VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Замена Ф=е (при 1 ) 0) приводит ОДУ (6.50) к линейному однородному ОДУ с постоянными коэффициентами. Но решение уравнения Эйлера можно искать и непосредственно в виде у(с) = с", причем нахождение значения Л удается свести к решению алгебраического уравнения, которое и в этом случае называют характеристическим. 198 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Поясним сказанное на примере.
Рассмотрим однородное ОДУ вЂ” г+ — =О, г) го >О, (6.51) которое допускает механическую интерпретацию: оно описывает движение маятника, на который действует сила, возвращающая маятник в положение равновесия и обратно пропорциональная квадрату времени $. Решение ОДУ (6.51) будем искать в виде у = г". Последовательно вычислим д У = лФ" ', — '" У = л(л — 1) Ф"-2. ьн ' д~г Подставив выражения для у и огу/<йг в (6.51), после сокра- щения на г" г получим квадратное уравнение Л2 — Л+1=0, из которого найдем Л1,2 = 1/2 ~1~/3/2. Используя равенство 1" = е"~"', пару независимых частных решений уравнения (6.51) можно записать в виде у1($) =Все =Ф ~ сов~ — 1пг), г ~ГЗ ~ 2 уг(г) =1п1е =$ ~ в1п~ — 1пг).
и 12. IЛ ~ 2 Общее решение уравнения (6.51) имеет вид у(г) = С1г~~~ сов( — 1п2) + Сгг~/~в1п( — 1пг) . 2 2 Заметим, что ОДУ (6.51) остается неизменным при замене Ф на -Ф. Поэтому при рассмотрении случая Ф(0 нужнов вы- 199 б.б. Формула сдвига 2. Уравнение Лагранжа и-го нарядна записывают в виде (аб + б)" — + а1(а1 + б)" — +... + оа у у ~Цп л2о-1 + а„1(а2+ б) — + а„у = О, (6.52) ау ас где а, Ь, а; (в' = 1, н) — постоянные коэффициенты. Если Ь = О и а = 1, то (6.52) переходит в уравнение Эйлера.
Подстановка а~+5 = ет приводит (6.52) к линейному однородному ОДУ с постоянными коэффициентами. 3. Уравнением *Хебыиюева называют ОДУ 2 ау ау (1 — 2 ) — — 2 — +н У=О, п=сопзФ. аз д2 Сделаем замену 2= сеет (при ф < 1). Тогда ду 1 ду 1 ду й Я-Р Ит з1пт Йт' сов т Ну 1 азу + 2 2' я1пзт дт в1п'т Нтз' (6.53) ражениях для решений заменить 2 у на )2!. График решения У1(с) при начальном условии У1(це) = уа < О представлен на рис.
6.2. '~о Рассмотренный пример пока- "о ' зывает, что,хотя действующая на -суг маятник сила всегда направлена к Рис. 6.2 положению равновесия у = О, амплитуда колебаний растет по закону С~Я. Если ввести понятие мгновенной частоты ы(2) = ~Г31п1/(28), то с увеличением времени 2 эта частота будет уменьшаться и стремиться к нулю при 2 — ~ оо. 200 а линеЙные Оду Высших пОРядкОВ Подставляя найденные выражения для производных в ОДУ (6.52), получим с учетом соотношения г = сов т — +и у =О. д'у дтг (6.54) Поскольку корнями соответствующего характеристического уравнения Лг + пг = 0 являются комп |ексно сопряженные чиспго мнимые числа (Лцз = Ы, г' = — 1), то общее решение ОДУ (6.54) будет таким: у(т) = Сгсозпт+ Сгнппт.
