VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.3. Найти частное решение систем уравнений: )' «хс /й = 2хг + се', ) «хг/й =2х1. а ) «х1 /й = -5х1 — 4хг; «хг/й = 221+ хг, в) < «Х1/й = Х2,' «хг/й = 2х1 + хг,. д) ~ «х1 /й = — 5х1 — хг,. «хг/«з — Зх1 х2 Ф а) <«х1/(И = 2х1+ хг + З; «хг/«1 = х1+ 2хг + 1+ е -с.
б ) < «х1/Й =х1+5хг, )~ «хг/111 = — 2х1 — хг,' г) «х1/«с = — х1 — 2хг, «х2/й = 2х1 — х2; «х1/й = х1+ 2х2, е) < «хг/й = — 4хс — Зхг,' 6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИ<Р<РЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения Линейное обыкновенное ди44еренг4иалъное уравнение (ОДУ) и-ео пор*дна имеет вид — „+ а1(г) — „+... + а;(3) „,. +... + а„(Ф)у = д($), (6.1) <Цл-ву где функции а1($),..., а„(1) и д(Ф) определены и непрерывны в некотором промежутке Т С й числовой прямой К.
Пусть функция у($) имеет в промежутке Т непрерывные производные по крайней мере до (п — 1)-го порядка включительно. Введем функции х1(Ф) = у(г) хг(г) — у (г) х;(1) =уб '1(г), ..., х„(г) =у1" П(1). (62) Тогда ОДУ (6.1) можно записать в виде нормальной системы линейных ОДУ: <Ь1 — = хг', Ж "хг — =хз; дг (6.3) дх„ 1 — =х„; ~й ах„ — = -а„(8)х1 — а„1(Ф)хг ... — а1(г)х„+ дЯ.
й 17О 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В матричной форме система (6.3) имеет вид — = А(1)х+д(~), дх й (6.4) где х=(хм...,х;,...,х„)~, д($) =(О,...,О,д(Ф)) и О 1 О О А(1) = О О -а„(й) -а„1(г) О О (6.5) О ... 1 ав — 2 (1) ° ° ° а1 (1) Таким образом, если у(Ф) — решение ОДУ (6.1), то совокупность функций (6.2) служит ре|аением системы ОДУ (6.4). Справедливо и обратное утверждение. Задача и теорема Коши для ОДУ н-го порядка были сформулированы в 4.4. Не повторяясь, отметим лишь, что условия теоремы Коши о существовании и единственности решения соответствующей задачи заведомо выполнены в области Р для ОДУ(6.1) (см. теорему4.1), еслифункции а;(Ф) (1=1, и) непрерывны в промежутке Т.
При д(1) ф О в Т уравнение (6.1) называют линейным неоднородным ОДУ и-го норлдна Если же д($) ве О в Т, то из (6.1) следует соответствующее (6.1) линейное однородное ОДУ н-го нарядна — +а1Я + ...+а;(1) , +...+а„(~)у=О, (66) которое путем введения функций (6.2) можно свести к линейной однородной системе ОДУ, совпадающей с (6.3) при условии д($) ив е О в Т.
В матричной форме такая система примет вид дх — = А($)х. ~й (6.7) 171 б.1. Снелбние к линейной системе Введем ряд необходимых далее понятий, непосредственно связанных с аналогичными понятиями для систем ОДУ (см. 5.1 и 5.2). Определение 6.1.
Систему беунниий у1(Ф), ..., уь(б), ..., уо,(с) называют линейно зависимой в некотором промежутке Т С Й числовой прямой Й, если существует такая система Лм ", Лы " Л~ Е Ж,,,'),Л~8 Ф О что Л1у1(й)+" +Льуьф+" +Л унЯ =О ~ЙЕТ. (68) Если же такой системы чисел не существует, то эту систему функций называют линейно независимой в промежутке Т. Определение 6.1 почти дословно повторяет определение 5.1 аналогичных понятий для системы вектор-функций. Как и в случае системы вектор-функций, система функций линейно независима в каком-либо промежутке Т, если она линейно независима в некотором промежутке Т1 С Т.
Если же она линейно зависима в Т, то ее линейная зависимость будет сохранена и в Т1 С Т, но обратное, вообще говоря, неверно. Замечание 6.1. Любая система н функций, включающая функцию уб($) = О 'й Е Т, будет, согласно определению 6.1, линейно зависимой. В самом деле, выбрав в (6.8) коэффициент Л при такой функции отличным от нуля и положив коэффициенты при остальных функциях равными нулю, приходим к тождеству (6.8). Пример 6.1. Покажем, что система функций 1, линейно независима на всей числовой прямой. Предположим обратное. Тогда, согласно определению 6.1, в К должно быть 172 б.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ справедливо тождество 4 Л1+ Лзй+ Лзй + Л4й = О ~~~ Л~ ф О. Последнее невозможно, так как в левой части стоит многочлен не выше третьей степени, который может обращаться в нуль не более чем в трех точках. Следовательно, система функций 1, Ф, Ф~, 1~ является линейно независимой в любом непустом промежутке числовой прямой. При рассмотрении конкретного набора функций часто для краткости опускают слово „система" и говорят о линейных зависимости или независимости этих функций. Покажем, что две функции /1 (1) и /з(й) линейно независимы в промежутке Т тогда и только тогда, когда их отношение ЯФ)/Щ) в этом промежутке не равно константе. Предполагается, что Щ) Ф О 'й еТ. Пусть /1(Ф) и /э(1) линейно независимы.
