XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (1081414), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Например, размерности длины Ь, массы М и скорости 1.Т 1 независимы, а размерности длины Ь, скорости 1.Т и ускорения ЙТ 2 — зависимы. В этом случае размерности гп — «+1 величин и, х«+1,..., Хю можно выразить через размерности величин Х1, х2, ..., х1„т.е.
[в] = [х1]"' [х2]"~ . [х«]""; [х«+1] = [х1]"' [х2]я~ [х«]""; [Х ] = [Х1] ' .[Х2] ..[Х«] «, Здесь все показатели размерностей г;, р;, ..., я1 для ( = 1, 2, ..., «могут быть определены по правилу размерностей. Следовательно, в рассматриваемой задаче можно определить т — Й + 1 безразмерных параметров или критериев: М г1 г2 ...
~ « ' х1 х2 х« Х«+1 1 р~ рз р« 1 1 2 « хю т-«э~ зл зь Х, Х2' "Х« П = Р(П1, П2,..., Пю «). (П22) В математической физике, например, любое дифференциальное уравнение можно привести к безразмерной форме. Одна из центральных теорем теории размерности и подобия, так называемая П-теорема, утверждает, что соотношение между размерными физическими величинами, не зависящее от выбора масштаба основных единиц измерения, всегда можно сформулировать как соотношение между меньшим числом соответствующих безразмерных величин. В частности, функциональную связь (П21) всегда можно привести к эквивалентной зависимости между безразмерными величинами 356 Приложение 3.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ Заметим, что преимущество зависимости (П22) перед (П21) состоит прежде всего в уменьшении числа независимых переменных на й. Соотношение (П22) можно записать также, выделив множитель, имеющий размерность величины в. Тогда из (П22) получим и = х1~'х~2~ .х(," Р(П1, П2,...,Пш ь). (П23) Чем меньше число определяющих параметров задачи и чем больше среди них величин с независимыми размерностями, тем более жестко ограничена функциональная связь между размерными величинами.
Действительно, пусть й = т, т.е. все определяющие параметры задачи имеют независимые размерности. Тогда из этих величин х1, я2, ..., хь нельзя образовать ни одной безразмерной комбинации и соотношение (П23) запишется в виде и = Сх~11х~2л" х~ье, С = сопв1. (П24) Так как показатели т1, г2, ..., гл находят по размерности величины и, то в случае Й = гв связь величины и с определяющими параметрами задачи содержит неопределенность только в виде константы. Рис. ПЗ Пример П3.2. Пусть задан прямоугольный треугольник (рис. ПЗ), который полностью определяется заданием длины гипотенузы с и угла а. Поэтому и его площадь о' зависит от этих определяющих парметров, т.е.
о = о(с,о). 357 Размерность площади [Я) = Ь2, а определяющие параметры имеют размерности [с] = Ь и [а] = 1. Поэтому из П-теоремы вытекает, что Я = с2Р(а), где Р(а) — некоторая функция безразмерного угла ст, измеренного в радианах. Но то же самое относится к площадям двух прямоугольных треугольников АВР и ВСЮ (см. рис. ПЗ), для которых роль гипотенуз играют катеты исходного треугольника АВС.
Поэтому Я1 = а~Р(се) и Я2 = 6~Р(се). Но так как Я = Я1 + Я2, то с Р(ст) = а Р(а) + 6 Р(се), или 2 2+Ь2 Теорема Пифагора доказана методом теории размерности. Сам Пифагор, правда, не знал, что доказанная им теорема является следствием П-теоремы. Рис. П4 Пример ПЗ.З. Пусть поток несжимаемой идеальной жидкости обтекает шар радиуса В (рис. П4).
Вдали от шара давление будем считать равным нулю, а скорость однородного потока — равной е. Требуется определить давление р в лобовой точке О. Замечание П3,2, Мы исключили давление на бесконечности ро из определяющих параметров задачи, так как жидкость иесжимаема и изменение давления ро в ней не может сказатьсл на поле скоростей.