Возвращаясь к переменному г, получаем у(г) = Сг соз(п агссозг) + Сгейп(п агссозг). Если и — целое, то частное решение у(г) = соз(п агссоз1) оказывается многочленом степени п относительно г [П], для которого принято обозначение Т„(Ф) = соз(п агссозг). Например, То(г) = 1, Т1 (г) = Г, Тг(г) = 2Г~ — 1, Тз(г) = 4г~ — Зг, Т4(Г) = = 8г4 — 8гг. Справедливо рекурренганое соотношение Т„(1) = 24Т„г(Ф) — Т„-г($). Эти многочлены введены П.Л. Чебьппевым в 1854 г. в связи с решением им задачи о центробежном регуляторе равномерности вращения вала паровой машины и носят его имя (более точно их называют многочленами Чебышева первого рода). Они находят широкое применение как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач (подробнее см. [П]).
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью Пусть правая часть линебного неоднородного обыкновенного ди44еренииального уравнения (ОДУ) (6.26) и-го порядка с поспгоянными коз4фициентпами имеет вид д(Ф) = Р„(г)е"г, где 6.6. Структура частного решение иеоднородного ОДУ 201 Р„(е) — многочлен степени т, р е К. Сформулируем без дока- зательства теорему о структуре частного решения ОДУ (6.26) с такой правой частью.
Теорема 6.4. Если р не является корнаи характеристаического уравнения А" + а1 А" 1+ ... + а„= О, (6.55) соответствующего ОДУ (6.26) однородного уравнения (6.27), то ОДУ (6.26) имеет частное решение вида д. И) = Я,(г) е"', (6.56) где Я,(Ф) — многочлен той же степени г, что и многочлен Р„Я. ' Если же р — корень кратаности к характеристического уравнения (6.55), то частное решение имеет вид д,(Ф) = Ф Я„(Ф) е" . (6.57) Общий прием нахождения неизвестных коэффициентов многочлена Я„($) состоит в подстановке (6.56) или (6.57) в исходное ОДУ (6.26) и приравнивании (после сокращения на е"~ ~ 0 И Е К) коэффициентов при одинаковых степенях Ф.
Пусть правая часть ОДУ (6.26) имеет вид д(Ф) = е ~(Р„Ясов|31+ Я,(Ф)з1п1й), где Р„(Ф), ЩФ) — многочлены степеней т, в соответственно. Сформулируем, не доказывая, теорему о виде частного реше- ния с такой правой частью. у,(1) = е "еЯ,Ясог131+ Я~(г)г1п13г), Теорема 6.5. Если число а+ т~З не является корнем характеристического уравнения (6.55), то ОДУ (6.26) имеет частное решение вида 202 б.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ где В~ и Я~ — некоторые многочлены степени 1, 1=шах(г, л). Если же число о+ цЗ является корнем характеристического уравнения кратности й, то уравнение имеет частное решение вида у,(б) = ~йе~~(ЯЯсовЯ+ Я~(8)в1п~3$).
Пусть правал часть ОДУ (6.26) имеет вид д(й) =~ уйти). ййп Зная частное решение уравнения с правой частью дй(8), й = = 1,т, мы можем построить частное решение уравнения с правой частью д($). Теорема 6.6. Если у,1(1), ..., у, (г) — частные решения ОДУ (6.26), соответствующие правым частям д1(С), ..., д„,(~), то у.(й) = ~у.йИ) ййп В является частным решением ОДУ с правой частью д(Ф). < Так как у,й(Ф) является решением ОДУ с правой частью дйЯ: й(р)у„йЯ = дй(й), то ив т ЛЪ ~(р)у*(~) = ~(р) (,),у*й(й)) = ~~.~(р)у.й(~) = ~~~.дй(~) = д(~), ййп ййп ййп т.е. у,($) — решение ОДУ с правой частью д(Ф).
> Если правая часть ОДУ (6.26) имеет вид б.б. Структура чаотяого решенно яеодяородяото ОДУ 203 где Рп(ь) — многочлен степени г;, то частные решения строят для каждого слагаемого этой суммы: у„ь(ь), ..., у, (г). Тогда в силу линейности ОДУ (6.26) сумма также будет его частным решением (правило, позволяющее рассматривать итоговый результат как сумму независимо найденных частных результатов, принято называть принципом суперпоэиции (от латинского слова япрегроя1сьо — наложение)). Пример. а.
