VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(10.15) Р а1г Используя (10.14) и (10.15), общее решение системы (10.3) в случае комплексно сопряженных корней запишем в виде (10.13), но теперь координатными функциями вектор-функции х(1) в базисе линейно независимых векторов а1 = (О, 13/а1г)т и аг = (1, (а — аы)/а1г) 270 кс осоиык точки нА олзоной плоскости являются 6(1) = (Сзсояр1 — С1 я1пЩ е"~, (з(Ф) = (С1 сояф+ Сзя1пр1) е"'.
(10.16) Вместо (10.16) можно написать С1($) = рве"~соя(Я+ у), Сг($) = рое" а1пЯ+ у), (10.17) где рв = ~/С7+ С~~, Фя7 = С1/Сз. Рассмотрим возможные частные случаи. а. рсли в (10.З) ап = -азу (в частности ам —— азг — — О), то р = 0 и корни характеристического уравнения (10.5) являются чисшо ииимььяи числами Л1 = 1р' и Лг = -1р'. Исключая в этом случае из (10.17) время $, получаем уравнение фазовой траектории (1~+Я = р~.
Таким образом, в плоскости (10(з фазовые траектории являются семейством концентрических окружностей с центром в начале координат, которые в плоскости х10хз переходят в семейство эллипсов (рис. 10.7), т.е. фвзовые траектории замкнуты, что свидетельствует о том, что решение системы периодическое. Рис. 10.7 При выбранных координатных функциях 6 (1), 6(1) и ори ентации координатных осей в плоскости ~10(г направление движения изображающей точки по фазовой траектории происходит против движения часовой стрелки. В плоскости х10х2 271 10.1.
Фазовый портрет системы это направление зависит от взаимного расположения векторов а1 и аз. Начало координат соответствует значениям С1 = Сз = 0 (р = О) и является положением равновесия системы (10.3). Его в этом случае называют иентпром. Оно в соответствии с замечанием 10.1 устойчиво, хотя и не асимптотически. б. Комплексно сопряженные корни имеют отрицательную дейстпвитпельную частпь (р < О).
Тогда соотношения (10.17) будут в параметрической форме задавать фазовые траектории в виде логарифмических спиралей, по которым изображающая точка будет стремиться при Ф -+ +со к началу координат (рис. 10.8). В данном случае начало координат является асимптотически устойчивым положением равновесия системы (10.3) и его называют устпойчивым фокусом.
Рис. 10.8 в. Если комплексно сопряженные корни имеют положительную дейстпеитпельную частпь (р > О), то фазовый портрет аналогичен, но направление движения изображающей точки по фазовой траектории противоположно, поскольку при Ф -+ +со как 5 -+ оо, так и ~г -+ оо.
Положение равновесия в начале координат в этом случае не является устойчивым и его называют неустпойчивьтм фокусом. 272 10. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Этим исчерпаны все возможные случаи сочетания корней характеристического уравнения (10.5). Заметим, что систему (10.3) можно свести к одному уравнению, исключив время 2: аХ2 а21Х1+ аггХ2 (10.18) ах1 амх1+ а12хг Пример. Для линейной однородной системы ОДУ ах| — = -Зх1+ 2хг; й дхг — = х1 — 4хг <Й характеристическое уравнение Лг + 7Л+ 10 = 0 имеет действительные простые корни Л1 — — -2, Лг = -5. Следовательно, положение равновесия х1 = хг = 0 представляет собой устойчивый узел.
Прямые, содержащие фазовые траектории системы, будем искать в виде хг = ххм х=сопвь, подставив хг = мх1 в ОДУ ахг х1 — 4х2 дх1 -Зх1 + 2хг Интегральные кривые этого ОДУ переоео порядка являются фазовыми траекториями системы (10.3), положение равновесия х1 = хг = 0 которой называют особой пгочкой ОДУ (10.18). Таким образом, проведенный выше качественный анализ фазовых портретов системы (10.3) можно рассматривать как исследование структуры интегральных кривых ОДУ (10.18) в окрестности его особой точки.
Фазовые траектории можно изображать сразу в плоскости х10хг, не находя направлений осей 05 и 0(г в этой плоскости. Однако в случаях узла, седла и вырожденного узла нужно найти фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы А системы (10.8), но их можно определить и иначе.
10.2. Система нелинейных диффереилиааьных уравнении 273 которое можно получить исключением времени $ из исходной системы ОДУ. Тогда придем к квадратпному уравнению 2мг+ +и — 1 =0, корнями которого будут х1 = -1 и хг = 1/2. Таким образом, искомыми прямыми в плоскости х10хг будут хг = -х1 и хг = х1/2. Остальные фазовые траектории, если к ним присоединить начало координат, будут иметь в нем касательную с уравнением х, хг = х1/2 (рис. 10.9), поскольку параллельный этой касательной собственный вектор а1 = и, = (2, 1)т матрицы исходной системы соответствует большему собственному значению Л1 = =-2 (Л1) Лг).
Рис. 10.9 10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений Вернемся к нормальной автпономной систпеме (10.1) второго порядка, состоящей из нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Положение равновесна этой системы, согласно определению 8.2, должно удовлетворять системе уравнений Р(х11хг) =0; фх1,хг) =О. (10.19) Система (10.19) может иметь, вообще говоря, несколько решений. Пусть (хв1, хгв) — одно из них. Без уменьшения общности предположим, что хв = хг в— — О.