В нащей задаче учесть зто статическое давление ро можно, понимая под давлением р не динамическое давление, а разность (р — ро). Ф 358 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ Определяющими параметрами задачи в силу симметричного расположенчя точки О относительно набегающего потока являются лишь плотность жидкости р, скорость потока е и радиус шара В. Поэтому Так как [р[=М1, з, [и]=1,Т 1, [В)=Ь, то размерности всех трех определяющих параметров задачи оказались независимы и Й = гп = 3. Следовательно, из П-теоремы в соответствии с формулой (П24) находим, что р = Ср"'и"еЛ'е, С = сопвФ. (П25) Так как размерность давления [р[ = Мй 1Т ~, то из уравнения (П25) получаем М~-1Т-2 (М1-З)е1 [5Т-1)ез(Цез Отсюда находим, что т1 = 1, г2 = 2, а гч = О.
Таким образом, искомое давление в точке О не зависит от радиуса шара и определяется формулой р = Сре~, С = сопв1. Значение константы С можно определить, привлекая полную систему гидродинамических уравнений и решая соответствующую задачу. ~ Следствием теории размерности является понятие подобных явлений или процессов. Два явления считаются подобными, если по найденным характеристикам одного простым пересчетом можно получить характеристики другого.
С учетом П-теоремы это означает, что подобные явления отличаются только значениями определяющих параметров, но так, что составленные с их помощью соответствующие безразмерные критерии 359 П~, П2, ..., П„, ь совпадают. Равенство всех безразмерных критериев для процессов в двух системах является необходимым и достаточным условием подобия этих систем. Поэтому безразмерные критерии называют критериями подобия. Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения как, например, размеры лабораторных моделей и натурных конструкций.
Но сами безразмерные критерии подобия в таких системах должны быть одинаковыми. Это свойство подобных систем используется при экспериментальном моделировании процессов в лабораторных условиях. Если в рассматриваемом физическом процессе в двух системах выполнено равенство не всех, а лишь части критериев подобия, то говорят о частичном подобии. В этом случае существенно, чтобы влияние критериев, равенство которых не соблюдается, на протекание процесса в системе было незначительным.
В теории упругости чри изучении начряжений и деформаций в конструкциях под воздействием внешних сил критериями подобия являются коэффициент Пуассона о и критерии рд1/Е и Р/(Е1 ), где р — плотность материала конструкции; д — уско- 2 рение силы тяжести; 1 — характерный размер конструкции; Е— модуль Юнга; Р— характерная внешняя сила.
В гидроаэромеханике важнейшими критериями подобия являются число Рейнольдса Ке = о1/и, число Маха М = з/а, и число Фруда Рг = о /(д1), где ц — характерная скорость тече- 2 ния; 1 — характерный размер; и — кинематическая вязкость; а— местная скорость распространения звука. В теории теплопроводности и теплопередачи характерными критериями подобия являются число Фурье Ро = а21/12, число Нуссельта Хи = а~1/Л, число Био В! = Ы/Л, число Пекле Ре = о1/а2, число Прандтля Рг = и/а2.
Здесь а2 — коэффициент температуропроводностн, 1 — характерный размер, Л вЂ” коэффициент теплопроводности, сг — коэффициент теплоотдачи, о— характерная скорость потока, ц — кинематическая вязкость. 360 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРИОСТИ И ПОДОБИЯ С понятием подобия тесно связано свойство автомодельности (от греч. аидов — сам и ~рамп.
шобе1е — образец), т.е. само- подобия нестационарного процесса в системе, когда процесс в различные моменты времени остается подобным самому себе, испытывая лишь сжатие или растяжение по пространственным переменным. Обычно автомодельность нестационарного процесса приводит к тому, что его характеристики оказываются зависящими от комбинаций координат и времени счециального вида которые называют аегпомодельиыми переменными. Для автомодельности процесса достаточно, чтобы система определяющих его параметров содержала не более двух параметров с независимыми размерностями, отличными от длины н времени.
Поэтому условием автомодельности является отсутствие характерного размера и характерной временной величины для процесса. При описании такого автомодельного процесса обычно удается перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. список РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТ~РЫ Учвбнмв издания Араманввич И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - Мл Наука, 1964.
Арсении В.Я, Математическая фюика. Основные уравнения и специальные функции. — Мл Наука, 1968. Блояинцвв Д.И. Основы квантовой механики, — Мл Высшая школа, 1961. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — Мл Наука, 1988. Кошляков Н.С., Глинвр Э.Б„Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. — Мс Высшая шкала, 1970. Куреню Р. Уравнения с частными производными: Пер. с англ. — Мл Мир, 1964. Ландау ЛД., Лифшиц Б.М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