Для ОДУ второго порядка — +у = 4ге с1зу 1сз корнями характеристического уравнения Лт + 1 = О являются комплексно сопряженньье чистпо мнимьье числа Льд = Ы. В соответствии с изложенным выше, частное решение ищем в виде у,(ь) = (аь'+ Ь)ес, так как сь = 1 не является корнем характеристического уравнения. Последовательно вычисляя — = (ос+ 2а+ 6) е, ь1зу, с ьй — = (аг+ а + Ь) е, Иу, с сьг и подставляя у,(г) и сс'у,/ссгз в исходное ОДУ, получаем (аг+2а+6)е'+(аг+6)ес =4ге~, или после сокращения на е'.
(2а — 4)г+ 2а+ 2Ь = О. Ясно, что это равенство будет выполнено при любых г Е ьк, если а = 2 и Ь = — 2. Тогда частным решением рассматриваемого ОДУ будет у,(ь) = (2ь' — 2)ес, 204 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ а его общее решение примет вид у(1) = С1 сов 8+ Сг яви+ (21 — 2)е~. б. Найдем частное решение ОДУ второго порядка сну — +у = 4япФ.
,вг Характеристическое уравнение Лг+1 = 0 этого уравнения имеет корни Л1 =1, Лг = -1. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид у(Ф) = С1 сов 1+ Сг яви. Так как в данном случае для правой части уравнения а = О, ~3 = 1, а число р = 1 является корнем характеристического уравнения кратности гп = 1, частное решение у„(1) следует искать в виде у,(Ф) = $(асеева+ Ьвшг). Последовательно вычислим — = асов|+ЬвшФ+1( — аип$+ЬсовФ); Иу„ сМ Фу„ — = -2авш8+2ЬсовФ+1(-асов$ — Ьвт$).
с1гг Подставляя сну,/йг и у„в исходное ОДУ, получаем -2аяп1+ 2Ьсов1+ Ф(-асов 1 — Ьяп$) + Ь(а сов з+ Ьипз) = 4япг. Это равенство должно быть выполнено для любого Ф, что возможно, если коэффициенты при подобных членах будут равны нулю, т.е. (-2а — 4)яп$ = 0 и 2ЬсовФ = О. Отсюда следует а = — 2 и Ь= О. Итак, для исходного ОДУ получаем частное и общее решения соответственно в виде у„(1) =-2$сов|, у(1) = С1совФ+Сгвшг — 21совз.
б.б. Структура частного ретеннн неоднородного ОДУ 205 в. Найдем общее решение ОДУ второго порядка — +2 — +2у = е вшФ. «'у ~1у йв Ж (6.58) Характеристическое уравнение Л~+ 2Л+ 2 = 0 имеет комплекс- но сопряженные корни Л1 — — -1+в, Лв = — 1 — 1.
Общее реше- ние соответствующего исходному ОДУ однородного уравнения будет у(б) = е ~(С1 сов1+Сгяп1). В данном случае р = — 1 и Д = 1, а у+е13 = — 1+1= Лм т.е. совпадает с одним нз корней характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде у,(б) = 1е '(Асовс+Вяп1), где А,  — постоянные, подлежащие определению. Для нахождения последних необходимо подставить у„(с) в исходное уравнение и после сокращения на е ' приравнять коэффициенты при совб и япФ. В результате получим В=О, А= — 1/2. В итоге общее решение ОДУ (6.58) имеет вид у(Ф) = е ~(С1сов1+ Свешу) — — е ~сов3. 2 г. Найдем общее решение ОДУ ун+4у = 1+е 'совФ. Характеристическое уравнение Лв + 4 = 0 имеет корни Л1 = 2т', Лч = -21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
