VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В силу определения 9.1 это означает, что для каждого е > 0 существует б > О, такое, что для любого другого решения д($) системы (9.10) справедливо при 1 > Фс неравенство (9.2) '9д($) — д(8)9 < е, если только 9д(19) — д($с)9 < Б. Но в соответствии с теоремой 5.2 разность д(8) — д(Ф) = х(1) является решением однородной системы (9.11), и предпоследнее неравенство эквивалентно неравенству 9х($Ц < е при Ф > 8ш если только 9х(89)(! < б. А это и означает, согласно определению 9.1, устойчивость тривиального решения х,(8) = 0 однородной системы (9.11).
Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение х,(1) = 0 однородной системы (9.11) устойчиво по Ляпунову. Тогда в силу определения 9.1 для любого е > 0 существует такое д > О, что для любого решения х(3) этой системы пРи 9х($9И! < д спРаведливо неРавенство '9х(й)(( < е 'Й > йз. Следовательно, если д,(й) = д(г) — некоторое решение неоднородной системы (9.10), а д(й) — произвольное решение этой системы, такое, что д(1) = х(1) +д(1), то из неравенства Йх(йз) 9 = ~!д(19) -д(йе)!! < 6 будет вытекать неравенство Цд(Ф) — д(ФН < е П > Фс.
Это означает, что решение д,(й) = д(й) устойчиво и в силу определения 9.4 неоднородная система (9.10) устойчива. > 0.2. Устойчивость сястыты линейяых ОДУ 243 Замечание 9.2. Теорема 9.3 устанавливает критерий устойчивости нормальной неоднородной системы (9.10) для любой непрерывной при Ф > Фо вектор-функции у1(Х). Поскольку при у1(й) тн 0 Н > Фо система (9.10) переходит в соответствующую ей однородную, то этот критерий справедлив и для системы (9.11).
Аналогичный критерий имеет место и для асимптотической устойчивости таких систем: для этого необходимо и достаточно, чтобы тривиальное решение х,(с) = О однородной системы было асимптотически устойчивым. ф Таким образом, при исследовании устойчивости любой нормальной неоднородной системы линейных ОДУ достаточно рассматривать лишь соответствующую ей однородную систему. Однако анализ решений однородной системы вида (9.11) с точки зрения их устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости является при произвольной матрице А(Ф) далеко не простой задачей.
Ограничимся рассмотрением нормальной однородной систпсмы линейных ОДУ с постполнными коэффиииентпами — =Ах, Ых (9.12) й где А = (а;э) — матрица размера и с действительными постоянными элементпами а; = сопяФ, т',у =1, п. Для такой системы справедлива следующая теорема. Теорема 9.4. Для асимптотической устойчивости нормальной однородной системы (9.12) из и линейных ОДУ с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы любой из тп различных корней Лы ..., Л,„характперистпического уравненил т)еФ(А — ЛЕ) = 0 этой системы имел отрицательную дейстпвитпельнуто часть, т.е. (9.13) В.еЛ' ( О, у = 1, тп. ~ Докажем сначала достаточность условия теоремы.
Пусть для корней Лы ..., Лот (тп < п) характеристического уравнения выполняется условие (9.13). 244 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Любое решение этой системы в общем случае кратных (в том числе комплексно сопряженных) корней Л = а +цЗ. (а, Д ЕК, у = 1, т, «о = — 1) на основании теорем 5.11 и 5.12 и с учетом форл«рлы Эйлера имеет вид х(г) = ~) е «'(Ру(й) совЦ1+Цй(1) е1п1311), (9.14) где Р (1), Ц ($) — вектор-функции, координатные функции которых — многочлены степеней, меньших кратности 91 корня Л, причем о«+...
+ ой+... + о = и. Из (9.14) с учетом неравенства треугольника имеем (~х(«н < ~Г е~'~0)Р1(«И+ ~Щ (йЦ). (9.15) уен Тогда 1пп ))х(й) ~! = О, поскольку при условии (9.13) в виде КеЛу — — ай < О (у = 1,т) каждое слагаемое в правой части (9.15) стремится к нулю при 1-+ оо. Таким образом, согласно определению 9.2, выполнение условия (9.13) достаточно для асимптотической устойчивости системы (9.12).
Условие (9.13) является также и необходимым. Предположим, что хотя бы один из корней Л, = а+ 113 (а, «3 Е К) характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, т.е. КеЛ, = а > О. Тогда система (9.12) имеет решение вида х(1) =е ~(асов«з1+ЬипЯ), а, ЬЕК, причем 5а3+'9Ь|~ фО. Отсюда следует, что 9х(«)(( заведомо не стремится к нулю при Ф-++оо, что противоречит определению 9.2 асимптотической устойчивости тривиального решения х„(1) = О. 9.3. Теоремы Ляпунове об устойчивости по первому прпеппжеппю 245 Допустим теперь, что хотя бы один корень А, = ер (р Е 1ч), т.е.
Вел, = О. Тогда система (9.12) имеет решение х(с) = (а соер1+Ья1пр1), а, Ь Е 1с", '6а!)+ 6Ь!( ф О. Как и в предыдущем случае, 9х(ФЦ не стремится к нулю при 1 -+ +со, что также противоречит определению 9.2 асимптотической устойчивости решения х,($) ьи О. Этим доказана необходимость условия (9.13). > 0.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению Рассмотрим случай, когда правые части и уравнений возмущенного деихсенил, составляющих систему (9.5), не зависят от времени 1, т.е.