В противном случае можно сделать замену переменных и1 = х1 — х1, нг = хг — хг. о Тогда система (10.1) примет вид ан1 о о. — „Й = Р(н1+х1,.2+хг); днг о о — = Щи1+х1,иг+хг). д1 274 10. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Положению равновесия х1 = хм х2 = х2 исходной системы о О отвечает равновесие и1 = и2 = 0 преобразованной, и наоборот. Считая функции Р(хм Х2) и Я(хмх2) непрерывнодифференцируемыми в рассматриваемой области изменения переменных х1 и Х2, запишем систему (10.1) в виде — = амхв + ашх2+ Р1 (хм Х2); й ах2 — = а21х1 + а22х2 + Р2(хы х2), д2 (10.20) — = — х2+ ах1(х1 +х2); — = Х1 + ах2(х, +х2).
(1021) дх1 2 2 дх2 2 2 й ~й где Р;(хд, Х2) (1 = 1, 2) — бесконечно малые при (хм Х2) -+ (О, 0) порядка выше первого относительно „/х~+ х2. Отбросив эти слагаемые, придем к линейной системе (10.3), которая является системой уравнений первого приближения для исходной системы ОДУ (10.1). Если корни характеристического уравнениц составленного для системы (10.3), простые и имеют отличные от нуля действительные части, то положение хо1 — — х2 в— — 0 равновесия системы (10.20) имеет тот же тип, что и положение равновесия системы (10.3) в следующем смысле.
Фаэовые траектории системы (10.20) в окрестности этого положения равновесия слегка деформированы относительно соответствующих фазовых траекторий системы (10.3). Это легко объяснить при помощи теорем 9.4 и 9.5 Ляпунова об устойчивости по первому приближению. В случае чисто мнимых корней характеристического уравнения положение хо1 = х2 о— — 0 равновесия системы (10.3) является центром. Однако наличие нелинейных слагаемых в правой части (10.20) может, вообще говоря, изменить тип равновесия. С точки зрения устойчивости здесь имеет место критический случай: анализ устойчивости нельзя проводить исходя из уравнений первого приближения. Поясним это на примере системы 10.г.
Система ивеииейиых диффереиииаяьиых уравиеиий 275 Здесь ах~(хг~+хг~) = Р~(х~,хг); ахг(хгг+хгг) = Рг(хм хг), а = = сопвс ф О. Характеристическое уравнение системы уравнений первого приближения, соответствующей (10.21), имеет пару чисто мнимых корней Ацг = хг (гг = -1). Поэтому, согласно изложенному в 10.1, положение хг = хг = 0 равновесия для системы уравнений первого приближения в данном случае является центром.
Исследуем устойчивость этого положения равновесия для системы (10.21), введя знанооиределенную (определенно-положительнУю) фрнннию ЛлнУнова Ъ' = (хгг + хгг)/2. Вычислив полную производную в силу системы (10.21), получим =а(хг+хг) . г г г а'г Если а < О, то положение х~ = хг = 0 равновесия системы (10.21), согласно теореме 9.9 Ляпунова об асимптотической устойчивости, является асимптотически устойчивым, а при а > 0 в силу теоремы 9.11 (теорема Ляпунова о неустойчивости) оно неустойчиво. Фазовые траектории имеют вид спиралей, и изображающая точка в случае а < 0 стремится к положению равновесия, а при а > 0 бесконечно удаляется от него. В качественной теории дифференциальных уравнений такой тип положения равновесия называют сложным фокусом.
Надо заметить, что все сказанное выше следует отнести к так называемому локальному анализу системы (10.20). В ряде отдельных случаев удается решить и глобальную задачу, т.е. установить поведение фазовых траекторий на всей фазовой плоскости. Однако в общем случае эта задача является достаточно сложной. Пример. а. Рассмотрим систему ОДУ Йхг дхг — = — хг + х~ хг, — = — хг + 2х~хг. сМ ' й (10.22) Эта система имеет два положения равновесия: хг = хг = 0 и хг = 1/2, хг = 1, которые представляют собой все решения 276 10.
ООО~ые тОчки нА ФАООВОЙ пз7ОскОсти системы уравнений -х1+х~хз = 0; — хэ+ 2х1хз = О, составленной по правым частям ОДУ (10.22). Исследуем поведение фазовых траекторий вблизи этих положений равновесия. В случае х1 = хе =0 система уравнений первого приближения имеет вид дхэ х2 ~й Нх1 — = -х1, <й Для этой системы положение равновесия х1 = хз = 0 является дикритическим узлом, так как корни характеристического уранения Л1= Л2 = — 1(0. Выполнив подстановку и1 = х1 — 1/2, из = хз — 1, линеаризуем затем систему (10.22) в окрестности положения равновесия и1 = и2 = О.
В результате получим систему уравнений первого приближения сЬ1 1 п2~ Ж 2 Для этой системы корни характеристического уравнения Л1 = 1, Лэ = -1, а собственные векторы а1=(1, 2) и аз —— = (-1, 2) . Следовательно, положение равновесия является седлом.
Фазовый портрет системы (10.22) представлен на рис. 10.10. б. Система ОДУ Нх1 дхз х1 — = хг; — = — -х1 й ' сй 4 (10.23) имеет два положения равновесия: х1 = хз = 0 и х1 = 4, хз = О. Легко показать, что эти положения равновесия для системы 10.2. Система нелинейных дифференцианьных уравнений 277 уравнений первого приближения являются соответственно центром и седлом. Чтобы для системы (10.23) найти уравнения фазовых траекторий, необходимо исключить из нее время Получающееся при этом ОДУ Ихг х~~/4 — х1 иХ1 Хг легко проинтегрировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