Это означает, что тождество Л1/1 ($) + Лз/э(й) = О возможно только при Л1 = = Лз = О. Отсюда следует, что их отношение /1(г)/уз(1) не может быть постоянной функцией. Обратнбе утверждение докажем от противного. Допустим, что /1($) и Щ) линейно зависимы, т.е. существуют такие Л| и Ля Л~1 + Л~$ уЕ О, что Л1/д(й) + Лз/з(й) = О ~Й Е Т. Для определенности пусть Л1 ~ О. Тогда /1(й)//з(й) = — Лз/Л1, т.е. отношение функций представляет собой постоянную функцию, а это противоречит допущению.
Следовательно, функции /1(1) и /з($) линейно независимы. Если есть точки С Е Т, в которых /з(й) = О, но /1(й) Ф О НЕТ, то можно взять отношение /з($)//1($) и для него провести те же рассуждения. Пример 6.2. Согласно доказанному утверждению функции /1(1) = япФ и /з($) = сов$ линейно независимы на любом промежутке Т С 2, так как их отношение /~(Ф)//з(Ф) = япФ/совФ = = 1я1 не является постоянной функцией. б.к Снеддннек лннейнон снстене Определение 6.2. Линейно независимую в промежутке Т С Ж систему из и функций уь($) (Й = 1,п), каждая из которых является в нем решением линейного однородного ОДУ (6.6) п-го порядка, называют 4ундаментпальной системой реиюеиий этого уравнения в указанном промежутке. Рассмотрим совокупность п функций ун(~) ()е = Т, и), имеющих при ( й Т непрерывные производные по крайней мере до (и — 1)-го порядка включительно.
Определитель У1И) У2(() ° ° ° Упй) у1 (Ф) у2(1) ... у„'(~) (6.9) (и-1)( ) (п-1)( ) (и-1)( ) назовем вронскиоиом системы п функций, непрерывно дифференцируемых и — 1 раэ в промежутке Т (в отличие от аналогичного по структуре определитпедл Вронскоео (5.6) системы вектор-функций). Теорема 6.1.
Если система и функций ун(Ф) ()е = 1,п) линейно зависима в промежутке Т, то ее вронскиан Ф($) = 0 'Й й Т. ~ Согласно определению 6.1, для линейно зависимой системы функций хотя бы один из коэффициентов в (6.8) отличен от нуля (пусть для определенности Лп ф О). Тогда функция уп(Ф) будет линейной комбинацией остальных функций: Уп(1) = а1У1(Ф) + агуз(8) +... + ап-1Уп-1(() И й Т, (6.10) где а1 = -Л1/Л„, ..., а„1 = -Л„1/Лп. Продифференцировав (6.10) последовательно п-1 раз, подставив результаты вместо последнего столбца в (6.9) и опустив обозначение аргумента Ф, 174 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ получим определитель У1 У2 " а1У1+огУ2+" +ов-1Ув-1 / У2 о1У1 + о2У2 + + ов-1Ув-1 У1 (в-1) (в-1) У1 У2 (в-1) (в-1) (в-1) о1У1 + о2У2 + ° + ов — 1Ув — 1 в котором последний столбец при всех Ф Е Т является линейной комбинацией остальных столбцов.
Поэтому записанный определитель равен нулю, что доказывает утверждение теоремы. ~ Если функция уь(2) является решением однородного ОДУ (6.6) в промежутке Т, то она, согласно определению 1.1 решения ОДУ, и — 1 раз непрерывно дифференцируема в этом промежутке. Тогда в промежутке Т можно ввести совокупность функций вида (6.2), являющихся координатными функциями вектор-функции хь(Ф) = (Уь($), уь(2), ..., Ул (Ф), ..., уь (()), (6.11) которал будет решением однородной системы (6.7).
Пусть система функций (6.12) является решением однородного ОДУ (6.6) в промежутке Т. Тогда система вектор-функций хь(Ф), л = 1, и (см. (6.11) ), будет решением однородной системы ОДУ (6.7) в том же промежутке. Вронскиан (6.9) системы функций (6.12) в промежутке Т тождественно совпадает, очевидно, с определителем Вронского (5.6) системы вектор-функций (6.11), т.е. 175 б.1. Сведение к линейной системе Поэтому для вронскиана в промежутке Т справедлива форму- ла (5.10) Остроградского — Лиуеиллл в виде 'тт'(Ф) = и'(Фе) ехр — а1(т) Йт (6.14) так как сумма элементов, стоящих на главной диагонали матрицы А(Ф) (6.5) однородной системы ОДУ (6.7) равна — а1(1). Из (6.14) следует, чтоесли Ф(Фо) ф.О внекоторой точке 1о кТ, то Й"(1) ~0 ~ЙЕТ, и наоборот, при Ф(1е) =0 имеем Ф(1) =0 ~й~Т.
Если функции (6.12) составляют фундаментальную систему решений однородного ОДУ (6.6), то соответствующие им вектор-функции (6.11) будут составлять фундаментальную систему решений однородной системы ОДУ (6.7), и наоборот, т.е. обе системы могут быть линейно независимыми в промежутке Т только одновременно. Убедимся в этом, рассуждая от противного. Пусть функции уь(Ф), й = 1, и, линейно зависимы в Т.
Тогда на основании теоремы 6.1 и с учетом (6.13) Ф(Ф) = УУ($) = = 0 Н Е Т, что означает, согласно теореме 5.6, линейную зависимость системы вектор-функций (6.11) в Т. Если же линейно зависимы в Т вектор-функции хь(Ф), Й = 1, п, то в силу определения 5.1 Л1х1(Ф)+...+Ляхе(1)+...+Л„х„(Ф) =0 НЕТ, где хотя бы один из коэффициентов Ль отличен от нуля. Записав это векторное равенство в координатной форме, для первых в (6.11) координатных функций ув(1) (к = 1, и) получим (6.8), т.е., согласно определению 6.1, система функций (6.12) линейно зависима в Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
