VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Точку а= (аь,..., а;, ..., а„) Е Р называют положением равновесия систпемы (8.1), если х(1) = а является частным решением этой системы. Для любого положения равновесия а системы (8.1) выполняется равенство у(а) = О, и наоборот, если ф(а) = 0 в точке а, то эта точка будет положением равновесия системы. Отметим, что элемент арифметического пространства К" может рассматриваться и как вектпор в линейном пространстиве [?У], и как точка в метрическом пространстве [1], а это приводит к различным его обозначениям: вектор а е К записывают в виде матрицы-столбца а = (аь, ..., а;, ..., а„), а точку а к К записывают в виде матрицы-строки а = = (аь,..., а;, ..., а„). В дальнейшем будем использовать оба варианта обозначений элементов арифметического пространства, выбирая в конкретной ситуации наиболее удобное.
Предположим, что известно несколько первых интеэралов иь(х),ит(х), ...,иь(х) системы (8.1), определенных в некоторой окрестности точки х = а Е Р, не являющейся положением равновесия системы (8.1), т.е. у(а) Ф О. Определение 8.3. Первые интпеералы иь(х), ..., иь(х) системы (8.1), определенные в окрестности точки а Е Р (у(а) ф О), называют независимыми в этой точке (или просто независимыми), если матрица Якоби (ди;/дх ) [ (ь = =1, Й, у'=1, и, Й(п) размера Й хи имеет рана, равный числу первых интегралов Й. Если первые интегралы независимы в каждой точке области Р, то их называют независимыми в этой областпи.
8.2. Теорема о аоиахьиом суецеетвовании первых интеграхов 229 В силу определения 8.1 в качестве первого интеграла любой системы вида (8.1) можно взять произвольную константу, т.е. выражение для первого интеграла не будет содержать фазовых переменных. Несложно проверить, что, согласно определению 8.3, среди независимых первых интегралов не должно быть интегралов вида и = сопаФ. Необходимо отметить, что непостоянные (т.е. отличные от констант) первые интегралы встречаются достаточно редко.
Их отсутствие связано с тем, что в общем случае фазовые тираектпории системы вида (8.1) не лежат целиком на поверхностях уровня какой-либо одной функции. Однако локально, в окрестности точки, не являющейся положением равновесия системы (8.1), фазовые траектории устроены просто и непостоянные первые интегралы существуют. Это обстоятельство отражено в следующей теореме. Теорема 8.2. Пусть точка а Е Р не является положением равновесия системы (8.1), т.е. у(а) ~ О.
Тогда в окрестности этой точки существует и — 1 независимых первых интегралов системы (8.1). Покажем, что условие у(а) ф О в формулировке теоремы 8.2 существенно. Пример. Рассмотрим систему ОДУ Их1 — = 2х1, еМ Ихз — = 4хз Ж и покажем, что в окрестности положения равновесия х1 = хз = = О этой системы не существует первого интеграла, отличного от интеграла вида и = сопвФ. Общее решение этой системы ОДУ имеет вид х1(е) = С1е~', хг(Ф) = Сге4~, где С~ и Сз— произвольные постоянные.
Исключая |гз этих решений получим уравнение хз = Сх~~ (С = Сз/С~) семейства Фазовых траекторий. Первый интеграл и(я1, хз) постоянен на любой кривой этого семейства. Но каждая такая кривая при малых х1 и хз оказывается в произвольно малой окрестности положения равновесия х1 = яз = О, а в совокупности все эти кривые 230 а пеРВые интеГРАлы (с учетом двух фазовых траекторий на оси Оу) покрывают такую окрестность. Иэ непрерывности функции и(хг, хг) в положении равновесия следует, что она постоянна в некоторой окрестности этого положения равновесия.
Вместе с тем в любой не содержащей точку (О; 0) области Р С К~ ~ ((О, 0)) 4азовой плоскости 1~~ первый интеграл существует и имеет вид и(хмхг) = хг/хг» либо и(хмхг) = = хг1/хг. ф Заметим, что теорема 8.2 носит достаточный характер. В окрестности положения равновесия системы первые интегралы могут как существовать, так и не существовать. Пример. Система ОДУ дх1 — = -хг; дг дхг х1 аг 8.3.
Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов Ограничимся рассмотрением нормальной автономной системы третьего порядка дх; — =Яхьхг,хз), ю'=1,2,3. (8.7) Пусть и(хь хг, хз) — первый интеграл системы (8.7) в области Р С 1яз. Чтобы решить задачу Коши для этой системы, необходимо задать начальные условия х~(Фв) = хем хг(Фв) = хгв, хз(1о) = хзо. Рассмотрим поверхность уровня первого интеграла и(хь хг, хз) = С.
Для заданных начальных условий постоянная С принимает фиксированное значение Со. и(хг, хг, хз) = Св имеет, в отличие от предыдущего примера, первый интеграл и(хьхг) = хг1+хгг, определенный в йг, включая положение равновесия х1 = хг = 0 этой системы. а4. Симметричнаа форме записи системы Оду г81 Предположим, что уравнение и(х1, хг, хз) = СО можно разрешить в некоторой области С С Р относительно одной из фазовых переменных, например хз: хз = )Р(Х1,хг)> где Р(21,хг, СО) — непрерывно дифференцируемая функция переменных Х1 и хг.
Подставив функцию хз = )Р(х1, хг, СО) в первые два ОДУ системы (8.7), получим систему двух ОДУ дх1 дх2 — = 41(Х1, Х2) )Р(Х1) Х2) СО)) ) — = 42 (Х1) Х2) )Р(Х1, Х2, СО)). Решение х1(с, СО), хг(с, СО) задачи Коши для полученной системы позволяет представить решение задачи Коши для исходной системы (8.7) в следующем виде: Х1(1) =х1(й) СО)) хг(1) =хг(З, СО)> хз(з) =)Р(Х1(1>СО)>хг(й>СО)). Таким образом, при помощи первого интеграла порядок системы (8.7) удается понизить на единицу.
Формально такой способ понижения порядка можно распространить и на систему (8.1) произвольного порядка п. Если известен первый интеграл системы (8.1), то он позволяет свести ее к системе (н — 1)-го порядка. 8.4. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений Перейдем от векторной формы норлсальной авнзономной системы (8.1) обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к записи в координатной форме вида (1.3): (8.8) Если теперь представить каждое из ОДУ (8.8) в виде ах) 71(х1, ..., х„) 232 8. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и приравнять правые части этих соотношений для всех значе- ний 1, то придем к так называемой симметричной форме записи системы ОДУ йх1 дхг Йх„ ЯХ1,...,х„) ЯХ1,...,х„) '" /„(Х1,...,х„)' а1 аг а„Л1а1+Лгаг+ ...+Л„а„ Ь1 Ьг Ьв Л1Ь1+ Л262+ ...
+ Л„Ьн где Л; ЕК (1=1,н). Пример. а. Систему ОДУ ах1 — = Х1ХЗ; аз ахг — = хгхз; аз сиз — = -Х1Х2 сМ запишем в симметричной форме: дх1 ~Ь'г дхз Х1ХЗ Х2ХЗ Х1Х2 (8.11) Из первого равенства имеем дх1/х1 = ~Ь2/хг. Интегрируя, получаем х1/хг = С1, где С1 — произвольная постоянная. Для нахождения другого первого интеграла используем свойство (8.10) равных дробей, предварительно умножив числитель и знаменатель первой дроби в (8.11) на хг, а второй— на х1. Тогда, положив в (8.10) Л1 = Лг = 1, запишем хг ЙХ1 Х1 дхг хг йх1 + Х1 дхг Йхз х1хгхз х1хгхз 2х1хгхз -х1хг ' или а(х1хг) ахз 2х1хгхз -х1хг Отсюда после сокращения на х1хг интегрированием находим х1хг+ хгз — — Сг, где Сг — также произвольная постоянная.
Симметричная форма записи удобна для нахождения первых интегралов исходной системы ОДУ. При этом часто используют свойство равных дробей если а;, Ь;, 1= 1,н, таковы, что а1/Ь1 = аг/~ = ... = а„/Ь„,то имеет место равенство В.4. Симметричны форма ааниси системы ОДУ 233 Итак, два первых интеграла исходной системы таковы: и1=Х1/хг, из =х1хг+хз.
