'1, (9.22) фронт которой распространяется с постоянной скоростью К = = (и1 + и2)/2. Если в механизме переноса кроме конвективной составляющей учесть и диффузионную составляющую плотности потока ди дл —— -с —, с = сопвс > О, т.е. положить в законе сохранения (9.11) 1 2 ди д = аи+ — Ьи — с —, 2 дх' то после несложных преобразований получим нелинейное уравнение ди ди д2и — + и — = р —, и = сонями > О. (9.23) д8 дх дх2' Это уравнение в математической физике называют уравнением Бюргерса.
При моделировании ударных волн, распространяющихся в сплошной среде, диффузионный член в правой части уравнения (9.23) появляется, если учесть эффекты вязкости при движении среды. Поэтому, исследуя свойства решения уравнения Бюргерса (9.23), мы можем качественно изучать влияние вязкости среды на структуру ударной волны. 308 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Прежде всего найдем решение нелинейного уравнения Бюргерса (9.23) в виде бегущей волны с неизменным профилем, т.е. такое решение и = и(С), которое зависит от переменного С = х — У1, содержащего некоторую постоянную У, имеющую смысл скорости распространения волны. Потребуем выполнения следующих условий: и'и и -) и2, — -+ О при 4 -+ — со; (9.24) и -+ и2, — -+ О при С -+ +со. Н(' Такая постановка задачи позволяет исследовать структуру ударной волны сжатия (9.22) вблизи ее фронта с учетом влияния диффузионного механизма переноса (вязкости). При зтом сле- дует ожидать, что наличие диффузионного слагаемого в урав- нении Бюргерса приведет к сглаживанию разрыва, и только при и -~ О решение будет трансформироваться к виду (9.22) с крутым фронтом, Действительно, профиль стационарной волны и(С) удовле- творяет уравнению Ии Ни о' и -У вЂ” +и — = и —.
л( с1~2 ' Интегрируя (9.25) один раз, имеем 2 -Уи+ — и + С = и —. 2 дс Здесь С вЂ” постоянная интегрирования. Выполняя условия (9.24), получаем 1 — 1 "и1+ — и1+ С = О; 2 1 2 — Уи2+ — и2+ С = О. 2 Отсюда находим 1 1 У = - ( 2+ п1); С = - п1п2. 2 ' 2 (9.25) (9.26) (9.27) 309 9.2.
Урааяеяяе Бюргереа Из выражений (9.21) и (9.27) следует, что диффузионный механизм переноса, т.е. вязкость среды, не изменяет стационарной скорости распространения ударной волны сжатия. С учетом формул (9.27) запишем теперь уравнение (9.26) в виде и'и (и — и1) (и — иг) = 2р —. И( Отсюда, разделяя переменные, получаем (9.28) 2и (и — и1) (и — иг) ' Используя разложение на простые дроби 1 1 1 1 (и — и1)(и — иг) и1 — иг и — и1 иг — и проинтегрируем уравнение (9.28), записав его решение в виде 2р иг — и 1п , и2 < и < иг. и2 и1 и и1 (9.29) Разрешая полученное соотношение относительно и, получаем и = и1+, 4 = х — )"е.
(9.30) иг — и1 1+ ехр (А и(х, г) = Р— А1Ь ~ — (х — 1Ч), (2р (9.31) р и1 + иг А и2 и1 где У = 2 ' 2 Решение (9.30) уравнения Бюргерса (9.23) описывает структу2р ру ударной волны с шириной переходной области 1 = и2 и1 (рис.9.6, б). При р — 1 0 ширина переходной области стремится к нулю и стационарный профиль волны (9.30) переходит в ступенчатый профиль (9.22). Решение (9.30) можно записать также в виде 310 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 2и ду д и = — — — = — 2и — 1п~р р дх дх (9.32) сводится к линейному уравнению теплопроводности йр д~у д1 дх2 (9.33) Действительно, если в уравнении (9.33) перейти от функции ~р к функции 19 = — 2и 1п ~р, то с учетом преобразований Л ду 1 2.
дф 1р = е; — = — — е д1 2и д1 ' дх2 4и2 ~, дх ) 2и дх2 из (9.33) получим уравнение для функции 19: Продифференцировав зто уравнение по х, запишем его в виде д4' Теперь, обозначив производную — через н, для функции дх дФ д и = — = — 2и — 1пу дх дх получим уравнение Бюргерса дп дп д2п — +и — = и —. д1 дх дх2 Важный результат для уравнения Бюргерса был получен Коулом и Хопфом, которые показали, что нелинейное уравнение Бюргерса (9.23) с помощью замены 311 9.2.
Урааяеяяе Бюргереа Таким образом, с помощью замены Коула — Хопфа (9,32) каждое решение ~р(х, 1) линейного уравнения теплопроводности (9.33) порождает решение и(х, $) нелинейного уравнения Бюргер са (9.23). Если начальное условие для уравнения теплопроводности (9,33) выбрать в форме х 1 Г ~р(х, О) = Ф(х) = ехр — — / Р(с) е1с, (9.34) 2ь / О то для уравнения Бюргерса (9.23) соответствующее начальное условие будет иметь вид и(х, О) = Г(х), -оо ( х (+со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