— = Р(х), Р(0) = О, (9.16) причем векторная функция Р(х) = (Р1 (х), ..., Р;(х), ..., Р„(х)) (9.17) Р(х) = Ах+ Р*(х), где Ах — линейная часть приращения функции (А — есаеприца Якоби, элементы этой матрицы вычислены в точке х = 0), а Р*(х) представляет собой совокупность членов более высокого порядка малости, т.е. '6Р*(х) 6 !(е9-+О 6ХО дважды непрерывно дифференцируема по фазоеььв переменныее х1,...,х„в некоторой окрестностпн елочки х = (О,..., 0) Яазоеого пространсупеа 1с".
В соответствии с условием дифференцируемости функции Р(х) представим ее в окрестности точки х = (О,...,0) в виде 246 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Тогда система (9.16) примет вид бх — = Аж+ г" (х). й (9.18) Если в (9.18) отбросить слагаемые г'*(х), то получим систему (9.12), которую в данном случае называют системой уравнений первого приближения. Приведем формулировки двух основных теорем, установленных А.М. Ляпуновым и получивших название теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Теорема 9.5. Если все корни характеристического уравнения бе$(А — ХЕ) = О системы уравнений первого приближения (9.12) имеют отрицательные действительные части ВеА ( О, то невозмущенное движение х,($) ве О асимптотически устойчиво, каковы бы ни были слагаемые г" (х) в (9.18).
При выполнении условий этих теорем анализ асимптотической устойчивости невозмущенного движения можно провести по уравнениям первого приближения. Однако эти теоремы оставляют невыясненными случаи, когда характеристическое уравнение системы первого приближения, не имея корней с положительными действительными частями, имеет корни с действительными частями, равными нулю, т.е. когда корни являются чисто мнимыми числами или равны нулю. Такие случаи анализа устойчивости названы А.М. Ляпуновым критическими в том смысле, что для них устойчивость и неустойчивость не могут быть выяснены рассмотрением уравнений первого приближения.
Исследование устойчивости в критических случаях представляет собой сложную задачу. К Теорема 9.6. Если среди корней характеристического уравнения системы уравнений первого приближения (9.12) имеется хотя бы один с положительной действительной частью, то невозмущенное движение х,(Ф) = О неустойчиво независимо от вида слагаемых Р" (х) в (9.18). 4~ 9.3. теоремы Липуиовв оо устойчивости по первому приолижевию 247 настоящему времени в решении этой проблемы достигнут большой прогресс, однако до полного завершения исследований еще далеко. Вернемся к теоремам 9.5 и 9.6 Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Характеристическое уравнение д1ед(А — ЛЯ) = 0 можно привести к виду Л" +адЛ" д+...+а„дЛ+а„=О, ад,...,а„бй. (919) Условия, при которых действительные части корней характеристического уравнения (9.19) отрицательны, выражает следующая теорема, названная по имени английского математика и физика Э.
Рауса (1831-1907) и немецкого математика А. Гурвица (1859 — 1919). Теорема 9.7 (теорема Рауса — Гурвица). Действительные части всех корней уравнения (9.19) отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матприцы Гурвица ад 1 0 0 0 0 ... 0 аз аг ад 1 0 0 ... 0 аз а4 аз аг ад 1 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... а„ т.е. когда Дг= ' >О; Дд =ад >0; ад 1 аз аг аз а4 ад > 0; ...; Д„= а„Д„д > О. ф.
(9.20) аз Дз= Условия (9.20) называют условиллзи Рауса — Гурвица. Квадратная матрица Гурвица размера п построена так. На ее глаенодд диагонали стоят по порядку н коэффициентов ад,...,а„ характеристического уравнения (9.19); вкаждой 248 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ строке при движении влево от диагонального злемеи1па номер гп коэффициента а последовательно возрастает на единицу, причем если гп > и, то а = О, а при движении вправо от диагонального элемента этот номер последовательно уменьшается на еДиниЦУ, пРичем если п1 = О, то ао = 1, и если пг < О, то а,„ = О.
Пример. Для характеристического уравнения второй степени Л +а1Л+аг =0 условия Рауса — Гурвица имеют вид: а1 1 Ь1 = а1 > О; Ьг = =а1аг > О, 0 аг или а1>0, аг>0. ф В качестве иллюстрации теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассмотрим ряд примеров. Пример. а. Исследуем устойчивость тривиального реи1еиил х1(1) = хг(г) = 0 системы уравнений возмущенного движения дх1 (Ьг 2 — = 4в1пх1+ 1п(1+ хг); — = х1+ хг+ х1хг.
~Й сй Составим уравнения первого приближения Нх~ (Ьхг = 4х1 + х2~ = х1 + х2 1й ' аь и соответствующее им характеристическое уравнение 4 — Л 1 ! ~=0, или Л вЂ” 5Л+3=0. ! 2 1 1 — Л~ Корни этого уравнения Л12 > О. На основании теоремы 9.6 невозмущенное движение х1(Ф) = хг(Ф) с— е 0 неустойчиво. 9.3.
Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению 249 б. Нормальная система обыкновенных ди44еренциальных уравнений (ОДУ) 11Х1 — = — 81П(Х1 — ХЗ) СОЗ Х2) й ))Х2 . 3 — = 81П ХЗ вЂ” Х2 — 81ПХЗ) й сЬЗ вЂ” = 3$(х2 — хз) сов(х1 — хЗ) ) ~Й (9.21) очевидно, имеет тривиальное решение Х1(1) = х2(с) = хз(с) = О. Запишем систему уравнений первого приближения Ихз = Х2 ХЗ) б3 ЫХ1 — = -Х1+ХЗ, ас пх2 — =-Х2-ХЗ; сМ характеристическое уравнение которой Лз+ ЗЛ2+ 4Л+2 = О имеет корни Л1 — — -1, Л2,3 = — 1 х 11 Действительные части всех корней отрицательны, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