г б. Симметричная форма системы ОДУ ОХ1 — = 2х1хг,' Ос с(хг г г г Х2 Х1 ХЗ> Й Ьз — = 2хгхз Ос имеет вид 2Х1ИХ1 2хгс(хг 2хз11хз 4Х1х2 2х2(х2 х1 хз) 4ххгхз В силу свойства (8.10) равных дробей при Л1 = Лг = Лз = 1 находим 2х1 11Х1+ 2хг с1хг + 2хз 11хз 11хз 2хг(х21+ хгг+ хзг) 2хгхз ' или после сокращения на 2хг о(Х1 + Х2 + Хз) мхз Х'+ Х2+ ХЗ ХЗ Интегрирование этого выражения дает х1+хг+хз — — С4хз.
2 2 2 Таким образом, исходная система ОДУ имеет два первых интеграла Х1+Х2+Хз г г мг = хз Х1 П1 = ХЗ Семейство дЗаэовых п1раекпгорип нормальной автономной системы третьего порядка вида (8.7) можно найти беэ интегрирования ОДУ этой системы, если известны два ее независимых первых интеграла и1(хм хг, хз) и иг(х1, хг, хз).
Действительно, рассмотрим поверхности, задаваемые уравнениями п1(х1,хг,хз) = С1, иг(х1,хг,хз) = Сг, (8.13) ех1 11х2 сиз (8. 2) 2Х1хг хг — х, — хз 2хгхз Приравнивая левую и правую части (8.12), после интегрирования получаем х1 = Сзхз. Затем, умножив числители и знаменатели дробей в (8.12) соответственно на 2Х1, хг, 2хз, запишем 234 а пеРВые интеГРАлы где С1 и Сг — произвольные постоянные. Если для любой точки (хо, хо, хоз) в области О, где определены первые интегралы системы, из (8.13) вычислить значения постоянных ~~1 — — и1(х» хг, хз), Сг — — иг(х» хг, хз), то система уравнений о о о о о о о п1(хм Х2, ХЗ) = С1, п2(Х1> Х2, ХЗ) = Сг (8 14) будет задавать фазовую траекторию, проходящую через эту точку. В самом деле, вдоль фазовой траектории, проходящей через точку (хо,хго,хзо), первые интегралы постоянны.
Следовательно, фазовая траектория должна находиться на поверхностях уровня первых интегралов, которые описываются уравнениями (8.14). Однако для нахождения движения по фазовой траектории необходимо интегрировать одно из уравнений системы (8.7). Например, разрешив систему уравнений (8.14) относительно хг и хз и подставив в первое уравнение системы (8.7), получим ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Вопросы и задачи 8.1.
Найти первые интегралы и, понизив порядок системы ОДУ, найти ее решение: Йхз 1 ЙХ2 1 ЙХ1 Х1 ЙХ2 а) — = —; — = — —; б) — = — 1; — = х1, ЙЗ хг <И х1 ЙЗ хг сМ Йх1 Йх2 Йхз Йх1 Йхг Йх3 в) — — — г) 2Х2 ХЗ Х2 ХЗ Хз Хг ХЗ Х2 2 2 ЙХ1 ЙХ2 ЙХЗ д) Х1(ХЗ вЂ” Х2) Х2(Х2 — ХЗ) Хг — Х1ХЗ г Йхз Йхг Йхз Х1(Х2+ХЗ) ХЗ(ХЗ вЂ” Х2) Хг(Х2 — ХЗ) Йх1 ЙХг ЙХЗ ж) 1 Х2 — Х) Х1 + Хг + х3 ХЗ вЂ” х2 Йхз Йхг Йхз з) 2 2 2 2' Х1 + Хг — Х1Х2 Х1хг — ХЗ вЂ” Х2 Хг — Х1 9.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ~СТОЙЧИ~ОСТИ 9.1. Основные определения и понятия — =УМ у) ду й (9.1) где 1 — время; у = (ум ..., у„)'; у = (~м ..., ~„)'. Возникновение математической теории устойчивости движения связано с именем гениального русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова (1857-1918). Основы этой теории были разработаны А.М.
Ляпуновым более 100 лет назад, когда им было опубликовано знаменитое сочинение „Общая задача об устойчивости движения" (1892). Однако лишь с начала 30-х годов теория устойчивости получила интенсивное развитие. Частично зто объяснимо бурным развитием в эти годы науки и техники, которые ставили новые, ранее не известные задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
